장음표시 사용
301쪽
, AB, ita VA , ad AD. Coniungantur enim trium in
ad angulos aeqitates,ita ut EA,& ΑΒ, componant unam lianeam rectam . Quo facto cunianguli BAC, DAE, sint aequa. les, ca) erunt etiam CA, AD, una recta linea. Ducta igitur recta DB:quoniam enim aequa
lia sunt triangula BAC, DAE, D erit ut BAC, ad BAD, ita DAE , ad idem BAD , sed ut triangulum BAC , ad triangulum BAD, o ita est basis CA , ad basin AD, cum haec triangula sine eiiisdem altitudinis : similiteris que ut DA E, ad D AB, ita est basis EA . ad basin λαQuare ut CΑ, ad AD, ita est EA , ad AB . Quod fuit
propositum. IIam vero e contierso , sint latera circa aequales an.
gulos , qui ad A, reciproca, nempe CA , ad AD , ut ΕΛ , ad AB . Dico triangula BAC, DAE , esse aequalia . Facta enim eadem constructione, cum sit ut CA, ad AD, ita EA . ad ΑΗ ι ut autem CA, ad AD , cda ita triangulum BAC , ad triangulum BAD: & ut EA, ad AB, ita triangulum E A D , ad idem triangulum B A D ; Erie vi B A C, ad BAD , ita E AD , ad idem BAD, coac propterea aequalia erunt triangula ABC, DAE . AEqualium igitur triangulorum , & unum via&c. Quod erat ostendendum .
302쪽
ΡROPOS. THEOR. II. si quatuor rectae lineae proportionales suerint: quod sub extremis comprehendir rectan- Igulum, aequale est ei, quod sub mediis c - ῆprehenditur, rectangulo. Et si sub extremis l
comprehensum rect Culum aequale fuerit ei, quod sub mediis continetur, rectangu- Io : illae quatuor re lineae proportionales
SInt euatuor rectae proportionales BA , DC , E , &s , hoe est-- , ad DC , ita E . ad F et sitque. rectangulum BG . eomprehensum sub extremis BA, Ee F ε rectans ulum vero H D . comprehensum sub mediis DC. & E . Dico rectangula BG, IID, esse aequalia. Cum enim anguli recti Α, & C, sint inter se aequales, & st ut BA, ad CD, ita ΗC, ad ΑG; erunt . latera cirea aequales angulos A, &C , reciproca: qua- ire parallelo rammum Da BG , aequale erit parallelogrammo ΗD. Quod est propositum. Contra vero sint iam aequalia rectangula BG,ΗD. Dico qitatuor relias lineas BA, CD, HC , AG, esse Proportionales, hi vi est, esse ut BA , ad CD, ita ΗC, lad ΑG. Cum enim aequalia si't rectangula BG,ΗD, habeantq; angulos aequales A,&C. nempe sectos, b
303쪽
erunt latera circa hosce angulos reciproca s-qab
si tres rei, lineae sint pro ortionales 2b extrenati comprehenclitur rectangiuma, aequale est er, quod a mediae de ribstu quadrato . Et si sub extremis comprehen' proportionales SInt fissise η' A,S,&C, proportionales rvt
quidem ad B, ita B , ad C: sitque rei tangulum
i mique quadratuni EG, comprehensum sub medi, -- R&D. propter aequalitatem rectarum B,& D, a M. t prupter rectangulum. Ac , comprehensum sub exite. mis A, & C, aequale est quadrato EG , hoe est rectan
l medii κω D. comprehenso: quod est pin
304쪽
silit iam aequalia rectangulum AC , & quadratum EG. Dico esse ut A , ad B, sta D, ad C. Cum enim aequalia sint rectangula AC , & EG ι b a erit ut AB, ad EF, ita FG, ad BC: ca ut alitem FG , ad BC , ita est B, ipsi D, aequalis, ad eandem C . iare vi Α, ad B, ita est B , ad C. Si tres igitur rectae lineae sint proportionales &e. QMd erat demonstrandum . . .
j Ex posteriori huius propos parte dedacit, cluam ' libet rectam lineam esse mediam proportionalem inret qua sitis alias duas rectas , que coma; evemlunt Io-ctan gulum quadrato illius aquais .
PROPOS. it. PROBI A data recta linea dato rectillaeo simile, se
militerque positum remi um d stribere . SIt data rem AB, super quam deserihendam se
rectilineum rectilineo CDEFG, simile similiterq; positum . Ducantur ex quolibee angulo , ut ex r,ad singulos angulos oppositos rectae lineae , qtiae rectilineum resoluant in triangula CDF, DEF, CGF. Deinde angulo DCF, aequalis ponatur angulus BAI; Maneu Io aa CDF. pariter aequalis ponatue angulus ΑΒΙ,e antque rectae AI, BI, in plincto Ii 'ibunt enim necessario, quia duo anguli B4I, ABI, a quibus a
305쪽
procedunt sunt duobus rect is minores , cum sine aequales duobus
& anetulo DFE, angulus Blis: & quia duo anguli 4 iEDS , EFD, d m nores sunt duobus rectis, erunti quoque dito angui i ΗBI, HIB, duobus rectis niinoresa ac proinde rectae ΒΗ, ΙΗ, coibunt. Coeane ergo ial puncto H; etitque eadem ratione triangulum Bilial tria naulo DEF aequiangulum Ulterius angulal CFG. liat aequalis angulus Alia; & angulo FCG,an. ie quius IAH: quia igitur duo anguli GCF ,.GFC, 0
minores sint duobus rectis, erunt,& duo anguli AI Κ, IAX, duobus rectis minores, quapropter rectae ΑΚ, IK, comienient in aliquo puncto. Contieniant ergo in K: crit pariter triangulum AKI, triangulo CGE, ae tu ab culti m. Atque ita inocedatur, donec ab solitam
tur omesa trian aula rectilinei propositi, si plura extiterint. Q tib is sic positis dico , rectilineum ABHIς, rectilineo CDEFG, simile esse , similiterque positum. Prob. Cum enim angulus I AB, constitutus sit aequalis augulo FCDs& anguliis I AK, angulo FCG, eriti totus angulus B AK, tini angulo DCG, aequalis : ea idemque ratione angulus ΑΒΗ, angulo CDE, aequas lis erit, & reliqui reliquis, ut cianstat ex constitis ictione; clim singulae partes unius factae sint aequales singulis partibus altemus. Quare aequiangillum erit rectilineum ΑΒΗΙ Κ, reeti lineo CDEFG. Quoniam
306쪽
ΒΗ, ut CD, ad DE. mare lateretis eirea aequales angu-lIos ΑΗΗ,CDE, proportionalia sint , h) qnenialim dum & latera circa aequales an uetos Η, tu si, propor. tionalia sunt . obtriangula aequialigula RHI, DEF. i Rursus ita est ΗΙ, ad ΙB, ut EF, ad PD,& ita IB, ad Iri, ut FD ad F s&ita IA, ast IK, ut TC, ad FG. λ Igitur ex aequo erit ita ΗI, ad I x. vi EF,ad FG,& ideo latera quoque circa aequales angulos HI K , EFG, proportionalia erunt; sicqtie de reliquis. Qtia propter reinctilinea, cum sint sequiangula , habeantove latera circa aequales angulos proportionalia , smilia sunt, simi. Iiterque descripta. A data ergo recta linea, dato re-mlineo simile , simi literque positum rectilineum d scripsimus. Quod faciendum erat.
Similia triangula inter se sunt ili duplicata ratio. ne laterum homologorum
Itit similia triangula ABC, DEF, habentia an los aequales B, & E; item C, & F, &c. ' Et si 'vi' . .' AB, ad BC, ita DE.
tri .mgula inter se comparata duplicatam habere rationem eius, miam habent latera nonio O
ga , scilicet BC , MEF; vel AB, &nEa vel AC, & DF Hoc est, si homologis lateribi is BC, EF, inueniatur tertii proportionalia BG; ita esse triangulum ABC, ad triangulum ' DEF, ut est e. ha BC, ad tertiam 'roportionalem BG; ac proainde
307쪽
inae ctim ex defin. IO. lio. s. proportio BC, ad CG,di eat in duplicata proportionis BC, ad EF; proportio etiam triansuli ad triangulum erit quoque duplicata proportionis laterum homologorum BC, & EF. Ita ut . nihil aliud sit, duo triangula. vel duas quaslibet figuras similes, similiterque positas habere proportionem duorum laterum homologorum duplicatam , Quam ita esse triangulum ad triangulum, vel figura ad riguram, ut est prima linea ad tertiam , cum tres lineae fuerint continue proportionales, ita proportione duorum lat rum homologorum : quales nic sunt tres lineae rectae BC. EF, CG, continue proportionales in proportione homologorum Iaterum BC, EF. Sint ergo primum la. xtera BC, EF, aequalia, ac proinde etiam tertia pr*por.
. tionalis CG, illis aequalis erit: ita ut proportio BC, ad CG, quae duplicata dicitur proportionis lateris BC, ad latus EF, sit proportio aeqRalitatis. monia. Qilitatem laterum BC, EF, quibus adiacent : erit triam gulum ad triangulum,ut redi a BC, ad recta CG. Cum ergo haec proportio BC, ad CG, dicatur duplicat proportionis laterum homologorum BC, EF; dicete quoque proportio trianguli ABC, ad triangulum', DEF, duplicata proportionis, quam habet latus BC,ad'ilatus EF. Quod etiam hinc constare potest: quoniam, ut dictiim est, triangula ABC, DEF, aequalia sunt,sia est proportionem aequalitatis habent, Iicut & latera homologa BC, EF ; Proportio autem aequalitatis
tantummodo duplicata effici proportioncin aequoractastis enim tribus magnitudinibus aequalibus vicetur prima ad tertiam habere proportionem duplica am proportionis, quam habet prima ad secundam, ut constat ex definitione io. lib. s. cum tamen prima ad tertiam habeat proportionem aeqtralitatis, sciiti R iprima ad secundam habebit triangulum ' 'BC , a4 itriangulum D EF,proportionem duplicatam eius,quam l
308쪽
habet Iatus BC, ad Ialiis EF . Quod fuit propositum. Sit deinde latus BC,maius latere Ep; & ex BC, ast abscindatur BG , tertia proportionalis ipsis BC, &EF a est sit BC, ad EF, uti EF, ad BG,du
Lo est vi A B, ad BC,ita DE, ad Erierit
ΑΒ, adet E,itii BC , ad EF: ut autem BC, ad EF . ita est per constru-sthionem EF, ad BG. Vt ergo AB, ad n E, cb ita erit EF, ad BG. Quare cum triangula A BG, DE F, habeant latera eirca angulos aequales B, S: E, reciproca, sea ipsa inter se aequalia erunt ; & propterea ut trian. gulum ABC, ad triangulum D EF , cda ita erit ident triangulum ABC, ad triangulum A B G . Vt autem triangulum ABC, ad triangulum ABG , eiusdem altitudinis , e) ita est basis BC , ad basin BG. Quare utvriangulum ABC , ad triangulum DEF, ita est BC, ad BG. Atqui ctim tres BC, EF , BG, sint conti irae proportionales, proportio pi imae BC, ad tertiam duplicata dicitur proportionis BC , primae ad EF, secundam . Igitur & triangulum AAC , ad triangulum I EF , proportionem habet duplicatam proportionis lateris BC , ad latus EF . Similia igitur tria nenia ter se sunt,&c. Quod erat demonstrandum
e I. se Ex hoc fit elartim , quod si tres rectae lineaetionales suerint ; ut est prima ad tertiam,ita esse trian- Eulum super primam descriptum ad triangulum laver recundam sinite, similiterque descriptum
309쪽
PROPOS. zo. THEOR I Similia polygona in similia triangula diuidum
tur , & numero aequalia , & homologa totis : Et polygona Guplicatam habent inter se eam rationem, quam latus homologum ad homologum latus., o Int similia polygona ABCDE , FGΗΙΚ , habential b aneulci atqtiales ME, G F Κ ι nec non eti/m π
gulos B, G, &c. habeanti alitem lare . proportiona lia circa an. . gulosςquales,
ad GH; NBC , ad CD, Ita G Η , ad m, &e. Dim prImum huiusmodi polygona diuidi iatriangula similia, quae sunt numero aequalia. Ab angulis enim BAE , GFX , rectae educantur ad fingui' angulas oppositos, quae sunt AC, AD, FH, FI, diu, saque erunt polygona in triangula numero aequalia. Quoniam vero angulus B, aequalis est angulo G , ex hypothesi, & circa ipsin latera proportionalia 3 c a aeqniangula erunt triangula ABC, FGH, habentia angulos BAC, GFΗ, aequales 3 Item anguIos A CB, FHG, homologis lateribus oppositos: cs ideoq; habebunt latera circa aequales angulos proportionaliaet M propterea inter se similia erunt. Eadem prorsis r tione similia erunt triangula RED, FΚI, habentia a gulM LAD, EDA, aquales augulis ΚFI, KIF. Dein 'du
310쪽
de ea illita est ut AC, ad CR, ita FH. ad ΗG , ob li. militudinem triangulorum ABC, FGH, ut autem Cis, ad CD, ita est ex hypaehesi HG, ad HI , ob similiuidinem polygonorum: d) erit ex equo ut AC, ad CD, ita FΗ, ad ΗΙ. Et quoniam angulus BCD, aequalis ponitur angulo GHI; est autem , & ablatus ACB, ostensus aequalis ablato FHG ; erit & reliquus ACD, reliquo FBI, aequalis. ea Quare triangula ΑCD, FHI,ciim habeant latera circa aequales angulos ACD, FHI, proportionalia, aequiangula erunt f ideoq; sim lia: Quae ratio eadem est de alijς' triangulis, ii plura
Dico ulterius, haec triangula esse homologa votis polygonis, hoc est ita esse quodlibet triangulum in uno polygono ad sinim correspondens triangulum in altero polygono, ut polygonum ad polygonum. io
niam enim similia sunt triangula ABC, FGH , i
erit eorum proportio duplieata proportionis homolo gorum laterum AC, FH . Atque eodem argumento proportio triangulorum ΑCD, FHI, duplicata erit proportionis eorundem laterum homologorum AC, FH. Quare ut triangulum ABC,ad triangulum I GH, ita erit triangulum ΑCD, ad triangulum PHI cum utraqtie haec triangulorum proportio sit duplicata
eiusdem proportionis lateris AC, ad latus FH. Neque dissimili ratione concludetur quoque esse triangulum ΛDE, ad triangulum Flic, ut ACD, ad FHI: Atque ita deinceps, si plura extiterint triangula . bunt igitur proportionalia triangula unius polygoni cum
triangulis alterius, ita ut triangula unius sint antecedentia, & alterius consequentia pro eortio livia . Veautem uni mantecedens, ad unum consequens, gὶ ita sunt omnia antecedentia, ad omnia consequentia. Isti
tur ut quodlibet triangulum unius polygoni ad sibi respondens triangulum in altero polygono, ita erit totum polygonum ad totum polygonum 3 ideoque triangula homologa erunt totis polygonis. Demum dioe, polygona inter se propuptionem ha-- , S bete