장음표시 사용
51쪽
0uum in circulo, descriptis ad angulos rectos diametris ΑΒ et DR ex utraque parte puncti D abscinduntur aequales FD et Du, et a punctis Η et F demittuntur perpendiculares, FG ellit, ducta recla ta erit: M IΗ - ΙΙΙ : IB - IB r T. Sunt enim
Curva igitur, in qua Sila sunt puncta Κ et k, ex cujus reliquis punctis quotlibet secundum ea, quae jam dicta sunt, constitui possunt, quamlibet semichordam, diametro perpendicularem ita secat, ut fiant ipsa Semichorda et pars minor diametri mediae continue proportionales inter partem majorem diametri et eam partem semichordae, quae diametro proxima est. Curvam DKkB, quae est cinois Di is, ad nostrum problema solvendum ita adhibitam invenimus:
52쪽
quas duae mediae continuo proportionales inveniantur. In circulo, cujus radius tamen longior est Sumendus quam datarum major, constituitur, diametro M perpendicularis, radius CD, et
ΑΙ - a, et erigitur perpendicularis IK - b. Si denique ducitur recta Ain, et demittitur perpendicularis
ΗΕ G, erit ex natura ci soldiS. Denique constructione goometrica constituuntur deinceps quariae proportionales in propos
Xot. Constructio geometrica, qua constituuntur rectae p et q facillimo conficitur, si ducta recla ΑΗ, et producta perpendiculari IK usque ad L, abscinditur H N - b, et deniquo origitur reela MN ipsi H G ad angulos rectos; erit enim IL p, et M N q, cujus rei demonstratio lacile elucet Commemorat Procius scommenti in lib. I Euclidis in vers. Barocii) pag. 31 I cimoi- dein, quam etiam ad angulum trisecandum adhibuit ipse auctor, tanquam exemplum curvae 6
53쪽
angulum esset ensis ramum enim cimoidis, in quadrante Ac D positum, cum ramo DE Bunam et eandem essicere curvam, jam intellexerunt vetere . Non tamen invenimus, veteres naturam et indolem hujus curvae altius investigasse; quum vero haec eurva permultas habeat proprietates singulares, in natura cimoidis paulo accurasus investiganda, hoe loco aliquamdiu morabimur. T
Sit AB axis abscissarum; et punctum Ainitium coordinatarum; sint porro, more Soliis, ΑΕ x et ΕF-y; si denique ponitur ΑΒ - s, efficietur cob proportionem x : Υ - Α Ο : e G atqui sunt AP in ca x ' et AE' - a-xJ x, unde xv - '. , unde porro tu)
Indicat aequatis D Partes aequales curva Silas esse ex utraque parte rectio ΑΒ. 2 Curvam in initio coordinatarum concurrere cum axe. M Rectam, in puncto B perpe dicularem, esse asymptotam. D Nullum ramum cissoidis situm esse, neque ad partem dextram rectaeBT neque ad partem sinistram puncti A. D Partem curvae positam esse extra circulum generatorem. stat punctum illius partis curvae,
ubi concurrent rectae ΑΗ et in productae; si ponuntur Ao - x et es D a quationibus α) et in etiam id punctum definietur.)Si producitur recta As, donec cum Rum tota B T concurrat, erit AH - sT; sunt enim: AH r ΑΕ - Ηs: Ee - T : e B, unde, quum sit A E se e B,
54쪽
0uae proprietas perfacilem praebet modum cisso illis per puncta describendae. Ex aequation ca), a - M, elicitur constructio vel cubi duplicandi, vel alia quadam ratione augendi. Nolent enim p lalus cubi dali, et q altitudinem parallelopipedi quadrasci, quod sit cubo quaesito aequale. Constituuntur ad angulos rectos ΑΒ et B s, et ataeinduntur Bm in q et Bh - p; consecto deinde rectangulo mh, circuli cujusdam ci sola ita describitur, ut fiant AB axis et ΒΤ asymptota. Ducta denique diagonali Bi, quae, si opus est, producitur, donec cum curva concurrat, et demissa perpendiculari Κl, erit,
Tum quaeritur quarta proportionalis in proportione munde ob Α l l Κ . t B, et ob triangulos similis Et B et imB, evadet mi' . mB p q, ut igitur s sit latus cubi quaestu. Indicat Gessiciens disserentialis 1 tord,
puncto A esse tangentem rami utriusque clamidis. M Beelam S T esse S Nullum in cissoldo adesso punctum maximi vel minimi. asymptotam.
Ex formulis satis cognitis perfacile inveniuntur tang., Sublang., normal. et normal. cimoidis, et constituitur tangens, si datum est punctum axis Sive ipsius curvae. Sic, si constituenda est langens, transiens per punctum axis, quod ab initio coordinatarum habet distantiam in ria, erit x abscissa curvae in puncto contactus ria. t. Ex aequalione cismidis ad asymptotam relata,
55쪽
Si quaeritur longitudo arcus cissoidei vc, ut sit X ta Aa, erit:
unt, si notat r radium circuli generatoris,
Porro intelligitur, aream supersiciei curvilineae AF Η esse 2r'-V,r n ca iPosito x in a, erit X - δροπ I)0uid incirent expressiones cl) 23 et c3), id facile apparet; et perspicuum est, plura theoremata similia pusso inveniri. Ex paucis, quae de curva illa insigni commemoravimus, satis apparet, quam late pateant disquisitiones ejusmodi, sed ne ulterius proferamur, quam sinat propositum nostrum, in iis, quae jam dicta sunt. Subsistere cogimur.
Post id tempus, quo Nicomedem et Dioclem vixisso statuimus, mathesis pura apud veteres parvos modo progressus secit; mathematici enim maximo in coelo contemplando et
56쪽
in Astronomia excolenda versati sunL Nobis igitur, qui plenam matheseos historiam conscribere non cogitemus, tantummodo Menelaus et Diophanius nominandi sunt, quorum aller c. 70 p. Ch.) trigonometriam ut ricam in justam disciplinae formam primus redegit, alter, cujus aetas, quanquam incerta, a Bossut indicatur emo e. 160 p. Chr., analysin indesinitam, quae ex eo nomen traxit, inveniL Merila aulem illorum virorum copiosius tradi. non sinit propositum n trum.
Qui post Diophanium rebus mathematicis operam dabant, maxime in eo elaborahant, ut commentarios in opera veterum Platonicorum et Alexandrinorum componerent. Rarius accidit, ut novi aliquid ab ipsis inventum adjicerent. Inter ejusmodi commentatores nominandus est Pappus Alexandrinus c. 400 p. Chr. , qui et de historia matheseos veterum bene meruit, et saepius insigne ingenii acumen et sollertiam ostendit. In praelatione Iibri III eollectionum mathematicarum de natura problematis nostri disputans, primum refellit ille auctor solvendi quandam rationem anonymi cujusdam, qui solutionem
vere geometricam in locis planis positam invenisse so putabal; deinde lProp. V in vors. Comand . pag. 83J tribus illis solvendi rationibus Malosthenis, Nicomedis ci Heronis in libro commemorato explicatis, solutionem ab ipso invenlam pag. 11 adjungit, quam lamen et in libr. VIII coli. mathem. Propos. XI in vers. comand. pag. 463J repetitam et apud Eulocium in comment ad Archim. de sphaer. et cylindr. slib. II prop. 2 in edit. Torol.) pag. 139J accurale expositam reperimus. Ratio autem solvendi Pappi haec est.
57쪽
Datae sint rectae a et h, inter quas duae mediae continue proportionales inveniantur. Radio datarum majore describitur circulus, et diametro G D ad angulos rectos constituitur radius AC, in quo abscinditur dalarum minor b in BC. Ducta recta DBF, in puncto G ita applicatur regula, ut circa illud moveri possit; movetur deinde regula, donec aequales sint ΕT et Tu, et ducitur recta GER. Si denique constructione geometrica quaeritur quarta proportionalis in proportione
Ducta recta ΗCL, demittitur recta LEM, quae, quum sit ET : TR - LC : cΗ. erit radio Ac parallela, et diametro GD ad angulos rectos. Ductis deinde rectis LG et LD, erit in Δ LGE, ob angulum rectum LGΗ rLP : GF in GP - ΙΕ', atqui, ob angulum rectum GLD, est LP GI . ID, unde ID : GI GP : T'; quum autem sit
Quae sequuntur apud Pappum et Eutoelum non inveniuntur, ut verisimile est, quia illi avetorea haec per ast ipsa elueere judicabant.
58쪽
Εandem sero solvendi rationem, quam ab ipso inventam explicat Pappus, tradit Eulocius scomment. in Astium. de Sphaer. et cylindr. lib. 2. prop. 2 in edit Toret. pag. 1 41J eliam expositam esse a Sporo vel Paro, de quo tamen nihil aliud constat, nisi hoc, eum paulo post Pappum Vixisse videri. Ratio autem ejus solvendi, haec est: Sint datae rectae a et h, inter quas duae mediae conlinue proportionales inveniantur. Badio datarum majore describitur semicirculus, et diametro GD ad angulos rectos erigitur, radius C Α, in quo abscinditur BC -- b. Ducta recta DBF, in puncto G ita applicatur regula, ut circa illud moveri possit; movetur, deinde regula, donec aequales sint ET et ra,
ot dueitur recta GEH. Si denique constru liona geometrica conssiluitur media proportionalis in proportione
59쪽
Perspicuum est, solutiones Pappi et Spori esse prorsus easdem, et illos auctores modo demonstrandi ratione differro, quemadmodum etiam intelligitur, mechanicas illas solvendi rationes positas esse in proprietatibus celeberrimae illius curvae Dioclis. Si porro tenemus, Pappum de ratione Di lis nullam sacere mentionem, quum ex non nullis collectionum mathematicarum locis abundo perspiciatur, cisso idem Dioclis ei non fuisse incognitam, jure forsitan suspicari liceat, Dioclem ab eo data opera esse praetermissum. De Sporo autem nihil conflat, unde conjicere possimus, utrum ipse sit auctor solvendi rationis, quae supra commemorata est, an aliam modo demonstrandi rationem solutioni
Dioclis vel pappi adhibuerit. atqui est GK : ΚD CP r CP,
60쪽
Dubitari non potest, quin praeter rationes cubi duplicandi, quae jam commemoratae sunt, alia quoque apud veteres lacta sint pericula nostri problematis solvendi, quae tamen omnia memoria exciderunL Recedamus igitur a veteribus; et quanquam problema duas medias conlinue proportionales inveniendi nullam in mathesi recentiorum habet vim, tamen, ne historiae ejus quasi Dis desit, quid lentaverint recentiores in nostro problemate, in capite sequente breviter explicare non omittemus.
.uanquam per longum annorum spatium studia literarum, et imprimis matheseos Aloandrias et Athenis storebant, tamen in mathesi pura praeter ea, quae jam commemorata sunt, nihil magni momenti inventum esse videmus; nam, ut jam saepius diximus, in iis, quae jam cognita erant, excolendis, et in praeceptis mathematicis ad usum convertendis maxime versabantur. Et quum postea magis magisquo dilaberentur literae, postremo studia matheseos et celerarum artium ingenuarum paene landitus exStincta sunt.
Not. Musoum Alexandrinum, quod appellatur, a Ptolomaeo Lagi filio aut Ptolonusto Phialadelpho can. circ. 280 a. Chr.) institutum, diu tranquillum refugium omnium bonarum artium eral; et quanquam, ob crudelitatem Ptolomaei Euergetis II, mulli homines docti emigrabant ca. circ. 130 a. Chr.), et quanquam permulti libri, quum Caesar in P γpto bellum gereret, comburebantur, lamen docti, qui inmuseo Alexandrino sumptu regum alebantur, studiis literarum maxima industria, neque Sine progressu, operam dabant. Sed post tempora Augusti etia in in AEgypto magis magisque evanuerunt literarum studia, et regnante Hadriano ci 17-138 p. Cbr.), qui quidem lautor literarum videri voluit, eo perventum erat, ut, ob lacete et blande dictum, loci in musco hominibus, qui litorarum omnino erant imperiti, tanquam beneficia imperatoria attribuerentur; quin etiam athletam locum in mi seo habuisso accepimus. - 0ui docti adhuc Alexandriae vivebant, multos expulit Caraealta i212-217 , et, invecta religione christiana, muscum ludus sa tum eSt, in quo, quum praeceptores christiani non nisi de institutione religionis curarent. disciplinae literarum usum vitae spectantes discerentur. - Regnante Iuliano
Aposlata 3bb-363 studia literarum etiam in AEgypto rursus paululum progrema esse videntur; sed temporibus Theodosii Magni 379 9b) doctrina pagana
Alexandriae omnino exstincta est, et quum postea variis temporibus libri Alexandriamsxime constantinopolin auferrentur, quumque homines, qui in I ulo literis adhue T.