장음표시 사용
201쪽
ostenditur Spiralis Archimedea, ct Apollanianae Paraboia aequalitas. Puorumdam Dpsus notati. Infuitaram Parabolarum , ct Spiralium comparatio . Novus Cycloidem rectificandi modus . Transverseolindri Cycloidalis sectio Parabolae aequalis , Ungula quoque nil nise Parabola eo licata esse dignucitur. Eoiunda superficies ex Cycloide circa basim, dupla ejus , quae ab ipsa circa tangentem verticis rotata producitur. Cylindrum invenire , cujus transversa Sectio prusiae cuilibet curvae fit aequalis, ct Ungula in quamlibet figuram datam explicetur. ει lindro Tractoriae secanda est Logistica. Curva Cono-olindrita Spiralis cuidam Parabolae , longitudive , nou positione,aequalis est. Dimensio superficiei cylindricae, utrique spirali , ct axi civi interjectae . Si Spiralis Derit Geometrica , explicata illa cylindricospirali superficie , in rectam expandet r.
202쪽
E' SOCIETATE IESUD. Guido Grandas monachus Camalae S. P.
V quo me litteris tuis decorare caepisti, Vir in paucis Carissime, nullas, aut mihi magis jucundas, aut Geometrica eruditione magis resertas accepi, iis ipsis, quas XVI. Kal. Julii ad me destinasti. In his, pari humanitate, ac ingenio, doctrinam laeundae Propositionis Appendicis meae ad Uivianeoruin Problematum Demonstrationem illustrare aggrederis,& mini-mE contemneda animadversione confirmare, ostendens ipsam cum Pappo Alexandrino consentire, & ad novas rursus spee lationes viam sternere posse. Sic enim habes , totidem pene verbis tuis latine redditis. i Epo cinus rectus D BC, cujus triangulum per axem AtDBC, basis vero circulus B MC: intelligatur latus DB, pun-
203쪽
oo D fixo manente, altero extremo E Der circumferenιiam prae fata basis SM C aequabiliter circumferri, eodemque tempore Fundium B, aquatili pariter velocitate, ex E per lineam B Das dere. describens in Coni superficie Spiralem BS 'D, ades ut eodem momento:= iatus B D se in Isiu B D restiuat; o 'punctum P asiensius Di termisum D attingat tibi Spiralis
ESII terminus eris. Manifestum es, Ovisuperficiem, si evoL atnr, O explicetur, in circuli sectorem abituram , qualis es RGZ, cujussemidiameter R G lateri DB aequalis erit arisens G Z cireumferentiam P M CT adaequabit. Notum pariter est, Spiralem Conicam B SH D in ploum extensam , Spiralis Arah edeaeportiovem Gra evasuram . Consideretur jam Spiralis Conica B SH D, in quasumpto quolibet puncto S, demittatur ad basim perpendicularis Sod idem ex omnibus ejus punctis factum intestigatur; manifestum erit, Ichnographiam praedicta linea fore inse ram S ratem Archimedeam, ut liquet in triangulo D A C. in quo C D ad D S in eadem ratione es , in qua Iemidiameter C ad O t, idemque in quovis alio per axem
iriangulo dicendum eris, quare incrementa, O decrementa ipsus erunt is rasione te strum, M.
a me potio, sper Corou. a. Appendis. ωε Viuiau. Pro I. erit, ut DB ad semidiameIrum B A, ides, ut totasuperficies Conisa TCD, vel extensa RGZ, ad circulum B M C, ita spatium
204쪽
tium permisi comω BSH DB,-ides Spirale segmentum G in , ad patis, inrura Archimedis Spirali contentum, B OAB, O permutando, reissector RG Z ad Agmentum G VR, utriν- stulas B MC ad integrum S rate spatium 'BO AB; proptereaque Actor RG Z triplas eris Moemi Spiralis G id quod
veri simum es, pre Prop. a i a M i 4. Pani. Unde hae Geometrica confirmatione distina: statar nouum robur accedit .:. 3 Ponamus jam, lineam G se. circuli semicircumeren- tiam, sectorem verὸ RGZcvsularem quadrantem, qui duplus
erit semicirculi RUG. Convolvatur praedictas sector , itaut insuperficiem Conicam abeat DB C, or peripheria BACB aequalis sit areui quadrantis G Z ; manissum est , quod semiperipheria GVR circa conum convolvetur, veluti B SH D, or is D terminabit; notum flariter est. Ichnographiam ejusdem linea fore Spiralem, ab Archimedea θpecie disinctam , qua ex Corost citat.) spatium comprehendet, quod ad circulum sit, ut t. ad a. Quoniam verὸ loco semicirculi GUR substit potes quaelibet portio , parabolica, bperbolica, cte. habebimus in earum. dem Ichnographiis infinitas Spirales lineas , genere longe diversas, ρος. Ga quidem Omma tibi sat vota coniicio, ex ejusdem Propos Corou. 6. Medi cilis tibi erit modus ejusmodi tibvo.
graphias omnes determinandi, quarum tamen confructiones , si qua ex omnibus magis simpliceriinexpeditae videantur, utro generalem methodum ad Vsarum tangentes ducendas, communicaveris, rem oppidis gratam , ω acceptissimam facturum te
. 4 Quid igitur mihi, &olim, eargumentu S nunc maxime, tuis excitantibus littoris, rursus specula mi in mentem Fenerit, candide aperiam ut vero etiam geometrica supellactile non ultra mediocritatem instructis, in quorum inanus Epistola haec mea incidere aliquando poterit , manifesta eL se possint quaecumque hic inserere placuerit , ea ipsa etiam demonstrabo, quae apud te demonstratione non iniugent, quale est illud, quod tanquam notissim uni, & vuigb obvioni videris ipse supponere a quo & initium auspicabor nempe quomodo Coni recti superficies intelligi possiti iii planum e-- Volvi, Sc explicari, aut contra plana quae libet Iuperlicies in
205쪽
Coni cucullim detorqueri. Esto Coni recti superiteles imtegra,' an dimidia, aut duobus Per axem planis intercepta, perinde est D GC in planum explicanda. Centro D, intervatilo DC lateris coni, aescribatur, plani circuli portio DCI psitque, ut DC ad C A radium basis coni, ita reciprocε adgulus G AC inclinationis planorum,superficiem contem, quae explicanda occurrit, intercipientium s vel ira anguli recti insuperflete integra, seu duo tantum in dimidia j ad angulum CDH. Dico sectorem CDHiessa ipsammet supersiciem
eonicam DG C in planum evolutam ; quia enim areus etiadem angulo subtenu sunt, ut radii, & qui ab eodem radici describuntur, sunt, ut anguli, ideb duorum quorumlibet arcuum proportio erit ex rationibus radiorum, & angulorum composita, quae si reciprocae fuerint, ut in casu nostro , rationem dabunt aequalitatis; aequalis est igitur arcus CH pii CG;dnctis vero ex eodem puncto S radii, seu lateris D ta , arcu SI ipsi CH concentrico, & SP in coni superficie, ubi per planum basi parallelum FES secatur; constat, arcum GC ad F S in ea ratione esse, in qua radius AC ad ES s ob eommunem angulum inclinationis planorum, quibus uterque intercipitor scilicet, ut CD ad DS, vel, ut arcus CH ad SΙ; sunt
206쪽
Iunt autem antecedentes, nempe arcus GC , CH aequales; ergo & consequentes F S, SI aequales erunt; atque ita sem. per; cum igitur omoes arcus sectoris C D H aequales sint omnibus, & singulis arcubus superficiei conicae D C G, illos comparando, qui per idem lateris coni punctum transeunt, ii Ddem applicati omninb congruent; quare si sector complicari circa conum intelligatur, arcus CH congruet arcui CG; &uncto H in G polito. non poterit non congruere radius D Hateri aequali D G, unde punctum I superponetur ipsi F, & arcus SI congruet eidem S F sibi aequali, tot utque sector toti superficiei conicae respondebit, & circa iplam convolvetur, sive in ipsam abibit; unde viceversa, conica superficies DG Cevoluta, in eumdem sectorem CD H explicabitur. s Quhd si linea,conicam superficiem terminans, fuerit, non alterum coni latus, sed curva quaelibet G M D, non admodum diversa constructione intentum obtinebimus, quippe invento, ut prius , arcu sectoris CH aequali extremo arcui CG datae superficiei conicae, ad quodlibet lateris coni punctum S ducto arcu SM in plano hali parallelo , ponatur arcus S Uipsi CH concentricus in eodem plano, aequalis autem arcui
S M, iacto scilicet angulo S D U in eadem ratione ad M E S, in qua radius S E ad SD quae ratio eadem ubique est, nimirum radii basis AC ad latus coni DCὶ atque ita porrb fiat,
quousque compleatur ligura DUH, quae apta nata erit datae conteae superficiet D M G congruere, eodemque argumento probabitur esse ejusdem in planum evolutae figura.
6 Hine colligitur s descripta curvae G M D Ichnographia GK A, extensoque latere D ML, juncto radio AL , radio D V Ο, & arcu K N) fore semper angulum G AC ad CD H, ut M Ε S , aut K A N ad S D V, & permutando, G A C ad K AN, seu LAC, ut CD H ad SD V, vel C DO, aut arcum GC ad CL, ut HC ad C Ο; unde evoluta conicae superficieii sic etiam haberi posset , nimirum , invento prius sectore C D H, congruente conicae superficiei CD G, tum arcubus GC. CH similiter divisis in L, &Ο, junctisque ra. diis AL, DO, ita hune secando in V, ut ille ab Ichnographia secatur in Κ, quousque per puncta D VH transeat linea, de
207쪽
terminans saperficiem quaesitam D V H C, est quippe ut L A ad A Κ, ita C A ad AN, seu C D ad DS, OD ad D U, existentibus arcubus H C, CO iplis GC , CL proportionalibus, ut ossendimus ex puncto curvae V per superiorem mo
Unde e contrario data figura D U ΙΙC circa eonu D C B con licanda ut evadat DM GC ι faeile habebimus ejus Ichnographiam, tacto prius angulo G AC ad datum CD Hsectoris, datae figurae adscripti , ut CD ad C A , sectisque ii- militer in L, & Ο arcubus G C , C H , necnon radio A Lin Κ, ut o D dividitur a datae figurae perimetro in V tunc enim punctum Κ erit in figurae G AC', ichnographia quae-
uitam determinantis' perimetro . Quae autem de luperficie contea G M DC, seu de ejus evoluta C D V H, respestu Ichn graphiae A KGC dicta sunt, eadem, ut constat, valent de residua coni superficie G MD, ieiusve evoluta D U H, respectu eius schnographiae G Κ A , quas propterea exprie missis modis alterutro facile determinabis , fuates eumque fuerint curvae proposiM; & si linea U II, vel u H redia taeeit , conlisuctione habebis,ducendi in conica superficie lineam GM , seu Gin, omnium data puncta G, M non in eodem latere, nec in plano basi parallelo posita ) conjungentium Brevissimam , ejusque Ichnographiam describendi.
208쪽
Quomodo utcumque satisfactum pato quaestioni, quam moves , determinandi stilicet Ichnographiam figurie tuae G V Rcirea conum D C B convolutae, sive illa sit semicirculus, sive parabola, sive hyperbola, aut alterius cujuslibet generis curva extiterit, unde dabuntur infinitae illae Spiralium speetes in his ichnographiis, quas mente jam comprehendisti. Uerum
nescio an operae pretium sit elegantiorem, quam mox subdo, constructionem illarum attendere.
8 Esto figura quaelibet in Conum convolvenda, aut ex ipso in planum explicata C V D , & sectoe illi circumscriptus inseriptusve si cava fuerit) DG C; oportet determinare Iineam, quae eius convolutae Ichnographiam clauderet in basi coni dati radii DA, qui minor sit radio sectoris DC. Fiat Bb su-
209쪽
super D A figura AOD .iunitis, Sc similiter posita ipsi datae CUD secto nimirum quovis ramo DV in O proportiona liter. ac secetur CD in A, & per puncta A o D ducta linea & centro D ducto quovis arcu N OH, fiat seinper H N ad N O in constanti ratione lateris coni C D ad radium basis D A; ajo, puncta H ad Ichnographi 1 A Hυ, propositiae curvae CV Drespondentem, pertinere; erit enim angulus L DA ad RD C. ut radius C D ad D A, unde arcus C R aequalis erit arcui A L; quando igitur sector C G D. cum in scripta figuraC V D, eou-
volvetur circa conum basis ADT , arcu CG congruente ejusdem basis arcui sibi aequali A T- portio CR congruet ipsi A L , & latus D R, cum puntio V curvae CV D, per quod transiit. erit superimpendens radio DL, in quo propterea erit punctum ichnographice subjedium pancto U dictae curvae ;debet autem in eadem ratione distare punctum ichnographiae a centro basis D, respectu radii DL, in quo reperitur, ac distet punctum V in latere coni DR a vertice D sob similia triangula elsccta a perpendiculo, ex punctis curvae in superficie conica existentis ad basis Ichnographiam demis Ib, qua ratione in praecedenti figura est C A ad AO , ut CD ad DS itaque cum sit, ut latus DC ad radium basis D A. seu DL, ita V D, distantia puncti U in superficie conica a vertice D, ad Do . seu DH. distantiam puncti H a centro hasis, erit puα- fium H. & alia omnia simili modo deter ruinata, ad curvam ichnographiae, quae quaerebatur. y Ε con-
210쪽
y Ε converso, data ichnographia, lineam ipsi in cono respondentem in plano determinabimus; sis enim talis Ichnographia AH D, &radio DA extenso in C, ut DC aequalis fiat lateri coni propositi, siser ipsa fiat figura CKD simili' ac similiter posita datae A H D; & ducto ex centro D quolibet areu SK, ita dividatur in V. ut sit ΚS ad SU, ut latus coni C D ad radisi basis D Α; erit punctum V in linea C V Dquaesi a , quae in superficie conica impendet datae ichnographiae AH D; nam recaleatis praecedentis demonstrationis vestigiis, ostendentur areus CR, LA aequales, unde applicati congruent . & punctum V superimpendebit ipsi H, qui pe tanἴumdem in latere D R proportionaliter a vertice distans, quantum H in radio a centro D; Vnde facillima habetur constructio , nedum Ichnographiae in tua figura , ubi GVR eonvolgenda supponatur semicirculus salio enim semicirculo super radio balis facto, & in arcus concentricos basi resoluta , oportet singulorum arcuum dicto semicirculo comprehenibrum quadruplos determinare, & Per eorum exti emo eurvam ducere, erit enim coni latus radii talis quadruplum uii quatuor anguli rem quadrupli sum armus subtens quadranto G R Z sed& ubi supponatur parabola aut hyperbola ff. tota nimirum limili coium1ctione . & ex concentricisi peripheriis rati parte determi eta. quae ad accum, radio, & simili parabola, aut hvperbola super ipsum descripta conclu-