Acta mathematica

111쪽

Sur Hes sirius entiores o Hos fractions continues ration nolles. 99

Eniin, an tu troisthmo et derniore section, o discuto brio vomunt certain des rosultat fur es luel ropos tu sithoile, et, plus particuli bremunt, a notion fondumentale de fructiori continuo simple. Ce ravult a sit rhsum dans uno oriri sole prsissent si ii 'Acad simiudos ciences de Paris, mars I 803.

112쪽

Extrayon dia tableau Τ une sui te inhaire de fractions satisfai sunt uia conditions vivantes: I'. I a premiore fraction sera ne fraction dii ord dii tableati; a'. seu fractions conssilutives quelconque Seiron contigu6S; 3'. Cliaque fraction sera plus avunche datis e tableuia que cellequi a rheode. Les fractions 'une tolle suit soni es hiluites successives 'une fractioncontinue doni es numhrate urs parti eis soni totis de monome entior en aedon tu dogr et lo cotissicient soni dis sirent de bro, et les sinominate ui spartiel de polynomes donicie terme constant est isthrent de dro h laconditiori, outefois, 'adopter, sicia premi hre fraction de a sui te appartientali ord suphristur dii tablenia, ne fruction continuo de a forme

oti ai est uti polynomo, set, si a premior fructiora de a sui tu appartientuitiori luidi a dii tabluuia, uno fractiori continue de tu formo

et hiunt uno constante. ne fractiori continue de coitu nature qu'olle appartienti ii 'uno i ii 'aut re formo est dit uno fruction continue imple. Roui proquemunt, si es siduites 'une fraction continue simple appartientiunt outes au tableuia Τ'), ello formon uno sui te de fractions qui sutissuit uii trois condition si nonches rhcsidem ment.

113쪽

ot 'on obtient insi a fructiori continue

dHk donno par EULEu dans Soti Introductio. 4 . De et te fraction continue e ut se dod uire mulsidia temetit a Shri y correspondante, et es eu expression analytique semblents' hquivaloir enti trement. Cependunt, uti potnt de vii de a formationdi tableau une distinctiori doli tre ait entre elles ii aut ne Voir, dans a sirie , que a fraction de an infiniment gran de la premiore ille origontal dii tableuit, tandis que a fractiori continue doli tre regarithe comme Disant connuitre, par se roduites successives, a sui te compihi de fractions de cette rem thre fle. Et, en esset. 'est a si-nhrali sation de cette de uxihme manior de concevoir a sifinition dutableau qui nous moneo et te proposition fondamentale: e tableuu T est desini or 'une ueloonque de se si actions continue Simples.

114쪽

102 Henri Pade. Lu domonstration repose fur Cette remurque que si 'on Connuit a

On volt alor qu'il sussit qu'une sui te illimitho do fruetion de plus en plus vanesie dii tableau T sol donia he, oui quo e tableau to utentier se rotive si fini Or, es siduites 'uti fructiori continue simple

115쪽

qu 'inversem sent, ne raetion continue simple ou vult ire divergente, torsque in siri Correspondante tali convergento. Nous omines maintonant en sita de concevoir es de ii rhsulta is

particulier dans e qu'il ont de sin sirui, set nous dirons simplement: parmi es fractions continues simples, en nombre dimit , qui 1 curent tre siduites 'un obtestu de fractions ration nelles approch es le tines eurent tre con eruentes, es utres diversientes. Suppofons tors que 'on ait ne fraction Ontinue simple doni tota testes siduites appartisennent k uia mome tableui de fractions ration nolle approelisies; ce tablestu se rotave par k enti sero merit sifilii ii tui correspond ne infinit de fractions continues simples si paruit elles, it enest ne qui soli convergento, ello sifinit ne onction, et e tableuia est celui de fractions rationiaelles approelisies de cotto onctiora. Ain si partantit' uno fraction continuo simple convenable, san rien supposer, o iteratS, Sur Λ ΟΠVergente ii a divergen eo, nous parvonon licia si finition 'uno fonction; et te fori tion est vidum inserit a valeur, uti sons habitu et do emoti des la fractio in continuae simple, tu aeus celle-ci Si ConVergente. Dans 'hypothhseorsis particuli Gre oti a fraction continue simple quiser de poliat de si par est celle 'EULER, Ou, e qui revient ni mome, si 'ost ne siri sentiore qui seri' si fini te ab lenia, nous avons cette proposition une serie ensipi e peret suffire, qu elle sol convergente ou dire mense, sini, une fouetion et cette d sinition est lor felle que, orsquela s rie est conrernente la sonetion 'est utre que a solum de a s rie.

approelio S, que nota Supposerons, commo rhesideminent, uniquem entcompossis de fruetion normales.

117쪽

Sur os sirios entili res et les Traetioris continuos ration nolles. 05

0 . On volt tu role fondamenta que pretinent, duns es considbra. tions qui procodent, es sis ultat obtenus par LAGUERRE O HALI IRX iis constituent, ave la notion de a multiplicito de fractions continuos simplespour uno mona foriction, te son nisi me do in sit hod0.DHk au si hele dernier LAMBER avni constuto, par te calcul directd'un certa in noui bre de siduites, qu' uti fractiori continue potivait troconvergente dandis que dii 4hries 'oti in Q 'avait id uites tui divorgonte:

118쪽

ii fuit hors de Oute. J'ni donia in sis nition prodis de in raetion continuo simplo oti tubli 0 modus d ghnhration de cellos qui correspondent ii uno sonetion

tu iis situdinient; on sorte que solis editu X pression ite si 'eloppe mentd 'uno senetion ei fra tion continue i. ora a sentendu es hose les plus

teur parti et des polynomes eniter On r. a nature de 'approXimationa orande par es roduite su re essivus a lol s uti Caraetore tros procis quites caraethris comptolement. C'est a convergende 'unu fractiora pontinue de Cette nature que L LGURuus a mis ora viden eo, lor que in Abrio, ordon risio sui vati luspui sun es bero issantos de T. 'oh ii 'n bduit 3, At divergent set uti fuit, ni poliat se uo formel, , ne quution dissi ponti ullo inbuiro dii premi oror ire; tu soriction vers laquelle Converge in raetion continue est ne intsigrat de culte quation. Si. duris uti uelle fruction Continuo, ora rem pluee . par et que 'Onronde, par de multiplications convenitu es, tota ius tomenis, numbrate urset sino minute urs parti eis, enti urs, on obtient ne si action continue imple. Duns e cas e plus onorat, culte fraction est Ouliere totis es num6ruteurs urti eis soni dia seconi degro, et totas es sinominatu urs parti eis dia promiser dans tous es oris, 'est uti fraction tro parti utiliore parmio sellus illii correspondentis in cinction. Ont di volopponi Otiti otio Miseri libro sortia O vi gulior ilia O

119쪽

Sur ius sortes entiti res et les fructio iis continues ration uelles. li T

JACOBI avait adopths our a functiora , Ῥί I X reprhsentant uti Olynome di quatrio me degrsi, alors illi en a fuit connuitre, suns simonstration, log expression ghnhrales des siduites en termes elliptiques Mais, tandis ultio a ne inlinit de eis si veloppement imur a fonction, ab arat cette forme rogulthre u 'aut res encore, it 'en a consid6r que de ux HALΡΗΕΝ, en trant dans a volo qui tui tali in si uverte, a reprishgalement es eu se uis siveloppement potir hinon trer, labori tos proposition de A BOBI, et en sidui re, ensuite, Voc ne sagacit mer- veilleuge, es admirabies sis ultat que 'on ait et qui on sit si justomentupprdei sis par M. OIXCAusi duris in Otice 'lu'il a consa rhe, uia lejournu de 'Edole Polytechniquo, a 'illustre homo tre. Mais 'est i pus permis de cro ire que et te particulari sation excessive des huelos puments cotisi dirhs a pu acher e que e rosultat Obtenus petiverat auoi degsinhrat, et, par conSsiquent, a tot satis do ut plus implo, doni iis ne soni que des eas sphciauX.C'est ne uir forme de raetion continue simple que celle que GAUS a fuit connuit re poli te quotient de deu fhrie hyperghomi triques elle est galem erit rogulthro te num orat eur partiet y soni hi premiur log rh, et les si nominat eur parti eis soni des Constantes. k en ore, iba, our in fonction uia nombre illimit de si vel oppernent de coit form0, tundis quo jus tu' ici, elui de GAUS seu u th consid sit h. On ait abolle tentative fuit par HIEMA XX our tabli tu convergen e se cotto fraction continue. En lisant a dimonstration, n e ut emarque qu'ilobtient, Our X pression sinorule par des hi te hyperghomsitrique de lui hiluit de an in deu formes disiarentes vivant que in est uir uim uir; 'est qu'ui fonti a fraction continue consid6rhe 'est que a superposition, Our insi dire, de deii fructions continues simples, 'uned'elles ab ant our siduites es siduites de an pati'. et l'auti e les siduites de an impati', fractions qui ourra ierit tre obtenues immodi a temetit pur a simple application 'utio identit de LAGRANGE; inuis utor ilsoniblo bien quo a mothodo de domonstration de IEMA XX. si tuti est tu elle soli ou k ait rigo ureus0, 'appliquerat ii a si monstration dela convergoneo des utres fractions continuos rhguliores relatives ii lasonetion consid6rhe. Le siveloppement 'EULEu, enfin estis troisio me type de si velopp ment en cor consid si rh ut re is est galement rhgulier; es tui in orate urs

120쪽

et les dotio iniri uti urs parti is oti dia premier Og rh. Cottini datis es

apparent entre eri X. u'On 'uperee uitias a multiplicit h. our uti momes ultiora, des ructions colatinuus de lincula de cos modes. L0s olivi agos classique traitant de la question accusent en 6nhral,

uti plus haut pol sit, eos dolavis. Jo ne parte pas de 'otrange confusion qui upparuit erit re a thoorie dii sive toppemen d uri nona bre irrationeten fructiora continuo urit limotique et elui 'une sonetion ei fractio continue algbbri quo tu approchement quo 'on fuit oujour entre es deuXOrdrus de fuit est to ut nu,;si bigari e quo te seruit 'ido quo a thhoriudes sorius entiores do it oujours of nocessu trement tro prododsi de lath horio des raetioris sic in uiles. Muis ora petat constate quo es nute ursnsigligent de uiro avoi cu u' iis sentendunt par tu hueloppo metit 'unei onction eri fraction continue, ou que s iis font conii uitro uno si finition. iis choisissent uia mode particulier de si veloppem erat uias equo De ren-trent pus ensuit tous eurs Xemples, ii momo doni ii 'a jam ais th

commuta que leur roduites valent avec a sonetion si velopphe certui nesi elations pro ises 'approXimation mais on a sit jus tu' donner, solis leno in de si vel oppomen ei fructiora continuo 'une foraction des X pression qui 'on plus voC Celle- ei auctiti appori, ut poliat de vii del 'approximation donnhe par es siduites. Je uis, Pur Xemplo, galer ne sonetion ne fruction continuel imito duris tu queli j me doniae urbi trairemunt ous es num orato ursparti uis et toris lus si nominatu urs urtiuis suus te dernier et regarder