Neutoni genesis curvarum per umbras. : Seu perspectivae universalis elementa; exemplis coni sectionum et linearum tertii ordinis illustrata

141쪽

1 o 6 Genes s Curvarum

quam nempe habet r ad Unitatem ;posito quod sit r Aequationis b x'

angula homologa, est rectangulum D F κ F B, sub Segmentis in quae Contingens E e ipsam D B dividit in F, ad τ F quad. in eadem Ratione ;quare quum sit Punctum D ad Cur vam sex hys.) ad eandem erit et PunC-

tum B. Q E. D.

Inversa nunC denique Projectione ad prius illud D. Mao Laurin Theorema regredi licebit. Assumpta enim pro Linea Extremorum recta quavis Z Y, Asymptoto non parallela, neC quae per Ullum e Punctis A, B, C, D, transeat, Parabolae Projectionem continget Horizontalis in Puncto ad quod Convergunt Parallelarum A C, D B Projectiones. At Contingentis E τ e Projectio eidem Horizontali occurret spu

142쪽

. per Umbrm. 1 IOIta in Puncto P) ubi coeunt Crurum Hyperbolicorum Projectiones. En itaque, in hac Projectione, binas reCtas ex eodem Curvae Puncto P, duc tas, quae ipsam Curvam Contingunt. Unde quum in eadem Curva maneant et Pulictorum A, B; C, D ; Projectiones, rectis per Puncti τ Projectionem transeuntibus ConneXae, Constat Propositum. Curvarum enim

de quibus hic agitur quaelibet in 'perbolo Parabolam ita projici potest, ut Genitricis Punctum quodcunque datum, Genitae Verticem occupet.

Sint T, t, τ, 7, quatuor Vertices Cursae alicujus Neutomanae, sta V n

tur, eriῖ rectarum intersectio ad Cur

vam.

143쪽

1 o8 Genesis Curvarum DEMONSTRATIO.

Curvam secet harum altera T τ,)si opus producta, in Ρuncto C. Ex hoc ducatur Abscissa nova, ad quam,

in Punctis P, p, π, ordinentur reC-tae quae Figuram ad Vertices T, Π τ, TContingunt. Transformata nunC Ae quatione, quaeratur Valor ordinatae Curvam Contingentis, eritque hujus Expressio quatuor ordinatis communis. At quum sit, ex Constructione T τ C recta, adeoque ordinatae T P, τ π, Abscisi1s C P, C π Proportionales, erunt et i p, I vr, ut Abscis .

sae C p, C id est, recta tI ad Ab scisam pariter inclinata) per idem Punctum C transibit. D.

Projiciatur Figura, Ut Tangentae Vticales, Asmptotos, et Crura in ita huic applicata ad idem PunC- tum Coeant, utque ultro prodibit al

144쪽

do memoratum '. Quod se. duc- tis ab eodem Curvae Neutonianae Puncto quatuor rectis quae ipsam contingant, si bini quivis contactus rectis jungantur, erit rectarum in tersectio ad eandem Curvam.

Co R. 2.

Hinc quoque demonstratur Propositio illa in quam prius incideram, i Si a Puncto contrarii Flexus, du-

Cantur tres rectae quae Curvam Contingant, fore tres Contactus in eadem recta: ACcedente sic. Punc to a quo rectae duci ponuntur, ad alterum Contrarium Flexum, Ut tandem cum ipso Coincidat. C o R. 3 Transeat Linea Extremorum per unum e Punctis ContactUs, et manebunt in Projectione tres duntaxat Contingentes, quae Asymptoto oc current in Puncto ad quod Crurum Hyper

145쪽

11 o Genesis curvarum

Hyperbolicorum Projectiones Conve gunt. Ex quo colligitur In Curois qualis es FiG. 5 Q. ENUM. NEUT. si a Puncto in quo ABngrotos Cam secat, Ires Tangentes duci queant, duritis duabus rectis qua rum altera transeat per duo quae Cis contactus Puncta, Gltera per tertium contactum sit AB toto parasiela, harum concursum fore ad Curvam

Ducta denique Linea Extremorum per binos Contactus, sequetur Ut,

uoties duae symptoti ad Cursam sedec fant, ides, si in FiG. NEUΥ. Trianguli D d y Angulus unus M ad Curvam, et ab Angulo ilio duci ueant duae Tangentes ; recta quae hos contariZus conjungit, sit tertiae toto parallela. In summa, illud quidem satis constat ; si in his vel quibusvis aliis Cur vis indagari queant Theoremata sim pliciora,

148쪽

' per Umbras. 111

pliciora, ad Parallelas adscriptas pertinentia, haec omnia ad plura alia de Lineis ad Punista data convergentibus, transferri posse: quae alia qua-CUnque ratione inventu difficillima

forent.

Sed ad Enumerationem institutam

redeamUS.

Classis harta,

Curvas continens quae sunr ex Pa robota Nodata. Spec. 68. Fig. 73.

Pars I.

Ubi Linea Extremorum es ordinatae parallela: Fig. Κ Κ. XLVIII.

Secet L Axem Parabolae Nodatae cis Verticem ut in A, erit Projectio 'perbola Nodata, cui Asymptotos est Linea Horizontalis seu Projectio ordinatae ad Distantiam infinitam. Species Ι. Fig. a 6. XLIX.

149쪽

IIa Genesis Curvarum XLIX. Si Nodum contingat in B, is in duo Crura Parabolica protendetur, ut fiat Species 34. Fig. 58.

Secet Axem in C, Curvam in T, T, ut quae in illis Punctis ipsam contingunt Convergant ad Partes Verticis. Et Figura Genita erit tres 'perbolae inscriptae, quarum duae se mutuo decussant; et quia tangentium Concursus supra Horizontalem projicitur, fit Species 19. Fig. 23. LI. 'Sin ad Partes Crurum ConVergant, Linea se. Extremorum Axem secante in E; Asymptoti in quas projiciuntur Tangentes concurrent infra Horizontalem; Species 18. Fig.

150쪽

LII. Sint denique Tangentes illae parallelae, ut Asymptoti Concurrant ad

Horigontalem ; et evanescente Tri angulo Convertuntur binae praecedentes in Speciem 3O. Fig. 36. LIII. Transeat L per Punctum Nodi F, et Tangentes ad illud Punctum projicientur in duas Asymptotos parallelas, ab Axe aequidistantes ; ut fiat Species 6O. Fig. 64. LIV. Secet Axem in G, Crura infinita

in T T ; ad quae Puncta Curvam

contingentes projiciantur in binas A symptotos supra tertiam se decussan tes; et fiet Species II. Fig. I 8. Pars Altera. Ubi Linea Extremorum non es