장음표시 사용
221쪽
dεomni et uisumq; hesicis potestates denomitatae ali. exponente x sint inter se, ut angulorum, seu arcuum a radiis inter ceptorum potestates denominatae ab exponanter, iacta parabola talis naturae, udabscuruum qiraminvis potestates Gn minatae ab exponente F sint, ut potestates stata dinararum denominatae ab aggregato exponentium I - xi spirali propo sitae ita respondemi, ut si ultima ejus ordinataru aequeωr ra. dio dictae spiralis , axis autem sit totips citc ruetentiae,
illa Curva Parabolica , S. eiusmodi Spiralis aequales erunt, ut ex methodo tangentium,tam parabolarum, quam *iralium, cap. s. num. . Hugenianorum tradita facilὶ constat. 17 Sed curvarum dimentionem tractantes quid vetat alid paulatim digredi, quousque modum Cyeloidem rectificandi tibi communicem, quem tibi acceptissianam fore video, quippe his geometricis venustatibus delectatis L. illum: esto Cyclois Aa O. ordinatae ar, a si secantes semicirculum ge-
nitorem in S, d; extendantur chordae A d, Ad in f, s usque ad balim, applieenturque rg, rg his ipsis A f, As aequales, ut oriatur hinc curva Ggg, quae erit Hyperbola secundi gradus, sive, ut Ct Viviano aliquando appellare pIacuit, I propter fA. Ad , seu DA ad Ar, ut quadra tu A f ad quadratum A D, sive quadratum r g ad D G. Jam sic:
ducta a o Cycloidis tangensquamum vis par va, & duabus praedictis ordinatis quantumvis proximis intercepta, erit utique parallela ipsi As, ex di ctis in Hugenianis cap. 8. num. 7. erit ergo ab ad intervallum ordinatarum rr, ux As, seu rg ad
222쪽
diametrum A D; &hoc semper ὁ rectangula igitar gr r aequale erit rectans ulci ex A D-a h ι di omnia rediangula s r r , exhaurientia spatium infinitum g G D A h , aequalis rectingulo ex AD incurvam semi cycloidis Aao, quam innumeraetagentes a b perinde exhauriunt; ergo A Din A a o ad quadr.ejusdem AD, scilicet curva ipsa Aao ad diametrum AD, est ut spatium g GDAh ad inscriptum diametri quadratum G D A H; haec autem est proportio dupla, ut ipse cap. 8. vu-mer. I l. Hugenianorum generaliter docui, atque ipsemet frater tuus supra laudatus in Geomet r. mot. l. i. pro p. 1 2. pridem ostendit; itaque curva semi- cycloidis Aa o dupla erit diametri , & tota Cyclois ejusdem quadrupla. quin partes singulae A a duplae chordarum sibi correspondentium ad , uti aliis Geometris per alias vias pridem innotuit , Hugenio praesertim, ex praeclara Evolutarum Curvarum inventione. Est vero generalis haec methodus, si rem propius aspicias, atque ad omnes prorsus illas curvas exporrigitur, quas cap 8. m. s. Hugenianorum, Correutas voco, ex quibus scilicet, per simplicissimam Euclidis elem. l. i. proposit. 43. innumera rum figurarum dimensionem derivavi.i8 Duo hic interea adnotare non pigeat. Alterum, qubd sieylindricus erebius super se mi. cycloide OaAD secari intelligatur plano quomo dolibet inclinato, tran
A. teunte per . basim OD, seimper abscissa superficies ungularis in planuexplicata in parabolam notam abibit; si idem chordae circuli Ad, ad respectiva punicta r dia metri A D mplicatae,
pe portiones curvae cyclosdalis a A. ad eadem diametri pun- cla, vel ad proportionales partes altitudinis illius ungulae, applicatae, parabolam item confisient; sed omnis superficies uno
223쪽
gesaris eonfiatur ex simillinas curvae pomonibus applieatis ad partes,altitudinis proportionales partibus diametri basis. uti
constat ex hac figura , ubi Ain, LIMGO sit cylindric super quavis curva Io G M, sectuspiano AZA I, per basini
N l transeunte niani sestum est . 1 uperficiem ungularem AZA Go conflari ex portionibus curvae R Z i aequalibus abscissis a vertice OG) applicatis ad puncta B dividentia altitudinem ungulae in Ao in eadem ratione, in qua axis curvaeol secatur in F per applicatam G F: Unde si fingamus OG Alesse Cicloidem, cujus p tiones O G usae sunt chΘrdarum semicirculi sibi respondentis, idest quarum quadrata sunt, ut' axis abscisi eo P, manifestum erit , Ungulam Cycloidalem AZMo esse parabolana, quia quadratum curvae OG M erit' ad quadratum curvae BZ aequalis ipsi OG,' ut ol lad DF, seu B N, idest, ut altitudo O A ad AB, ac perimeter AZM erit aequalis eurvae parabolicae, imb in parabolam etiam Politi e
224쪽
talem abibit, reaificatis curvis Ο M, B Z per explicationem
ungulae in planam superficiem , & e contra reliqua superficies AZ lx S in trilineum parabolicum extendetur; quo statim constat sob proportionalitatem Ungularum, tum superis ficialium, tum solidarum, cum superficiebus, aut molibus rotundorum corporum ab eadem figura superficiem rotundam ex Cycloide circa balim, duplam esse rotundae superficiei ab
eadem circa tangentem verticis converta; necnon distantiam
centri gravitatis curvae cycloidalis a basi duplam esse distantiae ejusdem avertice, &c. facit que hinc habetur dimensio utriusque ex illis rotundis superficiebus, ob notam curvae Iongitudinem, & centri gravitatis distantiam, iuxta regulam celebertimam Guldini vestri circa genesim rotundorum. 19 Alterum, quod notari attentias velim, inde nullo negotio consequitur, nempe, data qualibet plana superficie, quae . curva qualibet linea definiatur, posse nos ejusmodi superficiem ita curvare, seu tali cylindrico circumvolvere, ut eadem curva linea nihilominus in uno plano jaceat s quemadmodum in casu praedicto, curva parabolica AZM ita advolvitur cylindro cycloidali, ut nihilominus in uno, eodemque plano Al M, cylindrum secante, jaceat seu cylindrum invenire, ex cujus sectione, eadem curva in lueerficiem ungularem convoluta estormetur. Propositium siquidem obtinebimus , alteram superficiem Io G M ita efformando, ut quae fuerat in data fiUra restatio ordinataru ad axem,eade sit curvae portionsio M, O G pariter ad axe suum s ut in exemplo nostro, quae est in cycloide portionu curvae a vertice abscissaru ad axis sui partes ordinatis abscissas enimverti super ejusmodi curva sic inventa erecto cylindrico, ipsi advolvetur data figura, & suae perimetri partes in eodem plano, ad datae figurae altitudinem ip . summet cylindrum transversim secante, dispositas habebit, semper autem tangens figurae quaelitae OGM ad punctum G, intercepta eodem puncto, & ordinata per verticem G, erit risubtangenti datae figurae AZM, idest interceptae inter punctsi Q, & occursum tangentis puncti Z s exelicato parallelogrammo A S M o cum rua curva AZ M) ut in exemplo cycloidis,
225쪽
subdupla laret subtangens parabolae explicatae; id quod alias
generaliter monuimus cop. s. num. a. & facillime demonstratui ex dictis cap. 3. num. s.
Exemplum aliud sese obvium praebet in ipsa Logistica.
seu Logarithmica, quam si velis ex aliquo cylindro secare, aut cylindrum invenire, cui advolvatur, ita ut curva nihilominus in uno plano jaceat, id elegantissima obtinebis per cylindrum super I ractoria erectum, quandoquidem relatio ordinatarum Logisticae ad axem mutatur in relationem earumde ad curvam in Tractoria, uti ostendimus cap. s. sit. nu. a. Concipiatur verbi gratia in
plano horizontali D F B erecta ad punctum B hasta quaedam solidiori
basi marmoreae B infixa ; mox alligata basi catenula aliqua F B, longitudine aequali parametro, seu su tangenti datae Logisticae, ejus extremum F trahatur per rectam F D; utique basis catenulam sequens describet Tractoriam curvam B N M, δι hasta basi infixa curvam quam da superficiem cylindricam super ipsad ractoria erectam; haec igitur lac ri intelligatur plano aliquo per axu Tractoriae F D transeunte, ad altitudinem extremae ordinatae in Logi. stica proposita, dico superficiem uo-gularem inde abscissam fore nil aliud, quam ipsammet L sisticam tali cylindro advolutam; quippe ii plani inclinatio suerit per s. gradus, itaut Logisticae ordinata aequetur subtangenti ejusdem , seu erecta in ungula illa cylindrica ad punctum Badaequet catenula BF. Constat, omnes erectas ad puncta N, Maequales fore ordinatis Tractoriae N P. unde qualis est relatio ipsarum ad curvam BN, talis erit relatio applicatarum illius ungulae ad suum axem, qui illi curvae BN congruere intelligitur. & explicata illa superficie in planum B S S, utriusq; ordinatis B F, Sc axe F D coincidentibus, erit quaelibet axi Logi liri
226쪽
sticae parallela A S aequalis curvae B N Traetoriae per dicta
cap. 23. Hugenianorum num. s. Possem εc modum inserere,quo
figura quaelibet ita complicari in cylindrum posset,ut ejus curva ad conicam superficiem terminaret ; sed ne longius digre diar ao Iam ad institutum redeo, & cylindricam illam superficiem super spirali erectam, ac cono interclusam contemptor; utique serpendiculares o S super helicis punctis erectae, & ad coni superficiem terminatae, proportionantur differentiis radiorum , est enim D A ad O S , ut C A , seu A B ad C O;
itaque exposita parabola C a A hanc spiralem BOA aequante, si ad singula puncta a peripheriae parabolicae erigi intelligantur aequales differentiis ordinatarum s ubi angulus DC A, trianguli per axem coni semirectus fuerit 3 iisve proportionales in ratione axis coni DA ad basis radium AC subi ille an- gulas major , aut minor fuerit semireeto seu si cylindriea. 1uperficies super Ca A perimetro parabolae erecta secari intelligatur plano per A. transeunte, ae tantumdem basi inclinara , ac latus coni radio basis inclinetur, scilicet per angulum DC A. quomodo erectae manebunt in superficie cylindrica quaesitae ordinatarum differentiis s adedque & disterentiis aequalium radiorum circuli AC) proportionales, quippe correspondentes applicatis trilinei parabolici C a Λ Φ, erit un-
227쪽
gula ex tali super&ien lindrica, basi, & plano laeante interjecta eadem prorsus, quae super spirali A Ο Β prius erigebatur, & cono conclusa manebat; Perimeter autem ungulae eylindri parabolici est parabolae aequalis, uti constare potest ex propol. 3. Append. nostrae Uivian. Probi. itaque explicata in rectam spirali BOA, curva B S H D, non quidem in parab Iam, quae talis positione sit, sed in ungulae parabolicae perimetrum aditura est, aequalem Iongitudine cuidam parabolae, cujus rectum latus sit ad latus rectum prioris C a Α, ut Iateris c
ni D C quadratum ad quadratum radii AC, axis longitudia ne ipsi CN aequali remanente ; id quod etiam immediatita,
dc absque tot ambagibus colligitur, ex quo ipse demonstrave- Iris curvam B SH D esse spiralem conicam, quae evoluta in Archimedeam spiralem abeat, per superius diasta num. 1 f. utique ejusmodi parabolae aequalam. 2i Di mensio aute ipsius superficiet Iindrieae DFISBO A lhabebitur, ex rectangulo axis AD in ipsam spiralem Ao B, vel huic aequalem parabolam C a A, subtrahendo tale spatium, iquod ad portionem ejusdem parabolae, duabus ad axem ordinatis interceptam, quarum altera ex Deo, altera tanto infra ipsum, quantus est totus axis, sit in ratione axis DA ad radiuA C; residuum quippe erit spatium ungulae supra determinatae;
id quod analyticὸ ne destridi potest. Radius AC sit z: G dc
228쪽
hasis quadraticis inscribendae quadranti circulari radii A C vel semissis lateris rem parabolae C a N, idest tertiae proportionalis post semiperipheriam, & radium) sit quae vero utriusque potest quadratum quae scilicet foret para lae perpendicularis in A esto Laxis coni A D esto die a; superficies hyperbolae aequi laterae interceptae semitransverso aequali ipsi g, dc ordinata. in rectae diametri portionem aequalem ipsi ν, esto bb. Erit cylindrica superficies spirali imminens, &cono conelusa ADHSBO A α -h- au' M. Me ; nam li-
nea spiralis, seu paraboIica, utpote cum c continenS rectangulum hb, erit tota igitur cylindrica superficies spi-
rali imminens , &usque ad apicem coni completa, erit abb
Verum inde subtrahenda est Ungula superior, cuius spatium, ad portionem parabolae interceptam ordinatis, c ex foco, & utantblongius ab ipso, quanta est semissis circumferentiae, seu axis datae parabolae, sit in ratione a ad r cum vero inteFrae portiones parabolae, abscissis a vertice per ordinatas o, & e sint, ut v ad/; dividendo, portio truncata intercepta ordina iis, u, ς erit ad portionem interjectam vertici minori ordinata c, ut c3 ad/; estque portio interjecta vertici,& Dei ordinata e G ce ; igitur truncata illa Portio Ordinatis e , &u intercepta erit α; εc quae ad hanc est in ratione a ad x erit au qua subtracta ex abb fit obh -- ' au3rς ς ε 36 3rα erlindricae illi portionis spiraeeae B S H D A O B cono in.
ciuiae .a a Nihil, ut arbitror, attinet contem Iationem ulterius extendere, quum omnia ipse mentis excurlu jam praeoccupaveris, sed si optaris ejusmodi spiraceae cylindricae superficiei sortionem , qua explicata in planum , rectificata perimetro U A, etiam B S H D in rectam abeat, sume spiralem Geo
229쪽
metricam A a C; nam & in eoni superficie similem spiralem habebis suti eode tuo ratiocinio constat quae potentia aequalis erit ipsi C a A,& axi coni super illa perpendiculariter erecti,
propter radios AC, a C proportionales curvae portionibusCa A, Caa ab ipso centro abscissis, ut collisitur ex dictis cop. I. Hugenianorum num. lo. adelique &differentias radi rum Fa, ra curvae portionibus A a respondentes . Haec habui, quae raptim ad Te seriberem Uit Clariis & quae Tuis Megantissimis speculationibus reponerem; de conir versia autem Mechanica, quae hactenus nos commisit, erit alias disserendi locus, esto enim utilior sit Statica illa dissertatio, jucundior tamen, minusque in lubrico posita, Geometricarum rerum sedula meditatio . Uale , meque , ut facis , amare Perge; quamquam, non est cur de hoe sim sollicitus, insitae enim Humanitatis tuae stimulos habes, quibus in id incitaris. Dabam Kal. Aug. 6cc.
230쪽
LIbrum , cui titulus est, Geometrica Demonstratio Theormatum Hugenianorum, elaboratum ab Adm. Rev. λ Excell. P. D. Gui done Grandi Monacho Camald. Matheseos Professore, & in Almo Pisarum Collegio Philosophiae publico Lectore, de mandatoto Reverendiss P. Generalis attente perlegi: Et clim nihil in eo reperiatur, Mod Catholicae Fidei, bonisque moribus adversetur, existimo polse Typis mandari: imb ut mandetur , debita Matheseos Amatoribus, ipsi1que mathematicis disciplinis, justitia
exigit. Petunt enim istae, quae licEt magna ex parte nova) sua tamen sunt, ac pleno jure ad ipsas pertinent. Exigit etiam Religionis decor, ut Auctoris ingenium, & inveniendi 'cunditas magis per Orbem patefiat, ne sibi debita laude fraudetur. Ita,&c. D. Martinus Angelus Franchi Monachus ejusdem Congreg. S.T Mag. &in Monalterio Angelorum Florentiae Prior . Dat. Florentiae exd. Monasterio hac die i6. Iulii r or. IN Geometrica Demonstratione Theorematum Hugenianorum Adm. Rev.& Exc. P. D.Guidonis Grandi in Pisano Atheneo Publici Phil. Profess. & S.Th. Mag. quem jussu Reverendi T. P.Gener. Ordinis nostri diligenter expendi, nihil occurrit, quod S. Fidei Catholic bonisve moribus adversetur,imo ciam innumerasGe metricas veritates generalissimis, ac facillimis variarum demonstrationum methodis ejuImodi opusculo maxime illustratas invenerim , Litterariae Reipublicae interesse judico, ut illius editio minimE ulterius differatur. Ita sentio ex Monast. Angelor. Flor. XVII. kal. August. ego D. Silvanus Ciapetti Monach. Camald. S.T.Μ. & in praefato Monast. Philos Ledior .
NOS D. DAMASCENUS DE MUTUS ABBAS SS. HIPPOL.
Et Laurentii de Faventia, & totius Camald. Ord. Generalis. CUM Opus inscriptum, Geometriea Demonstratio Theorematum IIugenianorum, M. P. D. Guidonis Grandi in Pisano Atheneo Lectoris, O nostrae Confregat. Monachi, duo ex ead em Congregat. S. Theol. Magistri, quibus id commissium fuit, recognoverint, ac in lucem edi possie probaverint . ficultatem facimus, ut Typis mandetur, si iis is ad quos spectat, videbitur. Datum Faventiae ex nostro Monast. SS. Hippoliti, & Laurentii die ai . Julii I7oi. D. Damascenus de Mutiis Abbas Gener. Camald. Loco Sigilli. D. Marius Felix Ferrari Caneeli. Congr. Di stir Cooste