장음표시 사용
731쪽
ducantur eaedem functiones harum radicum in 1eriem possibiles quantitates solummodo involventem, & post singulam multiplicationem per methodum hic traditam inveniantur fluxiones vel fluentes, & series resultans erit possibili . . . o. Hinc constat ex hac methodo deduci posse in finitis terminis lum-
etiam a primo datae seriei termino, Sc literae k, k, E , &c. designant integros diversos numerOS. Eadem etiam perfici possunt ex additione serierum hic traditarum in invariabiles quantitates deducendas ductarum. Si requirantur series, e quarum summis evanescunt telmim, qui
circulares arctas & logarithmos continerit; inveniantur 1 Ummoe Per
methodos pilus traditas; & fiant termini, qui involvunt independentes circulares arcus δο logarithmos nihilo respective aequales, & ex sequationibus resultantibus erui possiunt series quaesit. . . . Hae series etiam inveniri possunt ex praedicta additione termino-1o Et si militer ex datis summis serierum, quarum generales termini
732쪽
Ex summa seriei, cujus gener tia terminψῆ ς ' i. a. a . . et . α - χὶ 'data per principia hic tradita erui potest summa serier, cujuῖ gendi μ
lis terminu. ςst a. 3 . .nta. α Rrii Sit series Ax Ex ' CN '' D&z. I, cujus indices variabilis qaantitatis X sint in arithmetica progressione; ducan fur successivi termini seriei respective in terminos successivos trium arithmeticarum serieram rz i, ta est distantia a primo datae seriei termino, & resultant tres series s A
ia r -- s) Cx 'φ' -- lac. S , 'A x H-- ρὶ B x ' a r ta κε - &c - SV: ex summis duarum priorUm serierum inter se independentium datis acquiri Potest tertiae summa: assumantur enim duae aequationes er in er - Η & e e's s e quibus erui pos uni e & e ,.& exinde e S -- e S S' summae quaesitae.' Et similiter ducantur successivi terminr seriei rei altantis In luccelli vos secundae arithmeticae seriei termii OS, & resultat series, cuias summa deduci potest ex summis trium ejUsdem Seueris serierum: & similiter du-eatur data series in bὶ arillimeticas series inccessive; tum summa seriei resudantis erui potest e summis b H independentium serierum eius adem generis datis; vel quod idem est, dricantur successivI temum pi --sstriei in successivos terminos quantitatis Ata BZ in CE
urit diversae datae functiones quantitatis πὶ distantve a primo datae inci . M P P, R, &c. sunt su) quantitates inter se indepen
733쪽
Ces &c. - Ω similiter multiplicetur haec sequatio in via inve- Diatur saxio sequationis resultantis, & sequitur summa seriei resultantis ex multiplicatione datae seriei in cliaaS arithmeticas series: dc sie
ex data seriei summa acquiri potesst summa seriei resultantis ex multiplicatione terminorum datae seriei in quotlibet arithmeticas series. ia. Sit series A B x se D xΤ' - &c. P; tum erit
ducatur haec aequatio in x' 'x, & inveniatur ejus fluens, quae erit
734쪽
tur; summa seriei, cujus generalis terminus est
&c., ni duae vel plures e quantitatibus α, β, γ, δ, &c. sint inter se aequales; in quo casu e Praecedentibus petenda est summa. ia. Sit α - , C, ina B x' M' &c. - P; ducatur liu eaequatio in in 'x, ia inveniatur naen. . quationi. resultantis p κω CP &c.; ducatur haec sequatio in x - ω & in veniatur fluens aequationis resultantiS; re sic deinceps; & resultant series
735쪽
- &c.; cujus summa exprimi potest in finitis terminis,
si literae r, s, i, &c. integros denotent numeros; per praedictos & cir- circulares arcus bd logarithmos, si denotent assirmativas fractiones, quarum denominatores non majores sunt quam 2; per praedictos Scellipticos & hyperbolicos arcus, si denominatores non majores sint quam ζ; &C.
tionum resultantium φ A - - B, - - &c.; ducantur sequationes resultantes in x' 'x, x 'se, x ' x, &c., & inveniantur fluentes fluxionum resultantium, & sic deinceps; tam, si r, r , r &cia, S, d, 4 , dcc Scc. sint integri numeri, ex l- i) fluentibus independentibus praedictis erui potiunt reliqciae: si vero differentiae iniec Proedictas quantitates r, H, &c as, , , Η &c.; &c.; sint integri numeri, tum exl independentibus erui positant reliquae :& sic deinceps.
ntes inter eosdem valores quantitatis x contineantur; si vero quartus adjiciatur index δ, tum resultant 1 . et . 3 . 24 fluentes inter se aequales; & sic deinceps.
Sint T , T , ID, T &c. termini seriei in quo. um distantiae a primo vel quocunque alio seriei termino sint respective n, r, s, &c. i. e. in generali termino A . pro et distantia a primo seriei termino scribantur m, z-n, z--r, &c., de resul tent termini T', T . T , &c. sint 2 -, Π ', T , bcc. termini seriei B, quorum distantiae a Primo sint respective m ri r s &c.; i. e. in generali
736쪽
termino B pro z distantia a primo seriei termino scribantur Π m, z--ου z--ri et in L dcc., & resultent seriei termini I i , ,&c. sint etiam ν' , T ', T T' ', &c. termini seriei Grum distantite a primo sint respective , n r, a, &c., a. e. in generali termino pro z distantia a Primo seriei termino ictabantur
- ν r &c. - ν, &c. tum in finitis PraedictiS terminis exprimi potest summa risultantis seriei. P R O B. XLVI.
Iuveni ne in istas seriei, quarum s GNG ivvo escant.1 Assumatur quaecunque quantita. Pro summδ, reducatur ea per di sibii , extrosionem radicum, &c. ad ser m convergentem, &seriem secundum dimensiones rumcunque perparvarum quanti x in H i in ea contentarum ' μὶ,-ns & exoriuntur series, quarum summae Innotescunt: an-
- ἡ series convergent, dζduci potetit e principiis prius ra-
737쪽
ditis; vi g. ex supponendo denominatorem & singulas irrationale aquantitates nihilo aequalζS, &Ideducendo. minimam radicem sαὶ quantitatis x in aequationibus resultantibus; & si x minor sit quam α; tum series ascendens semper conVerget; si autem x major sit quam maxima praedictarum radicum, tum semper converget, si modo siit series secundum dimensiones quantitatis x descendens 3. Assumantur quantitates pro summis, deinde reducantur quan titates assumptae ad series secundum dimensiones unius, duarum, trium, dcc. quantitatum, vel secundum quasdam datas functiones quarundam quantitatum progredientes; ita quidem ut series evadant convergentes; & deducuntur series, quartam summae innotescunt. . Ducantur aequationes deductae in fluxiones formularum, quae reddent fluentes resultantium aequationum facile integrabiles; & exinde erui possunt series summabiles: & sic deinceps. s. Inveniantur diversi valores quantitatum assumptarum per quasia dant functiones secundum dimensiones RHariari tam PQΓPRI Uar Umquantitatram ascendentes vel Permagnarum descendentes; & exinde sepe facilius erui possunt fluentes earum summarum, differentiarum &c.; sed animadvertendum est, si ascendens series convergat, tum de scendens diver et, ni omnes radices quantitatum assumptarum possibiles vel impo sibiles inter se quodammodo habeantur aequales; in quo casu nonnunquam convergent & nonnamquam divergent & a Dcendens & descendens series, & in algebraicis quantitatibus uicieque plerumque evadent eaedem vel una affirmativa & altera negativa &aequalis in fluentibus proprie correetis eadem affirmari possimi.
738쪽
Cum plures variabiles in assumpta quantitate contineantur, tum ex theor. 22. l. 3. erui possunt Plures series, quarum summae innotescunt. Convergentim harum serierum ex Principiis prius lxaditis dijudicari y . Et sic ex assumptis quantitatibus per quamcunque methodum con tinuo inveniantur quantitates, quae ad eas semper Propius accedunt,& ultimo propius accedunt quam pro data quavia differentia, tum inveniuntur series, quarum summae innotescunt: hinc ex omnibu, methodis approximationes ad quascunque radices Vel quantitates contatinuo deducendi prius traditis erui Possunt series, quartam summae sint radices, &c. ipsae. E. g. Sint quaecunque quantitates perparvae, &reducantur quaecunque assumptae quantitates, ita ut progrediantur se cundum dimensiones Perparvarum quantitatum, & resultant series convergentes, quarum summae sunt quantitates assumptae.
8 Sit P quaecunque functio quantitatis X o, i. e. P - οι pro valore quantitatis x assumatur & scribatur a pro x in functione P.
739쪽
nulla contineatur possibilis Vel impossibilis radix aequalionis σ)
- o, erit radix datae aequationis major quam a -- z. Eadem principia. etiam ad duas vel plures aequationes duas vel
plures incognitas quantitates habentes, etiamque ad successivas approximationes detegendas applicari possimi. 9. Assumantur quaecunque quantitates vel algebraicae vel fluxionales
vel incrementiales, reducantur eae ad diversas series secundum dimensiones diversarum perparvarum vel permagnarum quantitatum Pro gredientes, & resultant diversae series inter se aequales; vel reducantur praedictae quantitates in cliversas series, re inveniantur fluentes vel integrales inter eosdem valores earundem variabilium contentae, dc resultant diversae series inter se aequales. 1 o. Sint P & infinitae series, quae convergunt, cum x sit quaecUn que quantitas minor quam α, tum etiam series progrediens secundum dimensiones quantitatis x f. P x x s. Q x veli f. x f. x 'x &c.
st. Si praedictae quantitates semper conVergant, cum x major sit quam α, tum etiam series praedicta: ms P x x XI. x x &c. convergent, cum x major sit quam α.
Consimilia etiam assirmari possunt de pluribus quantitatibus ejusdem generis P, R, S, &c.
Sit data series secundum dimensiones quantitatis x progrediens, Mυ functio quantitatis x perparva, Vel Permagna; tum inveniatur x - φ : τ, scribatur φ : υ in data serie Pro x, & reducatur resultans ad seriem secundum dimensiones quantitatis V progredientem, ita ut exoriatur series convergens, & invenitur series cujua summa innotescit. Sunt casus, in quibus series resultans nunquam converget; e. g. sit series X - x in x3-. x &c., & I - xy) v perparva quantitas, ta exinde x I - τη), scribatur haec quantitas Pro xiii data serie, d. resultat series si - ί- ὰ - i - υ )' -- l v* l
740쪽
tionis i erit uam o, ergo series secundum dimensi ones quantitatis v progrediens nunquam converget, cum υ sit finita
llaec series nunquam converget, cum v sit Possibilis quantitas: si autem v sit impossibilii a -- - I , b I, tum series sem-
- THEOR. LI. sit data aequatio relati nem intζr P, R, &C- . exprimens, quarum
series nunquam converget: cum v sit possibilis quantitas: si au-ti sit impossibilis a --b U, S I, tum ferses sem- Erunt