장음표시 사용
321쪽
. metrumctim CS. cb Quoniam vero complementa 4 CF, FE, aequalia sint, si comnaune addatur ΚΗ, erunt
quoquo aequalia CH,& ΚE: co Eit alitem CH,aequa. ;le ipsi C G, propter bases aequales AC, CR : Quare etiam CG , & TE, aequalia erunt . additoqite Ommuis
.ini CF, aequalia erunt parallelogrammiim AF,&gnomon LMN. Quare clim CE, maius sit gnomone LMN. ceontinet namque CE, praeter disti im gnomonem etiam im in uelogrammum DF. γ eritqiisque AD , d a ii Ie exi stens ipsi CE , propter bauum aeqitalitatem AC, CB, maius quam parallelogrammun AF, eodem parallelogrammo DF, Eodemque modo ollera letiir AD, Lmaius esse omnibus parallelogrammis, quae ita sectin- dum rectam ΑΒ , applicantur, ut punctum F, sit inter puncta B, & D, hoc est quae occupant maiore si neam semiste AC, habentque minorem altitudinem,
quam AD , dummodo defectus similes sint ipsi CE. Si vero illud punctum F , sumatur in diametro B prodiicta extra parallelogrammum CE; tun lucta' per F , recta ΗΜ, quae sit parallela ipsi AB, occurrat. que rectis ΑΚ, ΒΕ, prodii elis in punetis A , & Μ. Item ducta FG, parallela ipsi A s erit parallelo.
rammum AP, applicatum secundum recum AB, des. ciens parallelogramo GM,ce qued ipsi CF,simile est , similiterque positum,cum psi ei rea eandem diametrum cum C E. Dico adhue maius esse AD, ipse ΑF. Probat: protracta enim eri ad L, aeqtrales erunt rectae H L. LM, cf) cum aequalci sint aequalibus AC, CB ι cet Ideoque aequalia Dral- Llelogramina BD, DM ; h) Cum nritur DΜ , complementum,aequale sit complemento pG erit & HD, aequale ipsi DG. Elt autem HD. maiils sitam AI, parallelogrammo PD; qu re & DG , maius erit quam HI, Mna parallelis ramindFD. ac propterea Com. mis
322쪽
muni addito AI , maius erit AD, quam AF , eodem lparallelogrammo FD. Eodem prorsis modo concili. scies AD, maius esse qi iocunque parallelogrammo ita lapplicato secundum rectam AB, ut puncti im F, sit vltra D, in diametro BD , prodiictar hoc est quod occu- ipat minorem lineam semisse AC , habeatque maiorem altitudinem , quam AD , dummodo deiectus existat limilis paralleloorammo C E . Quapropter omnium Paralleloeram morum secundum eandem rectam ii. Iasam applicatorum,&c. Quod demonstrandum erat.
PR OPOS. 18. PROBL. 8. Ad datam rectam lineam, dato rectilineo aequale parallelogrammmai applicare deficiens figura parallelogramma, quae similis sit ab teri parallelogra limo dato.' κγrtet autem datum reictilineum, cui aeqnale applicandum Cst, non esse maius eo, quod ad dimidiavi ldpplicatur, cum similes fuerint deiectus, iceius, quod ad dimidiam applicatilr,&cius, eui sinite deesse debet. s C H O L I V .
Datis duobus restilineis inaequalibus, excessum maioris sirpi a minus inquine, , .
SInt data rectilinra Α , 5 R ; A quidem maius , N
P, minus . oportet igitur qli aerere qua magnitu dine is
323쪽
dine rectilineum AIsuperet rectilineum B, Fiat parallel oram intim C D EF, ca) in quoctinq; an. gulo aeqεale maiori rectilineo Α : & su. per rectam C D. constitisatur paralis Ieloora nasi CDGΗ, . in dato angulo D, aequale innori rectilineo B . Quoniam igitnr parallelogrammum CDEF, superat parallelogrammum
ora leIogramm , qtiod sit simiIe alteri dato parali 'logrammo D. Secta AB, bifariam in E , super medi a r .stae. EB, ao describatur parallelogrammum EG FB, simile ipsi D,similiterque positum, compleaturque t tum parallelogranimum ΑΗ FB. Si ergo AG, aequale
324쪽
lelogrammo BG, simili ipsi Dε factum erit, quod proponitur . Si vero AG , maius est qualis C, neque enim minus esse debet. Siquidem per praecedenteni Propos. ipsiim omnium applicatorum maximi im, dummodo defectus sint smilex, unde non potest ullum applicari ad ΑΒ, quod sit ipsi C, aequale, cum omniarant minora. Qim propter adiunxid Euclidia. θυον ter autem datum renuineum Oe. J erit quoque sibi aequaquam C . Sit te itur manis rei lineo
KLMN . Qua vero ratione si inquirendus excessus duorum rectilineorum' supra docuimus, unde cernilur modo necessitas Probi. paulo rite propositi. θ bὶ simile quidem similiterque positum ipsi D, seu ipsi BG;, ita ut sit BG, aequale rectilineo C, ia parallelogrammo XM , simul simplis, ob idque maius quam ΚΜ. Cum igitur ob similituditiem sit ut EG,ad GF, ita XI, ad LM, erunt quoque latera in , GF , maiora lateris laus KL,LM. Si enim illa his thrent aequalia, velint. nara , esset etiam BG , aequale ipsi NL , vel minus, ut lconstat. Quare abscissis rectis G X , GO, quae fini re- l& completo parallelogrammo ipsi ΚM, aequale, eicemque simile similiterque pbsitum , & piopterea etiam ipsi BG : c)Atque adeo circa eandem diametrum cum BG consi--ri sit v G . Proditetis i im rectis o P. XP , erit parallelograminum AP, ad lectam AS, ainplicatum deficiens parallelogrammo PB , Qquod si lsimiliterque positum , & proptet ea :1pii '. Dico igitur AP, aequale esse ipsi rectili eo C. imb. Nam cum PF , complementum se aequale sit complemetito p E , si addatur commune PB, erit B - ,h est ips ET, quod aequale est ii si BX', it) propter bases aequales BE , E A. Quare si aequalibus ΑX , BO, e niti ne addatur EP, erit AP, aequa is gnomoni YQ 1: Sed enomon YQI , aequalies est rectilineo C , c nam cum BG , parallelogrammunidi ipsi una 'hi RM , si aeqitalia auferantur ΚΜ,& OX, rem an init gnomon Y 1, ipsi C. aequa-
325쪽
tis. Quare etiam AP, eidem C, a quale erit. Ad rectam ergo ΑΒ, applicatum est parallelogrammum AP, deficiens paralleloorammo BP, quod simile est dato parallelogrammo D , & aequale existens dato rectilineo C. Quod faciendum erat.
PRΟΡΟ S. ets. PROBL. s. Ad datam rectam lineam, dato rectilineo ae Quale parallelogrammum applicare, excrgens figura parallelogramma , quae similis sit parallelogrammo alteri dato.
AD datam rectam lineam AB, dato rectilineo C,
applicandum sit parallelograminum aequale, ex
eedens parallelogrammo, quod simile sit dato alteria I d a. parallelogrammo D. Divisa AB, bifariam in E: a Ω- per dimidiam BE, constituatur parallelogrammum EF LB, simile ipsi D, similiterque positum. by Post modum vero rectilineo C,& parallelogrammo EI, aequale constituatur parallelogrammum NKGZ,smile vero similiteique positum ipsi EL ; quapropter erit NKGZ, maius quam EFLB , quandoquidem factum fuit aequale parallelogrammo EL , una cum rectilineal C; Cum ititur ob similitudinem inter NG, & ELAEt ut KG, ad G Z, ita EF, ad FL, erunt quoque latera KO, GZ, lateribus EF, II, maiora. Si enim illa his forent
326쪽
orent aequalia, vel minora, esset parite NR, vel aequale ipsi. EL , vel minus, ut perspicuum est . Pr dii stis ergo retii MFE, FL , taliter , ut rectae FN, FΜ, aequales sint rems G Κ, G Z ; & completo para telo eramnio m ; eris hoc paralleloorammum simile similiterque positum ipsi EL, cum sit aequale ipsi NG , & si. mile, similiterque positum. cc a Quare NM , & EL,ic circa eandem. diametriim consistent , quae sit XF. Pro
rallelogrammum AX, appliMim ad rectam ΑΒ, excedens parallelogrammo DG. , da quod simile est ipsis I , ac proinde ipsi D. Dic' igitur Αx, aequale esse rectilineo C. Nam cum NM N3, se sint aequalia ; Scris, s yanuni complemento BM , erit & NA . ipsi iRM , aequales Communi ergo addito N G , fiet A ta laquale eminum 'EXL ; sed gnomon Ex I , aequalis est a Tectilineo C. c Nam eum N G, hoc est NM , aequale sit sretilli,eo C..una cum EL, si commune auseratur Hremanebunt aequalia gnomon EXt, & rectilineum C. Quare etiam A X , aequale erit rectilineo C. Ad datam ergo rectam AB, dato rectilineo C , aequale pa-tra Ilelogrammum applicatum est Ax , excedens paral
propositam retiam lineam terminam . e maz ad media ratione secire :
SIe recta AB, seranda extrema, ae media ratione. Descriptosiper eam quadrato A BCD ;c i l ad I ' I Mius DA, ahlicetur rectangulum DF, aequale quUra-
327쪽
to AC ieindensque paralleloσrammo AF , simili ipsi. quadrato.AC , ita ut AF, quo Pasit quadratum , eum quadrato Lo. lilm quadratum sit simile. Secet autem recta EF, reelam ΑΗ, in puncto H. Dico A B , in F , sebam esse extrema, ac media rationa . Probatur . Cum enim aequalia ponantur rectangulum DF , &quadratum AC, si commune ematur DH , remanebunt aequalia GH, fleΗe ; quae eum habet ni angulos aequales AH F. ΕΗ utpote rectos , bst erunt latera circa illM reeiproca, hoe est erit ut EH, vel AB , ipsi EH, aeqitatis,ad HF, hoc est ad ΑΗ, ipsi HF, aequalem ut AH, ad HB. Qii, 1 ra eum si ut tota AB, ad segmentum ΑΗ, ita idem segmentum ΑΗ, ad segmentum ΗΒ, est AB, ex. trema , ae media ratione, per defin. 3. huius libri. Pt positam ergo reclam lineam terminatam &e. Quod erat faciendum .
. PraxIε dhilflendi lineam extrema .aei in ret. Propos. lib.α. proposita fuit. Media ratione
PRO PQ s. HM THEOR. Ir In rei gulis triangulis figura quaevis a latere rectum ansulum subtendente desicripta, squalis est figur , quae priori illi similes, & similis ter positae a lateribus rei tam angulum comtinentibus , describuntur.
SP datum triantulum rectangulum ABC . habens angulum BAC, rectum; describaturque super Ac,
328쪽
quaecunque figura rectilinea BCDE, ea evi similiis,
similiterque positae consti-- ruantur siper AB,&M.
fiouram BD, aequalem duabus figuris ARAI.
per Coroll. Prom 8. huius i R-z- -- M lib. vem, ad CA,ita G. - . ad CΚ. mare ut BC, ad C R, prima linea ad ted. tiam, ita figura AD , super primam ad figuram CH, super secutaam similem, similitem; positam per C roli. Propocry .vel xo.huius libri: dc conuertendo ut CK,ad BC, ita figura CH, ad figuram BD. Haud secus ostendetur , esie quoque ut B K , ad B C , ita figuram BG. ad figuram BD , cum tres lineae BC, BA, Bx, sint pariter proportionales &e.. Qiviniam igitur est, ut Cia , prima qm ntitas ad BC, smundam , ita CH, tertia ad BD, quartam: Item; ut Bx , quiam quantitas ad BC, secunda v isa BG; seua ad BD, quartam s erit ut prima CK, by cum quinVa AK, ad BC , secundam ita tertia Cri , cum sexta RG , ad BD , quar in r sunt alitem prima CK , de quinta BK, simul aequales se mdae BC s Igitur tertia CH, ae sexta BG, smul aequales quoq; erunt quartae BD , quod suit propostum. In rectaneulis ergo triangulis Mu - - erat
329쪽
Si duo triangula, quae .duo Iater a duobus lateribus prvortionalia habeant, secundum unum angula in cor posita fuerint, ita ut homologa eorum latera sint etiam parallela: tum reliqua illorum triangulorum latera in rectam lineam
HAbeastit triangilla ABC, DCE , latera AB, AC
lateribus DC, DE, proportionalia , hoc est ut ΑΒ, ad AC;ita DC,ad.DE; com ponanturque ad angulum ACD, ita ut latera homologa AB , DC,
item AC, DE . sint inter se parallela . Dido reliqua duo Iatera BC, CE , rectam lineam compo. nere. Probat. Cum enim para, tela .sint ΑΒ, DC ; ca erit angulus A. alterno angulo ACD, aequalis; eademque ratione angi liis D, eidem Aia. D, laequalis erit; ac pmiide A , D , inter se quoqtie existent aequales. Quonia nitim piria Uula HBC, DCE, habent latera circa aeq ales angulos Α,& D, proportionalia ; c b ipsa erunt inter se aequalia , babebuntqtie aequales angulos B. 8e DCE : Additis ergo aequalibus Α,& ACD, erunt duo anguli B,& Α,duobus angulis DCE, AC D, hoc est angulo ACE, aequales. Denuo addito communi ACA fient tres anguli trianguli ABC, duobus anqu-31.ρνhil lis ACE, ACB , aequales : sed illi tres cI aequales suae duobusrectis. Ergo etiam duo ACE, ACB, duobus rectis equales erunt: d Quare BC,CE,una recta lineam constituent. Ergo si duo triangula, quae duo latera duo bus
330쪽
bus uteribus proportionalia habeant &c. Quod erat elamonstrandum.
In aequalibus circulis anguli eandem habent rationem cum peripheriis, quibus insistunt, siue ad centra, siae ad per herias constituti insistant. Instiper vero & seeiores, quippe qui ad
SIne duo aequales circuli ABC, DEF, quorum centra' G, ω H; Amanturque ex circulis duo quicunque arcus, nempe BC, EF, quibus ad centra quidem insistant anguli BGC. EHFs in circumseremias vero am' tuli BAC, EDF. Dico esset inta defia. lib. s ut BC, ad ar in EF , ita angulum RGC, ad angulum FHF, ω anetulum BAC, ad angulum EDF: & insuper Iestorem lisC. qui rectis BG, GC, & arpi BC, contu .aeetur, ad sectorem EI F . quem comprehendunt r leae ΕΗ, ΗF, & arcus EF. Prob. Ducita e m rectis C, EF, ra) applkentiit ipsis in circulis aequites rectae