장음표시 사용
22쪽
N hac parte prima conatus sum abbreviare computos mi Quadratura Curvarum, & in Problematibus etiam dissici lioribus, idque perveniendo ad valores Serierum mn - nitarum magis expedite quam per sim PliCem additionem Terminorum ut vulgo fit. Haec quidem in cito con- αἱ veroentibus abunde rem conficit, neque uteri Ole Opus est artificio: attamen ubi lente convergunt immensus plerumque labor
mae supput ri queunt minimo labore ad Plurima figurarum loca. Hriim Dent quidem Series transmutatae ubi summandae sunt summa-
' in asta transmutatio evadet summatio. Sed de SeriebUSe ' K;1;hu, minus sollicitus sum easque obiter tantum attingo, ut
lammabilibψ' N ' phodite solent. Hic enim n0n QPς δ ebili, ir in' eruen e Seriebus inutilibus quae per obvia Theoremat
23쪽
sunt summabiles, sed in eruendis Theorematibus per quae Series utiles expedite possint summari ad tot figurarum loca quot usus quicunque requirunt.
Non tantum Seriei convergentia sed & simplicitas plurimum confert ad contrahendos calculos. Quapropter priusquam ad Transmutationes accedamus, sciendum est Series Newtonianas in Tractatu de Quadratura Curvarum, non solum abrumpere ubi rei natura tulerit, sed & esse omnium simplicissimas, ubi excurrunt in infinitum, atque eapropter Praeferendas esse iis quae inveniuntur methodo vulgari, scilicet reducendo Ordinatas in Series convergentes, ut exinde computentur Areae.
Ubi A HAC D &c. designant Terminos, quemque in suo ordine ab initio: scilicet est A LXV re' r-j-1 e '& sic deinceps. Proponatur jam inVenxio Arcus eX dato Sinu recto es.
vel quod perinde est, Quadratura CurVae cujus ordinata est
haec ad debitam formam reducta fit x' N i quae comparata cum ordinata generali dat c I ,f -I, η Z, θ-I O, λ I m- ;adeoque θ mi, λ m et exinde S I t, quibus valoribus in Theoremate substitutis, oritur pro Arcu Series
At si Ordinata proposita prius resolvatur in Seriem Per Theorema μω ioni pro evolvendo Binomio, dein capiatur Fluens cujusque Termini, prodibit pro eodem Arcu Series
1ON IIUnde patet priorem longe simpliciorem esse & proinde facilius continuari in infinitum. Exempli gratia, si Arcus quaesitus sit octava Pars totius
24쪽
Circumserentiae, ejus Sinus x erit aequalis quo substituto, evadet
Quo in casu prior duplici de causa est praeferenda, tum quoniam per Factores simpliciores producitur, tum quia libera est a numero surdo qui reperitur in posteriore. Attamen ubi x est quantitas rationalis, 3c simul Y p es, irrationalis, Series Posterior eligenda est, modo sit x magnitudinis usque adeo contemnendae quae essiciat Seriem celerrime convergentem ; hac enim ratione e Vitatur extractio Radicis quadra in . Insuper si sit xi i, necessse habemus recurrere ad secundam, quoniam in illo casu evanescit quantitas Vi xx, in quam prima multiplicatur.
De Seriebus quae celerius conTergrent.
Ubi quantitas indeterminata, crescente ea quae desideratur, cito eVadit praegrandis, & tandem infinite manna; Termini Seriei ex illaCOm Possitae erunt alternatim negativi & amrmativi, & approximabunt lentius quam ubi inde terminata ultra data in magnitudinem crescere nequit. Ut si quaeratur Area vel Arcus circularis, melius est adhibere S, num rectum Pu nequi esse major Radio, quam Tangentem quae cito excrescit in immensam longitudinem ; ut olim observavit M tonus. Et e contra praeferendae sunt Tangentes in Hyperbola, utpote quae datam magnitudinem superare nequeunt, sed continentur intra determinatos limites, eosque satis arctos. Sed quae hic Viximus, non impediunt quo minus Area vel Arcus, magnitudinis medioclis vel contemnendae, possit exquiri prout cuique visum fuerit: nam differentia tantum est notabilis in iis casibus in quibus quantitates quaesitae sunt 3nagnae. Atque Series quarum Termini sunt per vices negativi & amrmativi sunt magis tractabiles quam alterae, ubi de Summatione agitur. Quae autem hic dicta sunt de Curvis binomialibus, obtinent quoque inii; superiorum nominum. Verum quidem est Series celeriter convergentes multifariam inveniri 1 6sse, adhibita Methodo differentiali Ne tomana. Sed quo magis convergunt eo magis solent esse compositae: quaPropter Praefero simplicio, res et sanasi lentius Convergςntes.
25쪽
Per Summam successivam intelligo quantitatem quae succedit Summae omnium Terminorum, quando Termini subsequentes deveniunt in loea antecedentium. Ut si Summa sit I 'T T in T 'Ti' Tu es S e. scribe Terminos posteriores pro prioribus, & habebis Summam succes suam T T -b T ' H- Tiv Tu &c. in qua denuo si substituantur Termini Consequentes pro antecedentibus, proveniet Summa T -T ' φT, 'T' - Tyi &c. quae succedit novissimae; & sic deinceps. Hinc fi S, S , S , S , &c. denotent Summas successivas, erunt
Hic locuti sumus de Summis Terminorum omnium in infinitum, quae incipiunt ad datum quemvis Terminum; nam quicunque Terminus sit T, S erit Summa ejus & omnium sequentium, item S erit Summa ip sus T & omnium reliquorum. Haec quidem obtinent ubi agitur de
Summa Terminorum numero infinitorum : Attamen ubi agitur de Summa Terminorum quorum numerus est finitus, S erit Summa Terminorum omnium ab initio ad datum quemvis Terminum T, & S erit Summa eorundem Terminorum dempto T, atque S erit Summa eorundem demptis duobus T, T', & sic in reliquis.
Hinc in Summatione Terminorum a dato quovis Termino ad infinitum, si et sit longitudo Abscisibi quae correspondit Summae S; tum P I, ZΦa, ΣΦ 3, &c. erunt longitudines ejusdem respective correlpondentes Summis successivis S , S , S , &c. Et e contra in Sum matione
26쪽
matione Terminorum a dato quovis usque ad initium Series, longitudines z-I, Z-2, Σ-3, &c. respondebunt Summis S, S , S , &c. dummodo ipsi S respondeat Abscissa z. Nam in primo casu distantiae Summarum ab initio perpetuo increscunt incremento Abscissae, decresse Cuntque eodem decremento in posteriore. Sit S S Curva quaevis cujus Asymptotos est a b, eique parallela Abscissa AB. Dividatur Abscissa in partes innumeras inter se aequales AB, BC, CD, &c. Et a punctis divisionum A, B, C, D, &c. erigantur Perpendicula' ad Asymptoton, decussantia Curvam in punctis S, S , S , &c. Asymptoton vero in a, b, c, &c. A punctis S, S , S ', &c. ad Ordinatas proxime antecedentes ducantur πιι, S 3, S γ, S/υ, . parallelae Abscissae; adeo ut Ses, S S γ, S it, &c. sint differentiae ordinatarum tam earum quae extenduntur a Curva ad Asymptoton, quam illarum quae a Curva ad Abscissam porriguntur. Igitur Ordinatae interceptae inter Curvam & Asymptoton exponent Summas, & disserentiae pergendo ab iisdem in infinitum exponent Terminos. Hoc est, ust Si' designet Summam, succedentes erunt f SV, g Sy', qua rum differentiae a Si , ζ SV, 8S'i, &c. in infinitum sunt Termini quorum Summa est e Si'. Et similiter si ESi , DS , CS , &c. designent Summas successivas, quarum prima est E Si', differentiae antecedentes δ S' , γ S , &c. exponent Terminos numero finitos pergentes
ab Ordinata ES, usque ad initium Seriei. Summatio igitur Serierum
27쪽
reducitur ad inventionem ordinatarum ex datis earum Differentiis. Sed notandum oportere Summam ultimam esse nihil in utroque casu; quod semper siet quando Curva transit per punctum A in Abscissa. &simul habet ab pro Asymptoto. Haec cautio adhibenda est ut Summae investigandae per methodos tradendas, sint verae, correctione minime indigentes, ut saepissime fit in quadratura Curvarum.
Sy Termini at oujus Serie, formentur scribendo numeros X, 2, 3, 4, J, NC, pro Z, in ruantitate A Bκ φ
rum Summa Terminorum ab initio quorum numerus
Ubi notandum est quantitatem Σ - I duci in totam Seriem quae eam immediate sequitur. Propositio autem sic demonstratur. Finge Sum
Dein scribe valores variabilium succedentes Pro Presentibus; hoc est S-T pro S; &z I pro z; atque obtinebis S T O A TH
Termini ut in Propositione, Summa erit ea quM assignata est. Insuper haec Summa evadit nihil quando est a nihil: adeoque constat Theorema. Q E. D. EXEΜPLUM LDetur Series numerorum naturalium I, 2, 3, 4, g, &c. hi sormantur scribendo I, 2, 3, &c. Pro z, in ipsa quantitate et, quam itaque comparans cum Termino in Theoremate, erit A i o, Bra I, 9 C, D, E, & sequentes nihil; quibus valoribus substitutis prodit Summa α-h i in Z et, sive
28쪽
propositae quot sunt unitates in z. Ut si sit zm 6, proveniet pro summa primorum sex Terminorum. EXEMPLUΜ II.
Detur iam Series numerorum im Parium I, 3, 5, 7, 9, &C. bimantur scribendo 1, 2, 3, 6, &C. in Quantitare Z-I id est, - IH o, quae comparata cum Valore Term mi generali, dat A I, C, D, E, &c. nihil; quibus scriptis in Summa, emergit Z ri αm iin Vel zz Pro aggregato tot Terminorum quot numerat T. Atque a quidem se res habet in casu praesente, nam Summae successi-Vae sunt Quadrata numerorum naturalium.
Ex EMPLUM III. Summanda sit Series Quadratorum X, q, 9, 6, 5,. 36, 9,sormantur ex Pressione d z. Per ea quae In Introduci One - P squantitas TZ reducta ad formam Theorematis, evadit TH-z.α-i s
I O, quod est aggregat una septem Terminorum.
Proponantur nunc Quadrata numerorum imparium I, 9, 25, 49, 8l , Ia I, I 69, &c. eadem firmantur scribendo I, 2, 3 Α, &' successive in exDressione I 4zz- 4T, quae sic scripta I '4z - - Ι, 5't A, I, B m. O, C m 4, D, E, &c. nihil: & hisce substitutis, prodit Summa
EXEMPLUM V. Si dentur Cubi I, 8, 27, 64, I 25, 216, &c. quos assignat et , redo itur et 3 ad debitam sor mam z - 3T.α- i i .e 1, eritque A o, BGI, C 3, D m I, reliquaeque erunt nihil; & propterea
29쪽
cst Summa ia 4. Σ - - - α πι - - d. α - i. 4T , quae 'conginnata evadit - κ Σ- 3 . Et hinc constat Summas horum Cuborum esse
Quadrata numerorum I, , , 6, IO, I 5, &c. scilicet Triangularium. Sc II OLI O N. Hujusmodi Series facilius summantur per Terminorum Disterentias :designent enim A, Aa, A3, &c. Seriem suminandam ; collige Terminorum differentias primas B, Ba, B3, &c. secundas C, Ca, C3, &c. tertias D, Da, &c. & sic porro usque dum perventum fuerit ad ultimam quae hic est E: & Summa Terminorum cujus numerus est z, erit
tum C m Ba - B, &c. Hujus autem demonstratio pendet ex methodo disserentiali Neisto Ea Id. Proponantur Series I, - I, O, 8, 27, 6 I, II 4, 119, &c. & collectis dinferentiis ad modum supra expositum, invenietur A I, B πι- 2, C 3, D m ψ, reliquae autem nihil sunt, adeoque evadit summa - I, O, 8, 27, 6Ι, ΙΙ , I9O,-a, i, 8, I9, 34, 53, 76, 3, 7, ΙΙ, Ι5, 23, 4, ς, 4, 4, η,
30쪽
Si Termini cujuscunque Series formentur scribendo numeros quo is unitate Heterentes in ruantitate
era. Summa omnium Terminorum in in nitum, incipiens ad datum quemlibet Term num erit
Tum scribe valores ipsorum S Sc z, consequentes Pro antecedentibus,hOC est S T Pro S, ω ΣΗ- x Pro χ, qtaoniam jam agitur de Termi
contra si detur hic Terminus, Summa erit ea quae in Propositione assignatur. E. D.
. A ' . - .ctor residuus et, erit ' Summa omnium Terminorum.