장음표시 사용
311쪽
bere duplicitam eius quam habent latera homologa hoe est, si homologis lateribus, verbi gratia ΑΒ, FG, inueniatiir tertia linea proportionalis, ita eo polygmnum ABCDE, ad polygonum FGHIR , ut eu prima linea AB, ad tertiam inuentam: ac proinde, cum proportio AB, ad illam tertiam , dicatur duplicata pro portionis ΑΒ, adro: dieetur quoque proportio pol 'eoni ad polygonum duplicita proportionis laterum homologorum AB, FG. Cum enim fit, ut triangu Iuni ABC, au triangulum FGH, ita polygonum AR DE ad polmonum FGHlΚ: Triangulum vero ABC, ad triangulum FGH, ch proportionem habeat duplicatam e ius,quam habent latera homologa AB, FG, hoc est eandem, quam ha het AB, ad illam tertiam inuem tam habebunt quoque polygona inter se proportio nem duplicatam' proportionis eorundem laterum h .mologorum AB, FG. hoe est, eandem, quam habet AB, ad illam tertiam inuentam . Quare fimi ha polytona in similia triangula diuiduntur , Le. Quod demonstrandum erat.
Hine fit manifestum, quod si fuerint tras lineae rectae proportionales; ut est prima ad tertiam, ita esse polygonum super primam descriptum ad polygonum super secundam simile, similiterque descriptum : vel ita esse polygonum super secundam descriptum ad
312쪽
PROPOS. 2I. THEOR. II. Quae eidem rectilineo sunt similia; & inter se simisimilia. SIntreetilinea A,& R, reuellineo C; similia. Di
de insa inter se esse similia. Prob. Cum enim pro- pter similitudinem anguli rectilinei aequales sint angulis recti linei C; item eadem de causa a nouli rectilinei B a qita. Ies angulis eiusdem rectilinei C; a J erunt anguli recti Iinei Α,aequales angulis rectilinei d. Rursus cum ob eandem similitudinem later, rectilinei A, Proportionalia sim lateribus rei tilinei C; ea videlicet iis, quas sunt circa aeqtiales anetulos e Nec non etiam eandem ob caiisam, latera rectilinei B, proportionalia sunt lateribus eiusdem rectilinet C; cN erunt quoque laterat rectilinei R. lateribus recli linei B, proportionalia, ea nimirum iis, qnae angulos ambiunt aequales . Quare .cundum definitionem sim lia existent rectilinea A, ScD. Quare igitur eidem rectilineo sin flantia ,& inter se stitit fimilia . Quod erat ostendensfin.
313쪽
si quatuor rectae lima roportisses suefies: diab eis rectilinea similia, fimilitermepta, proportionalia erivit . Et si a-li limitia, similiterque descripta lectilinea proportionalia fuerint: is etiat mira lineae oportionala ersint
μὴ Imieniatur enimrinis ABGD, tentanalis P;-& rectis EF, GH, pariter inueniatur terti proportionalis Q. bin Eritque' m aequo ut AB, ad P, ita EF, ad Qs Vt alitem ΑΒ, ad P, ita est rectilineum AIA, ad rectilineum CLD, simile similiterqued scriptum ex eorollario ao. Hopos. huius libri ι &fi suerint, langula ex coroll. propoL I'. huius. Ee eadem ratione, ut E F, admita rectilineiim EM , ad rectilineum Go, eo Ioitur ve AIB, ad CKD, ita erit JΜ, ad Go. Quod es propositum. )
314쪽
Drinde sint AIB, CKD, EM, Go, proportioria lia rectilinea . Dico quatitor rectas ABGD,EF,GH, esse quoque proportionales, ut quidem AB, ad CD, ita EF, ad GH. dJ Inueniatur e nun tribus rectis AB, CD, EF, quarta proportionalis a S, siper quam describatur rectilineum RS , simile, similiterque positum rectilineoEM; e) ob idque rectilineo m. Quoniam igitur est, ut AB, ad CD, ita EF, ad RI; erit quoque, ut iam ostensum fuit, ut AIB, ad C ΚD, na EM, ad in V . Vt autem AIB, ad CKD, ira quoque ponitur L M, ad GO . f Igitur erit ut EM, ad RV, ita EM, ad Go; g) Atque idcirco aequalia erunt RV, Go. Quae cum sine similia, similiterque pofita, consistent necessario, cui mox ostendemus siper rems RS, G A, aequales. h Quare erit,ut EF, ad RS, ita x F, ad GH. Ponitur autem EF, ad RS, ve ΑΗ,ad CD. ia Quapropter erit quoque, ut AB, ad CD, ita EF dGH. Quamobrem si quatuor re*ae lineae proporti nates fuerint, &c. Quod erat demonstrandurn.
Aequiangula parallelogramma inter se habent
cam rationem, quae ex lateribus comp*nituri Inraequiangula paral-- lelogramma M CF,
habentia angulos BCD, ECG, imer se aequales. Dico roportionem' eo. rum esse compositam ex duabus proportionibus, quas habent duo latera' unius circa angulum aequalem , ad duo latera a Itoria cirin angit Ium aequalem, ita v anteceden-
315쪽
tia proportilanum sint in uno parallelmamino conseqtientia in Ailetos hoc est , prop*rtionem in ra Ielingilainmi AC, ad paralleloo raminum CF, compositam, esse ex pr*portionibus rectae BC, ad rectam CG,&.rectae DC, ad rerum CE; vel etiam ex proporti
nibus rectae ad rectam CE, & retiae DC, ad re lame . idest, si stimantur tres lineae , quai 'in m ma stot in secitndam , scuti latus BC, fiat ad latus CG, ω rursu secunda stet ad tertiam, , t latus DC,stat ad latus CE; ita esse sarallelogrammum AC , ad PMrallelogr minum CF, ve est prima linea ad tertiam: ac proinde cum ex desin. s. huius Iibri proportio pri-mη lineae ad tertiani componi dicatur ex proportionibus primae ad secundam, & secundae ad testiam; proportionem quoque paralle ogrammi AC, ad paralleloo raminum CF, dici compositam esse eκ eisdem proportionib ,hno est proportionibus BC, ad CG,& DC, ad CE. Coniungantur snim Wraliel gramina ad angulos aequales, ita ut BC, CG. eiseiant unam lineam rectam : Quo posito cum anguli BCD, ECG, sint aequales. ay erunt etiam Dis . una linea recta. Producantiit deinde AD, FG, donec concurrant in puncto Ηι simplaque recta I, quacunque,
Ninueniatur Nibus BC, CD, & I, qua- .pros γtionalis T . Item tribus DC, CE, & Κ, quarta proportionalis L. Qnoniam igitur est, o ut BC, ad CG, ita AC, ad CH. ve autem BC, ad CG, ita posita est Iod K, cd erit Moque ut AC,ad CH, M l, ad K. demisi memorsus argumenta 'stendi poterit.este,vt.AC, ad
ad L, iuxta .s, dufin .huius libri componitur en propor-
ergo proportionibus componetur quoque provortio parallelogrammi AC, ad parallelogramnium CF. Eacemque racione ostendemus , propori onera , ὸd
316쪽
CF, componi ex proportionibus BC, ad CR; Se DC dCG, dummodo tanten paralleI gramma ita conium Eantur ad angulos rectos, ut BC, CG, essiciant unam Iineam rectam, dcc. Aequiangula ergo parallel gramma inter serationem habent , m. Quod ma
PROPOS. , . THEOR. I . In omni parallelagrammo, quae circa diam trum sunt parallelogramina, di toti, &ter se sunt similia.
It parallelogrammum ABCD, in quo ducatur diameter Λῆ βcmodlibet eius 'pnctum F. Rer quod ducantur duae rectae Ex, GH, - . B x lle F lδxςribus parallelogrρρο mi. Dico parallelogramma SE, L A Η , cstea diametrum, similia 4 esse & toti parallelogrammo , &inter se. . - enim aequian gu- la sint toti parallelogramino MCD, Deileostendetur. Nainanin - .gultu GAE, idem est, qui anguia D AB; c a de angulus extermis a
ΑEF , aequalis est interno ABC; & angulus A , exin 'ternus interno ΑDC a 3c angulus EFG, externus interno F x D; N hie externus interpo B C D. Quare aequiangultitu est E G. parallelogrammum parallel arammo BD e& eadem ratione eidem ED, aequi gu-llim erit ΗΚ. Quod postea latera circa aequales anginios habeant proportionalia lateribus tothis,taliter d. monstratnr . Cum triangulum AGF , aequiangulum sit triangulo A BC, di triangulum A E F, triangula ΑRC , ut clare constat ex x'. Propos. libri primi, vel
etiam ex Coroll. Propoc 4. huiua libit 3 c D erit vi
317쪽
AD , ad DC , ita AG, ad GF, atque ita latera Circi aequales angulos D, & G , proportionalia sunt. Rur, susque erit, sca ut DC, ad CA, ita GF , ad SA; Item l ut CA , ad CD , ita FA , ad FE : Ex aequo igitur , utl DC, ad CB, ita est GF, ad FE , ac propterea etiam laltera circa aeqtiales angulos DCB, GFE, proportionalia existiliat. Haud aliter demonstrabitur reliqua latera circa aequales angulos , esih proportionalia. Quare secundum desinitionem figurarum similium , simile erit parallelogranamiim E G , toti parallelogrammo B D. Fadem prorsus alte ostendi poterit paralleloetram. mum ΚΗ, simile esse eidem parallelogrammo BD, e atque adeo & ipsa inter se similia erunt. In omni ergo parallelogrammo, quae circa diametrum sunt &c. Quod erat oliendendum.
SInt data duo rectilinea ABC. & D; constitue a.dumq; sit aliud rectilineum , quod simile quidem, sit rectilineo A BC, aequale vero ipsi D . Super BC, unum latus rectilinei, cui simile debet constitiit, o iconstituatiir parallelogrammum BE, inqtIQuis angu iklo aeqirale rectilineo ABC: & si per rectam Cp, in an . . Gulo
318쪽
tulo ECF,qui aequalis sit angulo CBL, parallelogrammum EF aequale ipsi D ; eritque tam BC , quam I E, 'in directum produita. Mod facile demonstratur, inam ad recham EC, Se ad erus punctum C, ductae duae rectae BC, FC , quae faciunt duos angulos duobus rectis aequales , cum enim duo anguli ECH , LBC, ι basint duobus rectis equales s & angulus F C E , positiis sit aequalis angulo CBI, erunt etiam duo anguli FCE, lECB, duobus rectis aequales, ca quare in directum erunt BC, & CF ; quoquomodo pariter demonstrabitur , lineam LE , essecin directum productam . Quo posito inueniatur iam da inter rectas BC, CF, m di i . is proportionalis GH ; e super quam coiistituatur tecti-l ' 'lineum G ΗΚ , simile ipsi ABC, smiliterque positum. Dico G ΗΚ , aequale alteri rectilineo Probat. : Cum enim proportionales sint tres rectae BC, GH, &CF s erit per Coroll. Propos. I s. vel xo. huius libri, ut
BC, prisa ad Cp, tertiam, ita rectitimum ABC, in Per primam BC, adrectilineum GHX , super GH , s cundam simile similitem; descriptum: f a ve autem BC, ad CF, ita est parallel erammum BE , ad paral-4leIogrammum E F, eiusdem altitudinis: c g a Igitur erit . ut BE , ad EF , ita ABC, rectilineum ad rectit,nelim G ΗΚ: h Ut autem BE , ad EF, ita est rectili-nelim ABC, ad rectilineum D : propterea quod parallelogrammum BE, rectilineo ABC , S: parallelogram
rnum EF , rectilineo D, construebim est aequale. i)l imare erit ut ABC, ad D, ita ABC,ad GHx 'satin pro- si . mereaque aequalia erunt rectilinea D, M GHx ; est autem & G ΗΚ, simile ipsi ABC, similiterque i ositum lper constructionem. Dato isitur rectilineo simile, militerque positum, & alteri dato quale idem coasim d
319쪽
PROPOS. 26. THEOR. I9. Si a parallesogrammo ablatum sit p/meloe ammum, & simile toti, & similiter posi
. tum, nam illem c0meo habens angulum; hoc circum eandein cum toro divinαrun, consi stit.
EX parallelo rammo BD, absicissim sit parallelais
tramauim EG, simile to*,simi literque positum, habens cum ipso angulum communem EAG. Dico EG,consistere circa diametrum totiu* BD. Ducantur e*m remos, CF, qu e si fuerint una linea tacta,perspicuuna est,cum
ral lograminum EG, consistere circa.diumetrum A FC ,rorius pMallςlogrammi. Quod si Iro δεν, CF, non dicantur essicere unam lineam re, clam, ducatur istiua parallelogrammi diameter AC,
propterea aequales erunt rectae EΑ , ΕΑ , pars, & to tum : Quod est absirdum. Quoquo modo demonstra-ulturia meam ΔΗC, nequaquam secare aliud latus EFf quare dici dum venit lineas AF. FC,constituere unam uoc/m Icci in ι hμ est ducia diameter ΛC, transibit Per
320쪽
per punctum N ducta diameter ΑΒ , cadit in punctilin C. Ergo sita parallelogra*mo parallelogram. muni abla um sit &c. . Quod erat demonstrandum. , PROPOS. 3 7. ΤΗ ΕΘ R. ΣΟ.
inum parallelogrammorum secundum ego dem lineam applieaturum, deficientiumque., figuris parallelogrammis similibus, similite 'que postris ei, quod a dimidia describitur; maximum illud est, quod ad dimidiam applicatur, parallelogrammum si te mi s . desectui. Sat data rect As, misi bifariam in C, 8e super
eius dimidiam BC , eonstituatur quodcunquemlelogrammim BCDE , cuius diameter BD. Si igitur compleatur totum parallelo- .grammum ΑΗ etli parallelogrammim - , super dimidiam; A C, consistens , oeplicatum secundum ΑΒ , ,deficiens parallelogrammo CE , 8c existe 'simiis ledefectui CE: Dico parallel igrammum AD, ad dimidiam
allelogrammo CE , maxilliumem omnium, quae lacundum rectam AB, applicantur, deficiuntque parallelogrammis iurulibus, smiuiterquei 'positis-CE. Prob. Sumptoenim pu- s,3ucum
in diametro BD , ductisque per F, rectis G prii , . . KF . quae sint parallela rectis ', AE a erit Do uel irammiim GK, secundum rectam AB, applicatum, de elena parallelogrammo ΚΗ , 9 quod 3ptimii doIa , . s. . est, similkerque posimn . cum cirM-dia. '