Acta mathematica

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Sur cloe sdrius ciui etes et clos dractions continuus ration nolles. 09

tinue et que e te remptu est, duras 'hgalith, par e si vel oppei nolit,ci 'Obtiens uti fruction continue k a formation de laquelle a bien contribulla onction; ut i est bien clui que es roduites de coit fraction, aumolns es premihi es, 'Ont plus absolumen aue uno relation 'aucunee spheo avec a fora tion do velopphe do it -on dire que 'on a 1 un h. Veloppomen on fraction continuo do a lanetion 3 De moriae it no sussit pus qu'une sonctiora satisfiisse ii ne quationsonetion nollo inhaire ii trois termes, analogue uia relations entre siries hypergῆomsitrique contigusis, poli que o hvel oppement que 'on Ddsiduit par te prochil connii, our e quotient de deii de eos onctions, ait quotque relation 'approximation ve Ce quotient. Il emble qu'Oni'ait pia croire, copendunt, et qu'on se sol demando uelles relations es rhduites 'un diveloppement obtenu in si poli valent avo i aveo uelles desdovoloppements 'EULE et de GΑUss, an qu 'on ait pii faire in siponse,

bien entendit. IO . Ce Ont toti tes Ces Constatutions qui, utor ilite, uid par de usses analogies entro a thhori de fractions continues arithm sitiques

et celle de frautions continues algobriques, e oursu tua is uia ut biendi sthroni, 'on conduit ii rechercher de fondement prsicis 'uno thhorie de fractions Continues algobriques. Prenant our potnt de hpar lecaraethro des siduites 'otre de fractions rationnullos approchhes de lasonetion, 'ai sit anitin k la si finition do a fraction continue simple, k la notion de leur multiplicis potar ne momo sonetion, k 'situdo des

types sigialiors, attachant in si ii ne coneeption onoratu et parsa iternent rheis totis es exemplo divers Onnsis uiathri eurement. La fractiori continue simple estis colles h les hi si ment soni simplement ratio Ianeis, e que a siri erat thre est ii celles h les termes sontatissi simplement ratioraneis c est litisne analogi importante oui justi fieri' introductiori de a notion do fraction continue simple, ut qui ut Petit-otro emi deli certain dolite de so manifeste sicio 'uvat plus elui rement ni se en videnee.

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Le caraethre fondamental 'une siri enithre consiste oti e uectiaque nouueau terme jout est uia monome entie de egi h suphri eur totas es rhesidenis, en Sorte que 'on obtient des polVnomes qui repr6- sentent avec ne approXimation de plus en plus grande 'uti quelconque de ceu qui viennent prὰS. Or, dans uno fraction continue simple, e carnethro Ondumetitu se retro uVo Chaque siduite reprosente ave uno approXimation qui croiten mome temps que e rang 'une quelconque des roduites vivantes;

petiverit montre les exemples e plus imples. Si done n e ut tro uver, dans es fructions continu0s, 'unalogue de a siri entiore, 'est O ut numoin parmi es fractions continues simple qu'il aut e cher her. LeSeu reproelie que 'on Ourruit en ore ad regger ii a dos nition de lafraction continue simple, 'est de 'otre pus eneor se reStrictive; et, en esset, coitu sifinition uisse dehapper e caraethre important, surcieque lj'ui insist prhesidem ment et qui appartient au fhries entiores, que Se rh-duites solent sicessuirement de fractions ration nolles approchhes potir nero luit de raen plus levsi qu0lconque si ori se donne ii priori, ne fractioncontinue simple ses hiluites ne soni par conssiquent pas heessu trement des

fractions 'un tableau de fractions ration nolles approelisios elle ne sis nitPas en ghnhra uti tot tableaia, tundisinu 'une siri entiore te hsinit oujoui s. II . Comine ne siri entiore petit et re is solis forme de fraction continue simple, o thhorhine 'ABEL sur a convergene des hi iesenti sires petit ire transportho et te fraction continuo, et 'on est torsconduit si rechere her e quo devient e thhoronae quand au te de consid6rer a fraction continue 'EULEii, on s adresse 1 uno fraction continue Simple uel conque. Comine e 'ui monti si on retro uve a notion decercle de convergen eo, nauis modis sie 'une a Von essentielle, en emia' ilpeut y voir, ii 'intori eur u cercle de convergeneo, des ensemble sph-ciau de potnis, solos hi formant de lignos ii de champs, ou lesqueisia raetion diverge, tundis qu' invergemunt de eis ensembles petivent Sepi bsenter k 'exibri eur u cercle de convergence our tesque is a frac

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duro h di sui et ion

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t, i