장음표시 사용
481쪽
Επεὶ ut οἱ A, B πρωτοι προ αλληλους ει ι κ αὶ - ἐαυτον πολλαπλασυάσας τον Γ πεποίηκεν οἱ Γ, Β ἀρα τρωτοι προ αλληλους ισί.
πρωτοι εἰσι και ο κ των A , Γ δρα γενομενος προς το ἐκ των ν Δ πρωτος εο τι Και ἔστιν
μὲν ἐκ τωι , 44 δὲ ἰά τω ν, Δ et οἱ Ε, Ζαροι πρωτοι προς ἀλλήλους Hσιν Cetra εδριδιέαι. ΠΡΟΤΑΣΙΣ λ .Qhioniam iii in A, B primi inter se sunt, et se ipsum multiplicans ipsum T secit; ipsi Γ, igitur primi inter se sunt. Et quo uiam primi inter se sunt, et B se ipsum multiplicans ipsum A secit, ipsi igitur primi inter se sunt. Rursus , quoniam Α , B primi inter se sunt , et B se ipsum multiplicans ipsumi fecit ;ipsi Α, Δ igitur primi inter se sunt; et quoniam duo numeri ad duos numeros B in uterque ad utrumque primi sunto et ipse ex ipsis igitur tactus ad ipsum ex ipsis B, A primus est. Et est ipse quidem ex Α , T ipse , ipse Vero ex B Δ ipse Z ii,si Ε, Ζ igitur primi inter se sunt. Quod oportebat ostendere.
Εαν δύο οῦριθμοὶ πρωτοι προς ἄλλήλους ura, Si duo numeri primi inter se sunt, et uterque και συναμφότερος πρὸς κάτερον αὐτων πρωτος simul ad utrumque eorum primus erito et si ἔσται καὶ ἐὰν συναμφότερος τρος Dec τινα uterque simul ad unum aliquem oriam primus
αὐτων πρωτος - καὶ οι ἐξ ἄρχης ὐριθμοὶ πρωτοι est, et ipsi a principio umeri primi uter se
483쪽
των A , Γ μετρει καὶ ἔλον αρα τον Γ με- metituri et totum igitur A metietur Metitust τρήσει. ετροῖδε καὶ τον AB P αρα τους A, autem et ipsum AB; ipse igitur ipsos A , An AB μετρεῖ, πρωτου οντας προς ἄλλ; λους, οπερ metitur, primo eXistentes inter se, quod si εστὶν ἀδύνατον ου κώρα του AM, B αρὶθμους impossibile non igitur ipsos AB, BP numeros ἀριθμός τις μετρήσει' οἱ AB , ΕΓ te πρωτοι numerus aliquis metietum; ipsi ireitur προς ἄλληλους ει σιν. m ἔδει δεῖξαι. Primi inter se uret. Quod oportebat ostendero.
A τας πρωτος ἀριθμος προς παντα αριθμον, omni primus numerus ad omnem numerum, ον μὴ μετρεῖ, πρῶτός ἐστιν quem non metitur , primus est. Eστω πρωτος ὼριθμος ο , καὶ τον Β μὴ με fit Primus numerus M, et ipsum B non me τρείτω λέγω τι οἱ Β, Α πρωτοι πρὸς ἄλληλου ii iur dic primos uter se esse. cisis. E γὰρ μη ει ιν οἱ πρωτοι προ αλλή - Si enim non siriti, A primi inter se , metietus λους , μετρη ει τις αυτους ἄρ θμός. Mετρείτω, aliquis eo numerus Metiatur, et siti. Et quo και ἔστω ο I. Και πε Γ τον Β μετρεῖ LA A iami ipsumi metitur, ipse autem A ipsum τον B ου μετρεῖ Γ ἄρα - ου ἐστιν ο αυτός. non metitur L ipse T igitur cum ipso n66Και πει ὁ Γ τους Β, Α μετροει καὶ τιν αρα est idem. Et quoniam Γ ipsos B, A metitur
484쪽
Si duo inimeri sese multiplicantes faciant aliquetia, uin vero factura ex I, si inelia uir ali litis Prinius mini erus ct unum eorum qui a prili-cipio ita lietur. Duo ei lini uinori se multiplicantes ipsum P faciant ipsum autem niuitatur aliquis prinius numerus di dicora unum Oriun A , metiri. Tιν γέ Ajui μετρείτω, και εστι πρωτος ο Δ' ιι tot πρωτοι πρὸς ἄλληλους σι και
Ipsum nim Α non metiatur, et est primus Δ ipsi igitur primi inter se sunt. Et quoties Δipsum metitu tot unitates sint in . Et
Si deii nombres se multipliant 'un lautre soni u nombre, et si quelque nombre premier mesure leur pro duit, it me furer ut des nona bres propossis. Car que les dux Ombres A, B se multipli antra 'unci 'autre assent , et quequelque nombre premi eris mes urer; e dis que Mestire hin des Ombres A, B. Qu'il ne mesure pas AG uisque Δ est ian Ombre remi e , es Ombres sero ut premier entr'eux Si u 'i y ait autanti' unlisis dans E quera es ure
485쪽
Δ οα τον Β μετρεῖ. μοίως δη δεις ομεν τι stes ἐάν - τον mini φιετρῆ, ,οι - λίτροῦ σίι P ίρα , των , Β μετρεῖ. περ ει ι δ ζαι. quoniam Δ ipsum meli uir per ipsas quae in Eunitates , ipse igitur ipsum E multiplicans ipsum T secit. Sed quidem et Mipsum B multi plicans ipsum T secit aequalis igitur est ipso ex Δ, Ε, ipsi x est igitur ut Δ ad cita ad E. Ipsi autem primi, ipsi vero primici minimi ipsi autem intini metiuntur aequaliter ipsos eamdem rationem habentes , et maior maiorem , et minor minorem , ho est et ante cedens ante Cendentem, et On Se Iliens Consequentem ipse A igitur ipsum metitur. Similiter utique ostendemus et si Δ ipsum non metitur , ipsum A mensurum esse; ipse igitur uniam eorum A, B metitur. Quod oportebat os
omnis compositus D 1merus a primo aliquo nuiner menStariatur. Sit Compositus iumerus Q, dico ipsum a primo aliquo numero re Surari.
Tout nombre compos est mesur par quelque nombre premier. Que A sol un nombre compos si ij dis que A est mes ursi par quelque nombre
486쪽
on aura e qui est Propos si Si r est compos si quelque nombre te me sui era; d 'apud uia telle consid si ration , i restera uel que Ombre premi e qui me- starer te uombre qui est vani tui, et te no uibre A. Car 'il ne restat pa denombre premi e , i y aurait ne insuit de Ombres qui esui erat ent x, et qui se raten plus petits es ian que es autre , e qui ne petat pas arri Ver an Stes nona bres diis. I. Q. I restera don quelque nombre premi e qui mes urerale prsi cside ut, et e Ombre A. DODC, et C.
487쪽
Omnis numerus Vel primus est, Vel a primo aliquo numer menSUratiar. Sit immerus Aci dico' vel primum esse , Vel a primo aliquo mensurari. Si quidem igitur primus est A se tum erit pro-τ επιταχθεν '. E συνθετος , μετρηρος τις positum. Si Vero Compositus, metietur aliquis αὐτον πρωτος αριθμος Azτας ἄρα , και ταρέης. eum primus numerus. omnis igitur, etc.
Eστωσαν οι δεθεντες ποσοιουν ἀριθμοὶ οἱ Α, Β , ' δεῖ hi ευρεῖν τους λαχίστους των τον αυτον λόγον ἔχοντων τοῖς A , B, T. οἱ A, B, Γ γαρ τοι πρωτοι προς ἀλλήλουςύσιν η υ. E μεν ουν οἱ πρωτοι προς Numeris alis quotcumque invenire minimos eorum eamdem rationem liabentium cum eis. Sint dati quotcumque numeri B opo tot igitur invenire minimos eorum camdem rationem habentium cum ipsis T.
Ipsi A, B, P enim vel primi inter se sunt vel non. Si quidem igitur Α, Β, Γ primi inter
Tout nombre est premier, o i est esui si par quelque nombre promier. Sol le nombre AG e dis que A si uia uombre premier, uriu'il est mes ursi Par quelque Ombre rem ier. Si A est ian Ombre rem ier, On aura C qui est Propos4; 'il est compossi, quelque Ombre rem terrae esui ei a 55. Done, etc.
488쪽
αλλήλου ει , λάχιστοί , τῶν τον αυτ sit ut , iiiiiiiiiii sunt eoru in alii leui rationem λογον εχόντων αὐτοῖς. in ictili uti cum ipsis.
489쪽
μετρεῖ κατὰ τας ἐν τω - αδας Και πὼ is utrumque eorum metitur per unitales quae τον Α μετρεῖ κατα τὰς ἐν τω μζονάδας καὶ in . Et quoniai Θ ipsum metitur per ui1i-M αρα τον Α μετρεῖ κατὰ τας ἔν τ Θ μονάδας. tate quῖ in Μὴ et M igitur ipsum A metitur per Διὰ i αυτ δυ καὶ nec τερον των unitates quae iii . Propter eadem utique et μετρεῖ κατὰ τας; κατέρω των Κ, Λ μονάδας ulrUmque eorum me litur per unitates quae
PM αρα του A, B , Γ μετρεῖ. Και πὼ is τὸν iii piis ipse migitur ipsos P μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τω, μονάδαο gρα metitu et quoniam Θ ipsum A metitur per τον 11 πολλαπλασιάσας τον Α πεποίησ&. Δια τὰ unitates quae in Wr ipse migitur ipsum M multa αὐτὰ δὴ ce τον Δ πολλαπλασιάσας τὸν A tiplicans ipsum A secit Propter eadem utique πεποί11κεν ἰγος ρα ἔστιν ac των E , Δ τω ἐκ et L p umi multiplicans ipsunsin secit aequalis των O , ' τινυρα ς 4 πρὶς τοι, Θ ούτω igitur est ipse ipsi ex , o est igitur ut PM προ τοι A. είω A P τολε- μώει ὰρὰ ad O ita odi. Major autem Gipsos major και i του και μετρεῖ του A, B, Γ, m igitur et ops et melitur ipsos A, B, Γ ἐστιν ἀδύνατον , πόκειται γὰρ P τῶ , IIuod est impossibile i ponitur enim Aisorum A το μέγιστον κοινον μέτρον οὐχ αρα ονταί τινες a ima Communis mensura non igitur τωνα, Ζ, Η λάσσονες ριθμοὶ - αὐτ λόγω erunt liqui ipsis , , H minores numeri in οντες τοῖς Α, Β, Γ οἱ , , H αρα ἐλάχι τοί Padem ratione tu qua A, B , i ipsi , , 1 ει ι των τον αὐτον λόγον ἐχόντων τοῖς A, B, r. igitur tui mi Sunt eorum eamdem rationem lia Om ἔδει δειξαι. bentium cum ipsis T. Quod oportebat
Sureis par es unith qui soni erim; don multiplant M fait A. Par a memerat son, E multipliantis saltis dono te pro luit de E pari est galla uiro luit de Par in don E est commem est his li9 7 . Mais E est plus grandiniae G donem est ius grandinum , et Mesur A, B, G e qui est impossibi ; caron a suppos que Δ est Ia plus grande commune esure de noua bres M, B, Γ;don ilis' a pas de Ombres plus petit que Ε, Ζ, H qui ayent a si me aiSOnque A, B, Tu don Ε, Ζ, Η son te plus petits nombres qui ab en ta meme aisonaVec A, B, T. Cemu'il fallait si monti er.
490쪽
Δύο αριθμων ρθιντων , εἴρειν ν ἰλύχι τιν Dii Obiis uineris datis, invenit quem mini-
Ipsi enim vel primi inter se sunt, Vel nou. Sitit iriniurii A, B primi liter c, o Aipsu in B inulli litica iis ii sum faciat et B i. iiii ripsilii Aonii lii plicans ipsum P secit; ipsi igitur ipsum P mclituitur. Dic ulique et mi- Di ilium. Si citim non , metientur aliquem numerum ipsi mitiorem existe illem ipso T. Metianturi. Et quoties A ipsum A melitur , tot ianitates sint in piolies autem B ipsum A metitur, tot unitales sint in ipse ilia idem
igitur ipsum L multiplicans ipsum A s.cit , ipse
Deu nombres tant donnus, toti ver te ius petit qu' iis mos urent. Solent A, B es detix nombres donia sis it aut rotaver te plus petit u 'iis