장음표시 사용
761쪽
Quantitates ass mPtM A, B, C, D, 6 C. fani α, β, γ, δ, OG Cuna x
evadat a, b, c, d, &c. respective: deinde assumantur quantitates ρ, g r, s, &c. quae nihilo sunt aequales, cum V - σὶ etiamque I , L r,r &c. quae nihilo sunt aequales, cum X - θ; & simit ter ρ, y , r , s ,&c. nihilo aequales, cum x cti & ssic de quRntitatibuS p y , r , s ,
ς ἡ & S S', R S , &c. erunt valores quantitatis , , qui correspondent valoribus G, b, ε, d, &c. quantitatis x respective. T H E O R. LIX. Sit aequati , quM sit functio quantitatum x, z, &c- , in qua continentur n coefiicientes ad libitam assumendae; dentur etiam sn
762쪽
correspondentes valores singularum incognitarum quantitatum sx, γ, z, &c.); invenire coessicientes praedictas. Pro incognitis quantitatibus sae, γ, Σ, &c. in scribantur earum sηὶ correspondentes valores, resultant n) aequationes totidem sn) incognitas quantitates, i. e. n) coemcientes ad libitum assiimendas, habentes , e quibus detegi possunt coessicientes ipsae. a. Sint sm) aequationes sn min incognitas quantitates s x. 3, z, &c.)habentes, & in singulis hisce aequationibus contineantur fr) incognitae coessicientes ad libitum ama mendae; tum ex datis r) correspondentibus valoribus singularum incognitarum quantitatum x, I, et,&c.) per methodum Prius traditam erui possunt coefiicientes ipsae. P R O B. XLIX. Cenire quantitatem, quae evadat respectiUe S, S', S , S ', &c.: cum x - α, Υ - β, Z - γ, &c-ὸ Σ - α, J - β , Z - γ, &c.; X - α , y - β', Z - γ &c.; &c. Assumantur quaecunque functiones sm N, L, &c.; C, D, dce.)ouantitatum a . v, π, &c. ; in functionibus H, S, T, dcc. pro incogianitis quantitatibus sx, γ, z, &c, in scribantur respective, β, γ, &c.; β . &era; β , ς, &c.; im ς', &c.; d c, ; & resultent quantitates h. I 'I respestive: in functione s in pro incognitis quantitatibus &e 3 seribantur praedictae quantitates α, β, γ, 6 c.; α, β', γ, δ c.; V &c.. &c., resultent quantitates a , es , &c.: dc similiter in
Cor. Si requiratur, ut quantita. detegenda sit maxime simplex: tum pro ' R L, dcc. assum tur iaVariabilis quantitas , & Pro A, B, X x x x C, 5 c.
763쪽
Data nonnullorum casuum resolutione, Uform a se qua gemeratis counetur; eana delegere. Primo assumatur casus, si modo fieri possit, in quo una solummodo continetur incognita quantitas, & ex eo casu deduci potest incognita quantitas: & sic de singulis reliquis incognitis quantitatibus, i. e. continuo inveniantur casus, in quibus una reliqua vel ea cum qiuibusdam prius inventis solummodo contineatur, & exinde deduci potest praedicta reliqua quantitas: si vero non innotescat methodus inuen endi casum, in quo una solummodo incognita quantitas con
tineatur; inveniantur duo independentes Casias, ara quabias cliam totum-
1modo contineantur incognitae quantitates et & si haud dentur duo independentes casus, in quibus solummodo contineantur quaecunquedine incognitae quantitates cum praedictis inVentis, inveniantur tres casus, in quibus continentur tres incognitae quantitates cum prius inuentis; & sic deinceps: & exinde detegi possunt incognitae quantitates in resolutione contentae, & consequenter resistutio quaesita. - , & stetur casus, cum x Sc Ibx
764쪽
Cor. I. Hoc problema ad resolutionem quam Plurimorum problematum applicari potest, nam in multis casibus facile innotescet formula praedicta.
765쪽
spectivis sequationibus nihilo sunt aequales, duae vero reliquae innotescunt & non sunt eaedem in utraque aequatione, deduci possunt co-essicientes terminorum q&pΤ', rq & p-qφ' & similiter ex tribus diversis sequationibus praedictae sermulta detegi possunt coessicientes terminorum p in pir, pq ; pq h p r, & sic deinceps: eadem methodus etiam applicari potest ad terminos, in quibus continentur literae p, Τ, Γ, dic. 1 H E O R. LX.
Nonnullae coessicientes unius erui possunt e coessicientibus alterius casus; quod plerumque fieri potest, cum unus sit particularis casus alterius ; vel quendam nexum habent inter se duorum casuum quae dam coessicientes. Deducantur coessicientes terminorum in una quantitate, & e data relatione deduci possunt coericientes alterius quantitatis.
Ex . Sit quantitas A in qua Continentiar literm G, b, c, in &c., sit etiam quantitas B, in qua OmneS literae a, b, c, d, &c. non involventes literas si, q, r, &c. similiter involvuntur ac in quantitate A; tum deducatur eadem functio quantitatum A&B, quae sit E Sc F, in his
quantitatibus omnes literae, quN non inVolvunt literas p, g, r, s, &c.; similiter involventur. Ex. 1. Sit aequatio data inferioris ordinis x' - Τ xy - r x s - o.
s) κίη - o, cujus sequationis omnes termini iidem erunt, ac termini sequationis similiter resultantis e data aequatione xs x3 rx*--s X - t o ; in quibUS continentur solummodo liter e q,r, s. Per sequationem similiter resultantem in hoc casu designatur aequatio, cujus radic a sunt λ λ -- ν, λ π, λ p, ρο ν, μ or,
766쪽
ιμ- ρ, ν se π, ν - ρ, προ- ρ; si modo λ, μ, ν, π, ρ sint respective radices aequationis AS in Τx3 - r xy I x - t o. .sCHOLIUM. Finis huic operi non est imponendus, priusquam paucula de methodo resolvendi haec cum multis aliis problematibus adjiciantur, quae dici potest methodus deductionis & reductionis; omnia enim fere mathematica nihil aliud volunt, quam e data methodo deductionis quantitates reducere: per deductionis methodum designo quamcunque notam operationem; E. g. Vel quantitatum additionem, subductionem, multiplicationem, divisionem, eX tractionem earum radicum, &c. quoniam haec operatio bene nota esse supponitur, semper perfici potest exinde deductio: si vero exigat problema, ut iterum iterumque repetatur data operatio, in multis casibus Propter calculi laborem ad reductionis methodum confugere haud inutile videtur:
eit, & idem affirmari potest de inveniendis Primis, secundis, tertiis,&c. fluxionibus quantitatis sa -- bλ' -- c x'' &c.) κ e H ix' inst. 1. Ex data quantitate deducta & deductionis methodo ejus redii ctionem invenire, est problema maxime generale; hujusce problematis particulares erunt subsequentes casus, viz. st x quantitas invenienda, di is quantitas deducta; & methodus deductionis talis sit, ut Ax B C x' - -- &c. a; reductio vero hujus quantitatis sn) ad
iniussitam x eadem est, ac resolutio algebraicae sequationis Ax B κ' -- dcc. a. a. Sit quantitas deducta quaecunque fluens, Adata deductio sit vulgaris methodus inveniendi fluxiones datarum fluentium, & methodus reductionis erit methodus inveniendi fluen im ex data fluxiono: hoc vero problema plerumque resolutio rem recipiet ex assumpta quantitate generali cujus i rintionalitas vel for mula sere deduci potest e data quantitate & data etiam deductioni umethodo) pro quantitate qu sita; scribatur haec quantitas pro ejus
767쪽
valore, & e data deductionis m thodo inveniatur altera quantitas, qua datae quantitati aequali ζJς supposita, exinde erui posest pro
xyὶ cujuS quantitas reducta sit A, & methodus deductionis A- i. e. A -- 4 in W; sed ex hac methodo constat quaesitam quan titatem H, si modo algebraice exprimi possit, eandem habere irratio
ubi b est quantitas ad libitum assumenda; unde, si generalis requiratur resolutio quantitatis A, assumi debet resolutio, quae Praedictamy'Coel Hine 'eonstat e praecedenti substitutione deductum esse sol m- modo particularem valorem quantitatis A, quoniam substitutio solummodo est particularis & non continet in se omnes valores quantitatis A. et . Consimilia etiam principia applicari possunt ad reductionem datae quantitatis in Plures, quarum methodi deductionum dantur; &sic de sequationibus inter quascunque quantitates: hinc ex data methodo deductionis erui possunt quaelibet quantitates, quas reducere liceat; assumantur enim quaecunque quantitates & ex iis per datam methodum deductionis inveniantur quantitates quaesitae.. PI 1e vero animadvertendum est, ut talis sit deductionis methodus, quae s si modo eadem data quantitas sub diversa specie lateat in dive sam haud specie sed re praebeat quantitatem deductam: e. g. sit methodus deductionis talis ut e data quantitate a Us deducatur quantitas ny a x' 'ς -- my a QV '; sit data quantitas x' ', & quantitas ver praedictam methodum investigationis inventa erit u m yx ' ;
latente per hanc methodum deductionis diversae exorientur quantita-
768쪽
tes, & methodus deductionis habet relationem ad qualitatem aeque ad quantitatem, ni ex aliis datis ad finitum responsionum numerum restinguatur quaestio proposita: si modo talis sit methodus deductionis,
ut eaedem quantitates sub diversis formulis latentes semper easdem Praebeant quantitates; tum quantitas data utcunque in diversam formulam vel etiam in infinitas approximationes transformari potest, & exinde omnes regulae de approximationibus in hoc & praecedente libro traditae mutatis mutandis ad hunc casum applicari possunt. s. Saepe ex repetitis n operationibus & animadversione methodorum, e quibus formantur termini, constabit lex, quam observat se-Heg quae exprimit quantitatem deductam per operationem n vicies repetitam, quae quantitas dicatur terminus ad n distantiam ι pro nseribatur - , & invenietur series, quae eXprimit quantitatem in eadem
scala ad - distantiam. E. g. Ex operatione inveniendi fluxiones datatarum quantitatum saepius repetita constabit fluxio rectanguli x3 or-
769쪽
hscribatur & constabit lex quam observat quantitas ad distantiam hi in scala fluxionum potestatis x posita.
Sit r negativus numerus & series praedicta denotet quantitatis x fluentes; sed hic animadvertendum est, quodsi numerus factorum sit negativus, tum designat factores in denominatore contentos, si numerus factorum assirmativus denotet factores in numeratore. E. g. Requiratur fluens r ordinis quantitatis x , hic r est negativus numerus, & numerus factorum sn . n- I ... n - r I)) est r; ergo numerus factorum in denominatore contentorum erit r, & ultimus saetor n - r-D I erit in hoc casu u in r), & series praedicta evadet
modo requiruntur fluentes datae quantitatis si vero 7 sit fractio ad minimos terminos reducta, tum inveniantur quantitates in scala subsequente subi distantiae a primo stat, &c. - 2, - I, O, I, 2, &c.
n - I), &c quarum distantiae a primo termino sint respective - Ρ- . . . - Pro his I quantitatibus inventis scribantur
770쪽
scribantur A, B, C, D, &c. respective ; tum erunt quantitates in ea-l k - 1 l - adem scala, quarum distantiae a secundo sit - I, G,
deinceps , & quantitas quaesita erit A 'ix T, si x sit constans quantitas.
Facile etiam constat, si modo sit v quantitas, cujus fluxio v) o dinis γ vel quantitas in scala fluxionum ad distantiam - a data fluente
posita sit constans, ubi I sit integer numerus; & sit et data fluxio; esse fluentem r - γ ordinis ubi r est integer numerus) Σ - Αυ B υ in Ce r &c. . . . F et Gu in V ubi A, B, C ... F, G,
sunt invariabiles quantitates ad libitum assia mendae. Fere omnia etiam, quae Pritas tradita fuere de fluxionibus, fluxio natibus aequationibus & earum multiPlicatoribus, &c. ad hasce inter
polationes applicari possunt: hic forsan haud indignum est observatu. quod series, cujus termini hanc habeant formulam Ax μ' , ubi E est distantia a primo seriei termino, & e &j sunt invariabiles quantitates,& A al ebraica functio vel rationalis vel irrationalis literae et, semper exprimi potest vel per fluxionalem aequationem, Vel per interpolati nem seriei. quae est resolutio fluxionalis aequationis bd consequenter est resolutio fluxionalis aequationis ordinis vero fractionalis : si enim A sit rationalis functio quantitatis tum erit resolutio fluxionalis aequationis; si vero radices rationalis functionis contineat quantitaqA, tum plerumque recurrendum est ad interpolationem serierum eYfluxionalibus aequationibus eXOrtalum. Dimensiones cujuscunque incognitae quantitatis in successsivis ter
minis datae seriei per inaequales disterentias augeantur vel diminuan-'Yyyy tur,