장음표시 사용
211쪽
sum, sit se 'sin data ratione lateris coni ad radium basis At e contra li cupias Ichnograpta ain circularem, parabolican alteriusve figurae habere, manifesta erit, constructio figurae, quae cono advoluta ejusmodi Ichnographiani dare nata esset, per sectionem arcuum concentricorum, periphetia similis figurae super latere coni descriptae, ipsoque coni latere compre. hensorum . in eadem ratione data,lateris coni ad radium Dasis. En quanta curvarum seges , quas geometrice determinare possumus, quotiescumque data ratio,lateris coni ad radium basis, potest geometrice angulis applicari et per multiplicationem, vel per divisionem arcuum propositorum.
io Hinc in meo Sphaero lindricarum , & Conoeylindr carum sectionum Tractatu ostendi, oubd, si conus B D C secari tateu igat ut sem icylindro. cujus basis semicirculus G Κ Akper radio MG AG descriptus , sitque latus eoni duplam verbi causa radii basis, seu in quavis alia ad ipsum ratione, fa- super D H, aevali lateri coni, semicirculo pariter D V Η, omnibusque arcubus VI, centro D descriptis, bifariam, seu in data ratione sectis ad puncta u. itaut sit VI ad u I, ut D Cad CA . linea DuΗ , per puncta u sic inventa transienS , erit aequalis cono cylindricae sectioni; id quod etiam succedet
212쪽
det, si loco semicireulorum GKA, HV ponantur vis aliae similes figurae, semper enim communis conicae,& lindri eae superstet ei sectio in lineam planam illi aequalem commutabitur ; cumque in Vivianeispag. ia a. paulo ante uum. 37. ostenderim lineam quoque Sphaerocylindricam, seu perimet tu Veli Florentini, esse communem conicae, & cylindricae superficiei sectionem, quam etiam 4 is 36. Ostendi aequalem perimetro cujusdam ellipsis, ideb etiam curva DuH, modo praescripto efformata, cui dant ellipsis eircumferentiae aequalis ostendetur. Vides autem, opinor, quam utile sit eamdem lineam ex variis superficiebus in alias transferre, diverniq; eca- structionibus in plano determinare, prout eadem linea elliptica , tum modo superitis descripto, tum per modum ungui x cylindro expansi, tum vulgari modo, prout Apollonianam coni sectionem terminat, aliisq; modis in plano jacere potest, semperque diversas tangentium determinationes suscipit, pro vario suarum partium situ; contingere siquidem potest, ut in uno rectificationem respuens, in altero illam admittat, vel satitem cum alia nota linea comparationem susui piat. Sic, si proponatur linea L oo, cujus haec proprietas, ut ducto radio F Ο ex determinato puncto F. secante arcum
L G, elia tangentem L E in pumetis G, Ε, ut semper post F G radiu,& secantem F Ε, tertia Proportio. natis F Ο, Deila erit eurvam L O ocum linea Geometris iam satis nota B eomparare se videlicet cum parabola notae parametri siquidem illi ipsa non alia est, quam parabolaevbluta ex superficie coni, cujus triangulum per axem sit aenullaterum ν id quod extra hanc methodum, nescio an satis promptum esset eonjectura asse. aui, nedum facili geometrica comtu mae determinare.
213쪽
ii Jam, quando ita provocas, operae pretium est, uteum rum, em quem praemiis, modo descriptarum,tangentes universali methodo determinare aggrediar, pro qua: Aumatur quo libet figura A LLB. ductisque excentro A quibusvis conce
trieis arcubus EL, EL, fastilitet augeamue producti in M, aut minuant ut diviti in I, quousq; per puncta A M M B tranaseat Curva, qualem num. 8. determinavimus, aut per puncta
Α Ιl B transeat eurva , qualem num. 9. desistiptimus Pueraturque ad datvnrpunctum M , VH l curvarum ejusmodi tangetis. Ducto arcu quoliber, verbi gratia extremo B C D,oceurrente iunctae chordae, seu radio AM, AI in D, H, ductoque arm ML, seu I L. &junetaeho da A L, ierante priore ar- eum in C, ducantur tangente, attus DB ad punicta D, H,C, quae fiat D G, H F, C Κ ; huic ultimae occurrat in Κ tangens L Κ de a fiet puncto L desa -A L B; in ea autem ratione, in qua sunt areus L Bad EMι aut El, ponatur esse dare noctio tangentis C'Κ ad DG veI H F. Dico junctam UM , aut Fl esse tangentem esusmodi curvarum in M, t. Si enim hae curvae gigni intelligantur ex aequabili motu lineae
A B eirca 'A eirculariter convertat, & motu accelerato , vel
retardato, prout opus fueriti pumi B per B A ascendentis , aut A per AB descendentis ad modum, quo Spirales generari Ient manifestum eis. aequabilem illam velocitatem motus cireularis in eurva B M A tantb majorem, & in ΒΙ Atantb minorem fore , quam sit incurva B L A , quanto major est arcus ME, dc minor EI, quam KL, id est ex constructi ci
214쪽
ne, quanto major est GD,&minor H F, quam C Κ, eodem existente impetu puncti difformiter fluentis, sive in M, sive I, sive in L. propter aequalitatem ipsuum A M, AI, AL , vel residuarum D M, Hl. CL, quas mobile punctum A. vel Binterea peregit, dum linea circulariter mota respective arcum DB, HB, vel CB emensa est. Si igitur velocitas dimormis in puncto L curvae BL A exprimatur per L C, etiam eadem velocitas in punctis M. I aliarum curvarum exprimetur per MD, IH illi aequales. & si velocitas aequabilis circularis motus exprimatur per CK ad curvam ALB exprimenda vero eit prorsus per ipsam, quoniam in ea est motus circularis directio, quippe tangens arcus CB. & aliunde intercipitur a tangente L Κ, angulo recto KCL opposita, in qua utriusque
motus composita directio reperiri debet,ex8. Prop. l. a. Ge metriae motus Ioannis Cevae, qui non cognatione tantum, sed& geometrico acumine, & inveni edi scelicitate Tibi vere Ge manus existita similis aequabilis veloeitas ad eurvam AMBexprimetur per D G, & ad curvam At B per H F proptereό juncta G M. &FI tangens erit, sive ex eadem Pr Ositione, sive ex his, quae cap. s. num. 3. demonstravi in Hugenianis, & antequam Fratris tui Geometriam legerem, ex Toriricellii loco ibidem citato deduxeram. Atque hinc est, quddsi ordinatae ad axem non smi arcus coeentrici. sed rectae lineae, velut LE. FE in eadem semper ratione, ductis LG, F
215쪽
axi parallelis , dataque figurae B L tangente L si oecurrente basi in r; sumpta ut, quaesit ad Cr in eadem ordinararunt ratione, juncta e F tanget eurvam F B; tum enim illae ordinatae LE, FE, quemadmodum Sc basis recta C u. habe dae Iunt pro 'arcubus concentricis, a centro infinite distante descriptis, cujus radii propterea sint ipsae axi parallelae L C. Q F, ipsaeque r C, t pro tangentibus extremi circuli C Qe,
ob infinitam ejus radii magnitudinem, in unam eamdemque rectam cum suis tansentibus abeuntis ; cujus constructionis veri as jam aliunde innotuit , siquidem rL , t F hoc modo designatae in unum & idem axis B E punctum collimabunt,
uti ex proprietate triangulorum constar. ia Quod si quis malit independenter a motuum composiatione ealdem tangentes evidentiori methodo inquirere, per Gme licet. Esto enim primit m duplex figura , altera ex rectis LE. Ie ad axem ordinatis . altera ex arcubus EM , em ad eumdem axem applicatis, & respective aequalibus ipsis L Ε, t e sibi correspondentibus; data tangente L K prioris figurae. occurrente ipsi Bia, ex vertice ductae aequi distanter ad ordinatas, in puncto Κ, tangens figurae posterioris ad punctum M sic determinabitur ; juncto radio BA , atque huic ex B perpendiculari BG, aequali ipsi BK, jungatur GM: dico hane
esse tangentem ; Occurrat enim in S cuilibet alteri ex arcubus concentricis em, secanti radium inmitique OP radio Ba
216쪽
mo perpendicularis , ac juncta chorda BL, ordinetur per
idem axis punctum e applicata prioris curvae e T, secans tangentem in R, chordam in N; erit utique arcus eo aequalis
e N, eb qubd sector sit triangulo analogus ; sed & em aequalis ei; itaq;& Om aequalis Ni; ipsa verbNRaequalis o P, suta ad BK,aequalem ipsi BG, est in eadem ratione, LN ad LB, seu Le ad EB , aut o M ad MB ; suae omnia valent etiam de homologis lineis per minusculas litteras designatis,& infra punctum Eduetis; nbe solo discrimine, quoci si e sit supra E, erit NR major, quam Ni; unde& o Pinajor, quam Om; ni utili igitur magis arcus o S qui est major ipsa OP, a sortiori quam major sit suo sinu erit major , quam O m; unde punctum S erit extra curvam ; si verti e acceptum fuerit infra E , erit n r minor, quam n l; unde & o p minor, quam om ; arcus autem So minor est tangente op , a sortiori . quam sua tangente minor sit arcus , quem ex centro B , juncta B p interciperet: multd ergo minor est arcu om; &idebetiam punctum s extra curvam erit; recta igitur G M tangit. Jam vero concipiatur alia curva B F priori analoga, ita ut ejus ordinatae FE ad ordinatas prioris L E perpetuo sint in eadem
ratione , utiq; secta DB ad ΒΚ, ut FE ad EL, juncta DF
hanc curvam tanset; siquidem si oecurr t alteri ordit atae in puncto T erit etiam T e ad e R ', ut F E ad E L , nempe ut te ad el; quare cum e R major sit ipsa et, etiam e T ma-ῆot erit', quam es; si igitur intelligatur figura Bil ex arcu
bus E P aequalibus ordinatis hujus pol remae figurae E F, juncto tradio Bl, atque huic perpendiculari B H, aequali ipsi BD, juncta Hi tanget ; eritque HB ad BG , ut IE ad ME.
Duarum igitur figurarum , ex concentricis arcubus in eadem constanti ratione positis descriptarum, tangentes intereipi ut rectas ad radium perpendiculariter ductas, ipsis arcubus proportionales Quod coincidit cum praemissa constructione. 13 Antequὲm autem hinc alio digrediar, adnotare iuvabir. ex harum pariter curvarum descriptione doctrinam illam me. seeundae Appendicis ad Uivianea Ptoblemata iterum demonstrari, seu denub confirmari posse. Hinc siquidem deducitur. ichnographiam cujusvis portionis in contea superficie absum-C e ptae,
217쪽
ptae, qualis esset AIID, esse mediam proportionalem inter ipsam figuram conicie ibperficiei in planum expansam . veluti D V C, & aliam ipsi similem, similiterque positam D o A, s per radio balis coni descriptam ; nam propter singulos ars SH N, se habentes ad N O in constanti ratione lateris coni
C D ad radium balis A D, erit tota figura A H D ad A O O, ut CD ad D A ι sed C VD ad AOD sbi similem est , ut quadratum CD ad quadratum D A; itaq; CV D ad AOD est in duplicata ratione AHQ ad AOD, propterea & conica superficies C V D ad Ichnographiam suam A H D est, ut AH D ad AOD, sive, ut latus coni CD ad radium basis
D A. inQd Sς- . .i Tu verci non hic subsistis,& alias rursus novarum speculationum sodinas eruere aggressus . Epistolis Tuis, pridie kal.i Iulii ad me datis, nova iterum ratione lineas in ςonica superiiqie descriptas in planum sternere niteris. Ais enim: Speculatuisem infisuere piacuit circa S ratem illam conicam,
de qua superioris bebdomada Tabellario ad Tescriptas Episolas tradidi, cujus tibnograpbia integra es Spiralis Archimedea ;considerabam scilicet Ulindricaa inperficiem, suam ilia perpendisulares formavi, quibus sussulta, ut ita dicam , d reditur
praedicta Spiralis conica; scire autem optabam, inquam lineam evaderet, explicata in rectam tineam Spirali Archimedea, una cum ipsisuperficie Olivdrica, adeonica pira- tineam terminante. Si enim baccurvam aliquam e lineis alias uotis referret,
218쪽
οerbigratia parab am, id egregiarum certὸ Speculatis-m ID..itiam aperire , as Id ego primo statim intustu ad hyperbolie quadraturam pertinere opinatus sum, nee me fefellit opinio, siquidem ad illam reserri iam tum videbatur parabolicae eurvae rectificatim, uti ex Hugenianis- a. -m. 4. constat, Parabolae autem rectificationem cum Diralis Archimedeae distensio ne conjunctam esse, tum ab aliis animadverteram ostensum es.se, tum ipse postmodum docuisti ab Ioanne Ceva fratre tuo Geometr. mot. l. a. prop. 34. idem demonstrari. Antea verbid mihi innotuerat noe ratiocinio. Esto Spiralis Archimedea Ca A primae circulationis, &posito in altera figura Parabolae Apollonianae axe C N aequali uimidio cireumferentiae Λ D A,
ordinata aiuem N A aequali radio C A. describatur parabola C a A , ineo hane Spitaliaeqocem esse; sumpto enim quolibex
in parabola puncto a. .& ordinata. a n , & in sphaesi piutino ..cuius radius ac si Malis ordinatae a m ducatur arcus a I ;. ducanturque tam in parabola, quam in spirali tangentes a b.
occurrentes ipsi e b perpendi eulari hinc ad radium ua, illine
219쪽
ad ordinatam an in punctis b. b. Jami elim sit Cb inspirali aequalis arcui a I ut docuimus in Hugenianis cap. s. nu.9. Sit autem peripheria AD A ad arcum Ia in duplicata ratione AC ad C a, seu sin Parabola AN ad na, videlieet, ut NC ad Cn; sitque CN aequalis semissi peripheriae A DA, erit & Cn aequalis semissi arcus a I , vel subtangentis Ch*iralis;sed&subtangentis nb parabolae subdupla est eadem Cn; aequales igitur sunt, tum in spirali, tum in parabola subtangentes nb, Cb; aequales autem & ordinata an , & radius C a; tota igitur tangens parabolae a b, quae his potentia aequatur , aequalis erit tangenti a b spiralis sibi correspondenti ;sumptaque infinite exigua utrobique tangentis particula ad, ae dimilla in ordinatam, & radium subtangentis parallela d m, oeunt triangula d ma , d ma utrobique similiter aequalia, applicatisque alterius ad alteram homologis triangulorum a m diateribus, tangentes ad , seu curvarum partes his responden tes congruent, certe ebres deducetur, ut alterius ad alteram
proportio sit propior aequalitati, quam quaelibet data majoris, aut minoris inaequalitatis ratio; aequales igitur sunt, tum Atiachiis
220쪽
chimedea' Spiralis , tum parabola . quadratica nuper dem
i6 Hinc patet, quis justb minorem Diralam fecerint,
qui semicireumferentiae ADA aequalem, esse asseruerunt, utὲ litur us Math. En l. l. a. cap. q. conisi. v. Propolis. 13. Guarinus tra'. .i Euch Adaum miratainus de re sol. & compos pag. apyi aliique; videlicet tantb minorem, quantb axis N C para ae C a A minor est ipsa curva C a A; constat item a scopo non leviter aberrasse Virum Clarissimum Borellium, ubi de motu animal. P. a.. Prop. . t. duas ejusdem Spiralis revolutiones comparans . ait illas ad invicem elle, ut peripheriae mediae arithmeticae inter extremas cujuslibet Spiralis, sive esse ad invicem, ut sunt circulares Zonae, quibus inseribuntur; hoc enim perinde est, ac si diceret, curvam parabolicam tκ esse ad tS lineis aequali intervallo distantibus, axi parallelis interceptas ducta recta F o sepante praefatas. Parallelas in q, 4, ut trapezium asHO ad O HSq , Quod est absurdum, sumptisqnippe hyperbolicis spatiis Οos H, O HSo iisdem
curvae portionibus correspo- dentibus per cap. I R. num. 14.
idest ratio maioris inaequali tatis aequalis . foret , rationi inaequalitatis minoris.' me sartur deficis listera s inter H. A.
Caetersim eo modo, quo parabolam madraticam, atque Archimedeam Spiralem comparavi, similiter alias spiralium jecies cum aliis parabolarum speciebus posse conferri manifestum est, uti alias, si satis memini, indicabam , nempe si r