장음표시 사용
291쪽
si duo triangula unum angulum uni angula aequalem, & circum aequales angulos lat ra proportionalia habuerint ; aequiangula erunt triangula, aequalesque' habebunt am os, sub quibus homologa latera subtem duntur. id 4. ρνι.
inter se aequales, sintque latera A B , B C , proiaetionalia lateribus DE . EF, hoe est fit A B, ad BC, Vt 'DE , ad EF. Dico reliquos angulos reliquis angulis a quales esse, angulum scilicet Α, angulo D, & angit litin C,angulo F : Ita enim aeqi - Lles anguli homologa respiciunt lateha. Vt in antec denti demonstratione anguinIo B, fiat aequalis angulus FEG ; & angulo C, angam Ius E F G i quo stante, ut in antecedenti propositisne dictum suit, erit triangulum GH, triangulo AI, ii iangulum. Quare a ut AB, ad BC , it est GE, ad EF: Sed ut ΑΒ , ad BC, ita ponitur DE, ad EF. b Iaitur ut DE, ad EF,ita est GE, ad eandem EF i atque idcirco DE, GE, cὶ aequales erunt. Itaqtie cum lateora DE, EF, aequalia sint lateribus GE . EF ,&quoque anotiti ab ipsis contenti aequales c nam angulo B, cui sagus est aequalis angulus FEG, aequalis est positus an-I Eulas DEF, quare aequales ad inuicem erunt anguII ID EF, GEF, d) eriint reliqui anguli D,& EFD, r liquis angulis G, EFG, aequales. Cum ergo angulus G, B aequalis angulo A , & angulus EFG , ang
292쪽
ri Caeritiit etiam annulis A,&C, aequileon uli λει EFD; ob adque aequiangula erum triangula ABC, DEF s quod fuit propositum et Si ergo duo triangula
. num angulum una angulo aequalem-erat demonstrandum. t '
Si duo triangula unum adg. lum vni Migulo a . qualem , circum autem alios. angulos laterat . a proportionalia habeane; reliquorum vero m. mul Vtrumque aut minorem , aut non nai norena re sto: Aequiangula erunt, triangula, & aequales habebunt eos angulos , circum qms su op6rtioiialia sum latera. b iaSInt duo triangula ABC , DEF, sitque angulus A, in triangulo ABC, arctualis anquis D , in tria in o DEF. & rursis lasera AB,m,circa angulum ABC,
. . , . . Proportionalia lateribus
. A., DE , EF, mrea. angulum D E F , hoc est sit ut AB,
293쪽
t liqitus -, reliquo F. aequaliis 3 ideoque triangula' AGB, DEF ; aequianeuda erunt. Quare ut AB, ad. 4- Ρη , BG , bὶ ita DE, ad qFt Sed ut DE , ad EF , ita p, e Ir . - . nitu ad BC: o Ut igitur AB, ad BG, ita eadem 4 AB, ad AC; d ac propterea aequales erunt B G, Se. s. BC, & o propterea angui i B G C , B C G , aequales. Cum igitur angultis, Cri ponatur recto minor, erit reanauliis BGC,recto minor i ideoque ei deinceps GBΑ,l rao 3. maior 3 D cum BGA, BGC , anguli sint duo a 'Irectis aequales. Est autem ostensus angulus AGB, amgulo F, aequalis. Matin igitur recto est pariter anguis lusE: sed positus est etiam recto minor. Quod est: absurdum. Sit deinde tam angulus C,quam F,recto non minor, eritque ut supra angulus C, angulo BG C, ae ualluliquare etiam BGC, recto non minor erit; ac P pterea anguli BCG, BGC, in triangulo GBC, non minores, errant duobus rectis, sed vel maiores, vel antiales duobus rectis; quod est absurdum s u) sunt enim duobiis rectis minores. Non emo inaeuuales stini anguli ΑΒαννσν .l& E,sed aritiales s fh atque ideirm reliqui etiam aiul tuli C, & F, aequales erunt; quod est propositim. mare si duo triangula unum anFulum uni angitiol aequalem , M. Quod demonstrandum erat.
si in triangulo rei tangulo, ab angula basin perpendicularis dum sit; quae ad pendicularem triangula, tum tis triangulo,
tum ipsa inter se sunt similia.
t T N triangulo BAC, angulas BAC, fit rectus , a quo A bino perpendicularis agatu trian.
294쪽
evia ADA, ADC, similia esse, & toti triangulo ABC,& inter se . Prob. Cum enim in trianoulis ABC , ADB. anguli BAC, BD A, sint recti, &
& reliqui anguli A CB , &DAB, aequales. Aequiangu- Ium igitur est triangulum DBΑ, triangulo ABC, ba aepropterea habent latera circa aequales angulos proportionalia, &c. hoc est, erit veCB. ad ΒΑ, ita ΒΑ, ad BD; & ut ΒΑ, ad AC, ita BD, ad DA, & ut BC, ad CA, ita BA, ad AD. Ita enim latera homologa aequalibiis angulis opponuntur, ut vult 4. propos huius libri. Quare simile est triangulum ADB, toti triangulo ABC. Eodem prorsus modo intendetur, triangulum ADC, simile esse eidem trianguIo ABC. Nam anguli BAC, ADC, sunt recti, &angulus C, communis ; c) c propterea reliqui anguIi ABC, DAC, aequales. Quare cd ut BC , ad CA, ita est C , ad CD,&vtCΑ, ad AB, ita CD, ad DA;&vt CB, ad BA, ita CA, ad AD . Sic enim quoque opponuntur homologa latera aequalibus angulis secundum praescripta in . propos huius libri. Haud secus luemonstrabitur similia inter se esse triangula ADB, tri DC, cum anguli EDB, ADC, sint recti: & anguli l D, CAD, ostensi aequales s nec non anguli BAD; DCA; Atque idcirco fit ut BD, ad DA, e ita AD, ad DC; & ut DA, ad AB, ita DC, ad C A ; & ut AB, ad BD, ita CA, ad AD; si igitur in triangulo rectam. gulo ab angulo recto in basin perpendicularis diicta '&c. Quod erat demonstrandum. COROLLARIUM. Ex hae propositione manifestum est, perpendicularem , quae in rectangulo triangulo in basin demittitur, csse miniapa proportionalem inter duo basis seementa: R Item
295쪽
Item utrumlibet laterum angulum rectum ambientium medium proportionale esse inter totam basin , te illud segmentum basis, quod ei lateri adiacet. Mensum enim fuit, esse ut BD, ad DA, ita DA, ad DC; ac propterea DA, mediam esse proportiona-llem inter BD, & DC. Nec non etiam ostensun fuit esse vim, ad B A, ita BA, ad BD ; & idcirco BA, mediam esse proportionalem inter CB, & BD r Et deni. que esse ut BC, ad CA, ita CΑ, ad CD; ideoque CA, mediam existere proportionalem inter BC, & CD. Quod fuit propositum.
PROPOS. PROBU. A data recta linea imperatam partem
auferre. a 2. 'π.bis. γῆ ΙΜperetur ut ex linea AB, auferamus partem ter. tiam. Ex Α, ducatur riata AC , utcunqtie faciens angulum BAC; M postea ex AC, indefinite producta abscindantur tot partes aequales cuiuslibet ma- nitndinis, quota pars detrahenda ex ΑΒ, ut in proposta figura tres sunt ΑD, DE, EC : deinde ex C, ad B, recta ducatur CB, cui per D, parallela agatur DF. Quo facto dico DF, esse partem ter tiam ipsius rectae AB. Prob. Nam eum iii triangulo ABC, lateri CB, ducta sit parallela DF; a erit ut CD, ad DA, ita BF, ad BA. cb) Componendo igitur ut CA, ad AD, ita BA, ad AF: sed AC, est tripla ipsius AD , per coa- striictionem; Igitur & ΒΑ, ipsius AF, tripla erit,quare AF, erit tertia pars ipsius AB,unde pars quaesita. A da ta ergo recta linea imperatam partem abstulimus.l Quod saciendi uti erat. PR
296쪽
Datam rectam lineam insectam similiter secare,
. . ut da altera rem seeta fuerit . . . SIt data recta AB, seeanda similiter, ut secta est recta AC, in D, & E; hoc est in partes, quae sunt partibiis AD, E, EC, 'prpportioηalcr. Coniuno antur datae duae lineae ad punctum Α, facientes Angli- llum quernelinque BAC , conne .ctanturque insimul recta B C. IDeinde ex D, & E, agantur DF, 3 EG , rinae parat Ielae ipsi BC. Dico retiam AB, similiter esse sectam in F, & G, ut est secta AC, in D,&E. Prob. Nam ca .m AD, ad DE, ira est AF, ad FG ; proportionasses er3o sunt partes AF, FG, partibus AD, DE, Quod si dueatur DK, ipsi FB , parallela secans . in .H , puncto e b erit rursus ut DE, ad EC, ita D H, ad ΗΚ, hoc est iin FG,U GB, cum DB, ΗΚ, ornu let sint duabus FG, G b, per 34. propos. lib. Γ' mi o. a reprm ortionale quoqR Wii. par es FG, Gn, partibus DL, EC. Eademque ratio erit de pluribus partibiis,si ex E, & C, ipfi AR, par illelae agantur , Rc. Quare datam rectam lineam inlectam si insellier lacuimu/,ut d x altera recta ruit . Quod
297쪽
Duabus datis resta sitis metiam proportionu
SInt duae rectae AB, AC, ita dispositae ut efficiant
angulum A, quemcunque, siritie illis inuestiendae tertia proportionalis . hoc est ut ΑΒ, ad AC, ita AC, ad aliam tertiam. Producatur AB, quam antecectin' - tem statuimus , & capiatur 2D, aequalis ipsi AC, quae eon uens, & media esse dobet. Deinde dum recta BC, agatur ex D, linea DE, parallc la ipsi BC , eurrens ipsi AC, productae in E . Dico CE, esse tertiam proportion
lem , hoc est ut ΑΒ, ad AC, ira AC, ad CE. Cum enim in triangulo D A E , lateri DE, parallela ducta fit recta caa erit ut AS, ad BD, ita AC, ad CE r ba sed ad BD, ita est eadem ΑΒ, ad AC, cum Ammuta fit aequalis ipsi BD . Vt igitur AB, ad AC, ita AC, ad CE, quod est propositum . Duabus ergo datis rectis lineis tertiam proportionalem ad inuenimus. mod erat iaciendum . rio.
298쪽
PRΟΡΟ s. ra. PROBL. q. . . Tribus datis rectis lineis quartam proporti l. nalem inuenirai. SInt tres lineae rectae Α, C, quibus inuenienda sit quarta proportionalis, hoc est sicut Λ, ad B, ita C, ad aliam quartam. Dispo-
nantur duae priores lineae taliter, Ut comi nant insimili li. .eam rectam DE, tertia vero
C, cum prima A , hoc est DG, faciat quemcunque angulum, nempe D, sitque recta DΗ, ipsi C, aequalis. Postea ex G,adti, ducatur linea GH , cui per E, dueatur parallela E F . oecurrens rectae D H , prodiretae in F . Dico H F, esse quartam proportionalem , hoc est ut DG, ad GE, ita DH, ad ΗF. Prob. Qim enim in triangulo EDF, lateri EF , ducta sit parallela GH: a erit ut DG , ad GE, ira DH, ad ilF . Riare ΗF, quarta est propor tionalis; quapropter tribus datis rectis lineis , quarta proportionalis inuentasuit. Quod erat faciendum.
. PROP. 13. PROBL. F. Duabus datis rectis lineis mediam propontinnalem adinvenire. SInt duae rectae ΑΒ , AC, quibus inuenienda est me dia proportionalia. Datae duae rectae disponantur lsecundum rectam lineam AC; quae bifariam diuisa sit .
299쪽
per ipsam eonstituatur semicirculus ADC , ita ut tota AC , sit.diameter. Deinde ea ad AC, erigatur perpendi. cularis BD, usque ad periis riam . Dico BD , esse mediam pro γttiionalem inter Α Β, &BC. Drob. Ductis enim re his AD , CD ; erit angulus ADC, - caa rectus est enim in semici 3' ' . Ietitur ex angu Io recto Α D C, ad basin AC , dueha sit perpendicularis Dii, erit per Coroll. Propos. 8. huius lib. media proportionalis inter A B, & B C . Duabus ergo dati. rectis lineis mediam proportionalem aditiuenimus. Quod erat faciendum.
ΡRΟΡos. I . THEOR. i Aequalium parallelogrammorum, & unum vest aequalem habentium angulum, quae circum t aequales angulos, reciproca sunt latera.. Et
quorum parallelogrammorum unum angulum uni anguIo aequalem. habentium rec, proca sunt latera, quae circum aequales an
habentia angulos DBA , EBG, aequales . Dicola. tera circum hosce angulos esse re-ν - Λ ciproca, hoc est esse ut DB, ad BE, - --s ita G B ad BF. Coniungantur B enim dicta parallelogramma iuxta aeqitales angulos, ita ut DB, & BE, - ' constituant unam lineam rectam.
l posito, eum anguli DBR,' GBE, ponamur aequales, a exum
300쪽
etiam G B, BF, una recta linea. Producantur modo lΛ F, & CE , donee corant in H. Quoniam igitur laequalia sunt parallelogramina AB, BC, c b erit ve :ΑΒ, ad FE, ita BC, ad idem FE : sed ut AB, ad FE,cc ic ade ita est basis D R , ad basin B E, c sunt enim parallel gramma eiusdem altitudinis γ similiterque vi CE , ad F , ita est basis GB , ad basiu B F. Igitur ut DB, ad BE ,ssta Gn, ad BF. Quod est propositum quantum ad
Primam partem. E conuersis sint latera circa aequales angulas DBF,
EBE, reciproca, hoc est ut DB, ad BE, ita GH,ad BF. Dico parallelograinma AB, BC, esse aequalia . Facta namque eadem constructione, cum sit ut DB, ad BE, ita GB, ad BF: ut autem DB, ad BE , cdγitst paralle.Id I. Ie/ logrammum ΑΒ, ad parallelogrammum FE: S ut G ad BF , ita paralleIogrammum CB, ad idem EF: erit.d quoque Vi ΑΒ, ad FE , ita CR , ad idem FE. te Αt- 'que idcirco aequalia erunt paralleIogramma ΑΒ , BC, Aequalium ergo parallelostram morum ,& unum Vni atqiralem habentium angulum &e. Quod erat demon'
Aequalium triangulorum, & murn milem habentium angulum, reciproca sunt I
tera, quae circum aequales angulos. Et quorum triangulorum unum angulum mi ae qualem habentium reciproca sunt latera, quae circum aequales angulos, illa sunt aequa lia. SInt duo triangula aequalia ABC, ADE , habentia langulos BAC, DAE , aequales. Dico latera circa lhosce auetulos esse reciproca , hoc est esse ut E A , ad l