장음표시 사용
11쪽
braicis: quibus habitis Problemata circa Summationem & Interpolationem, aliaque istiusmodi ad Series spectantia solventur per Analysin non minus certam quam est Algebra vulgaris.
Termini Serierum binatim, ternatim, aut plures numero sumpti relationem quandam magna ex parte inter se obtinent simplicem & obviam, Per quam Series determinantur & producuntur ad libitum. Ut si dividatur unitas per I-x, prodibit progressio Geometrica in qua Terminus quivis consequens st ad illum immediate antecedentem Ut x ad unitatem. Per hanc enim Proprietatem Series I - - x - - χ - xῖ - - xl - - xS H- &c. ab alia quavis distinguitur & producitur in infinitum. Proponatur fractio -- -- in Seriem resolvenda : illum in
Ubi ponendo membra homologa nihilo aequalia, ad determinandum Coessicientes assumptos, erit r A - i O, r B φ sA o; deinde rC a B I A O O, rD- -sC- -t B O, rE- sD-hi Cmo, &sic in infinitum. Ex quibus constat eandem ubique prodire relationem inter tres quoscunque Terminus successivos. Similiter usurpando pro di Seriem hujus forma: Ax ' - - Bx i in C x ' 'i- Dx - &c. & substituendo candem in AEquatione, resultabit
easdem prodire relationes ac in computo superiore, sumptis tamen CO eicientibus in ordine inverso. Et quantitates r, s, i, quae indicant re lationem Terminorum, eaedem sunt quae in Denominatore fractionis. Hanc
12쪽
2, 3, &c. pro Atque ad eundem modum Series x
A x' - &c. denotatur per hanc T Tales AEquationes reduci semper possunt ad eas alterius generis: nam ubi Termini sunt assignabiles, relationes eorum erunt etiam amignabiles. Et differentia inter has & illas raro tanta erit quin cuique tuto procedere licuerit prout sibi visum fuerit. - Ex hactenus dictis constat relationes Terminorum consequentium Uerivari ex iis antecedentium, scribendo Pro Z ejus valorem successivum
1 in AEquatione Differentiali. Proponatur AEquatio T - T; scribe zli pro z, T pro T, & T pro T ; atque orietur T' η' Π I T , est relatio inter Terminos T & T . In hac ulti-
ma scribe valores variabilium consequentes z- - I, T , & T , Pro antecedentibus z, T' & T , & obtinebis J T relationem utique inter TV & T .
Seci ει contraria operation regrecli liCet aes relationem Termino
rum antecedentium ex data ea consequentium. Sit AEquatio Trin T , & in eadem scribe T pro T , T pro T , &m3 Σ' - 3 Z- - 2z-I pro z; atque habebis D T. Hoc modo regrediendo & progrediendo, possunt Series continuari hinc inde in infinitum ubi earum natura tulerit: atque etiamsi ignoretiar quinam-Termini denotentur per T, T , T , &c. instituere licet super iis computum, tanquam essent prorsus cogniti. AEquationes de quibus hactenus egimus, involvunt duos tantum Terminos Seriei; possunt vero involvere plures, & tam Termini quam indeterminata et esse plurium dimensionum. Ceterum in hoc specimine simpliciores tantum attingo.
Postquam perduximus Series ad AEquationes Differentiales, monstrandum est qua ratione eaedem sint resolvendae in numeris. Nam Analystae munus est quantitates quocunque modo determinatas eruere accurate vel quam Proxime. Radices autem AEquationum Differentialium commodissime resolvuntur in Series formarum sequentium
13쪽
Quippe ubi et est quantitas parva, prior forma erit adhibenda; & posterior ubi magna. Et hae Series quae componuntur ex Factoribus in progressione Arithmetica, longe magis idoneae sunt huic negotio quam Vul ares quae constantur ex dignitatibus inde terminatae ascendentibus vel descendentibus. Insuper forma posterior hoc habet commodi, quod in eadem potest esse et quantumvis fere magna, id quod efficit Seriem
Sin vero harum Serierum sermae Per quassibet operationes mutentur, debent revocari ad easdem quarum prius erant, ut Termini reddantur homologi eorumque collatio institui possit prout res exigit. Ut si habeatur AEquatio sequens; TOA- ΒΣ Cz. zzi in Det.2 . et ἐφ E et. z- I. z-2.2- 3 Φ&c. Eadem ducta in et Pristinam formam amittet, atque novam induet, proveniente scilicet Tz AzΦBa in in . Dzῆ.z-i. z-ῖ - ET ' . I.- 2.2 Unde constat Terminos ejus com Parari non Posse Cum Correspondentibus in Serie priore. Itaque ut debita forma restituatur, sic operor
Adeoque colligendo Terminos homologos in unum, Series ad pristinam formam reducta erit Nimirum cum Terminorum ομολογια neutiquam pendeat ex Coessicientibus A, B, C, D, &c. sed omnino ex indeterminata et, Terminus
et primus in hac Serie comparari potest cum ΒΣ secundo in
altera, item secundus in hac cum tertio in illa, & sic in reliquis. Similiter sit in AEquatione priore TmA-Bet Φ Cet. α - iiDz. - 1 l &c. scribantur variabilium valores succedentes Pro Prae
sentibus, hoc est a ' pro T, & et Q 1 Pro z, emerget
14쪽
--3 &e. Quae est forma desiderata. . Hem vero harum operationum sundamentum. Quantitas reducencla, per multiplicationem reducatur ad Potestates In determinatae Te dein o perare ad modum Exempli sequentis. Sit α --i Nei quantitas reducenda; finge V2X N i. α - 2 .α - 3 φ bd.α - i' - Σφ - - ilUbi maximias nomerias Factorum in quantitate resoluta aequalis est numero eorundem in quantitate resolvenda. Reducaturtitas ad Potestates Indeterminatae, facta multiplicatione,
utraque quan& habebitur Attiue comparando Terminos homologos, obtinctiimus a se 1, 6 ama,c 3b--IIa D, d -c in ab -6a Ia; ex quibus eruitur i, bra8 cm μ - - 2o; hinc fit quantitas proposita
Et ad eundem prorsus modum procedere licet in aliis casibus. Brevitatis autem gratia, accipe regulam sequentem. Divide unitatem per Terminos hujus progressionis continue, n- I, n-2, n- 3, n- , &c. hoc est, divide unitatem per n-I, & Quotum prodeuntem Per=2-2,& novissimum Quotum per n-3, & sic porro. Tum Quotos omnes sic prodeuntes dispone regulariter in Tabula ut vides, rejectis Dignitatibus ipsius η, & retentis solummodo Coemcientibus, utpote qui soli huic negotio sunt utiles ; atque habebis
15쪽
Assume jam pro Coessicientibus, numeros in columnis descendentihus, & habebis valores Dignitatum sequentes.
Hae itaque Tabula semel habita, quantitas quaelibet reducitur ad formam quaesitam absque taedio compuli. Proponatur ea hactenus redueta Σ' - 2ΣΤ --II - Iaz. Excerpe Valores Dignitatum ex Tabula, eosque ducito respective in suos Coessicientes Ia, II, - 2,& I, atque obtinebis
Et V lores membrorum in unam summam collecti dant valorem totius ut Jam Prodiit. Notandum Seriem infinitam conflatam ex Dignitatibus
16쪽
tatibus Indeterminatae ascendentibus reduci non posse generaliter in aliam praedictae formae: nam quisque Coessiciens esset Series infinita. In Seriebus autem finitis, res succedit ut supra ostensum est. Series etiam alterius formae similiter reducuntur. Fingamus enim esse quantitatem quamvis quaesitam
Dein si occasio postulet inquirere valorem ipsius T successivum, scribez-b I Pro et, & emerget valor successivus
Ubi nunc Denominatores iidem sunt atque in Valore ipsus T; eaque de causa, instituere licet comparationem Terminorum prout occasio postulat. Hujusmodi autem Operationes sic demonstrantur. Pone - - . . existente a quantitate statim invenienda; tum z-I Z z. Σ ducendo in Denominatorem z. i, Proveniet et m et*I-a, sive delendo utrobique et, Om I - a, & a m I ; quare substituendo unitatem
17쪽
quam reducere oportet in aliam debitae formae. Instituatur operatio ut mox ostensum, & invenies ' 1 A
emplo superiore. Si sit - , erunt tria, ut in Memplo posteriore. Et in genere in valore ipsius G debitam formam reducti, numerus membrorum excedet numerum n unitate. Hic tamen supponon esse integrum & assirmativum; nam si sit fractus vel negativus, valor fractionis*ῖ ἡ excurret in infinitum. Regula autem generalis pro hujusmodi transmutationibus ea est quae sequitur. Duc Terminos hujus Progressionis η, i Φη, 2 φ n, 3 -n, &c. in se continuo, & Facta disponantur in Tabula sequente pro ratione Dignitatum numeri n, Coessicientibus tantum reservatis, & emerget Tabula
18쪽
Deinde sumendo Coefficientes ex columnis descendentibus, obtinebis valores Dignitatum,
Et ita porro in reliquis. Adeo ut habita Serie ex dignitatibus co posita, ea semper reduci possit in aliam formae desideratae, ope hujus Tabulae.
entes ex columnis transversis, & ponantura m A,
19쪽
Atque Series ex Dignitatibus composita transmutabitur in sequentem debitae sormae
Proponatur nunc Fractio Ita, primum ope Divisionis resolvo eam in Seriem vulgarem .ῖς-PΦΠ- Π Π- &ς VRdφ
Ubi quantitates A, B, C, D, &c. jam designant Terminos hia ius Seriei more Ne Ioniam. Et Patet Septem abrumpere quotie unque est ninteger & affirmativus. In aliis Exemplis denotet etiam Z minimum Factorem in Denominatore, & Series semper abrumpet hac methodo ubi ejus natura tulerit. Ut si Fractio sit ἡ ἡ-, PQRψΣ x-3, minimo utique trium Factorum; tum erit x Z in g, &
Prodeunt a O, b m I, c m --5, det Ia, e m- Ia; at & reliquae sunt nihil: & per consequens abrumpit Series, existente accurate
In fractione quaVia sit R minimus Factorum,
adeo, ut a, b, c, &c. sint affirmativi, & si sint quoque integri, Series terminabitur, alias excurret in infinitum. Ubi vero Series abrumpi eadem inveniri potest plurimis modis idque elegantius quam Per re iam superiorem generalem: quippe a concinnitate alienissimum est,
20쪽
Primo reducere Fractionem finitam in Seriem infinitam, ut postea ejus valor habeatur in Terminis numero finitis: quod nos hic fecimus ut regul generalis illustraretur, non ut doceretur optima methodus quando Si in Tabula priore excerpantur numeri ex columnis ascendentibus, di ponantura m A, bi: B -A,c zzz C - 3 B A, d - D 6 C A- 7 B -A,
In hisce Transmutationibus nullam habuimus rationem Termini -, quoniam is absque ulla Transmutatione ambigue pertinet tam ad Seriem Dignitatum quam ad eam Factorum.