장음표시 사용
41쪽
EXEMPLUM LSit AEquatio ad Summas, , S S'; pro S substitue suum valorem S -T, ac evadet AEquatio T S T; in qua scribe valores variabilium succedentes pro antecedentibus, id est, S-T pro S, T pro T, & zφr pro z; atque prodibit S - TH aT DPΠ're --i S T subducito, & manebit T ZT :quae est AEquatio ad I erminos Seriei. Ex EMPLUM II. Proponatur AEquatio ad Summas S κ φ a S κsubstitue S T pro S , ac invenies S-- TX- dein juxta methodum differentialem scribe S-T Pro S, T pro T, &z-b I
Iuvenire Series quo vis summabiles.
Equatio ad Summas dabit Summam Terminorum, ea vero ad Terminos dabit Seriem; Prior pro libi u δssumitur, re ex ea deducitur
posterior per Propositionem superiorem: habentur ergo Termini es yVmqVst Summa. E. I. G ς mini, e Ex EMPLUM LSit AEquatio ad Summas S - S , ut in Exemplo primo Propositionis praecedentis; invenies eam ad Terminos esse Tmis Tin QT AEquatio autem ad Summas, substituendo S I pro S , dabit Sum-
S .i Designent jam A, B, C, D, &c. Terminos hujus Seriei, & in AEquatione ad eosdem scribe, m, mi I, 1nia, &c.
42쪽
Recessive pro z, existente m numero quocunque integro vel fracto, negativo vel assirmativo ; atque prodibunt relationes I erminorum,m-n m -n in I in m - η φ a s m 'tri 3 i,
&c. Tum in AEquatione S i T, scribe primum Terminum Se.riei, id est, A pro T, & Primum Volorem ipsius et, id est, m pro Σ;
Ubi patet Terminos esse assignabiles; id quod semper eveniet quandon est numerus integer: tot vero erunt factores in Denominatoribus, quot sunt unitates in n. Sic in praesente Exemplo, est nm 2, & propter id sunt duo factores in Denominatoribus L erminorum.
Nunc autem constat Terminos non esse assignabiles, quoniam n est numerus fractus. Notandum Seriem abrumpere & esse numero Terminorum finitam quotiescunque est m -n nihil vel integer & negativus. Atque si n- I sit nihil vel numerus negativus valor Seriei erit infinite magnus : ut constat ex valore Summae, nempe ExEMPLUM
43쪽
lent dissicultates consimiles, quae hie sunt .ho - PQ .'D in im
h Tirmidi sentia progressione Geometrica continua anhies ad Instatuentes ut unitas ad x. In Summatione hujus serie nV e mus i*x φ α' φ xyl&c. quod quidςm verum est ubi is
est .minor unitate; attamen si sit major unitate, hVC Series erit infinitem gna, atque Summa 7 , non amplius erit Summa horum Termianorum; sed mutato signo, aequabitur Seriei ad alteras partes excur
44쪽
si x sit unitas, Summa erit -- , & inde utraque pars Seriei erit infinite magna, utpote aequalis unitati infinities sumptae. Ad eundem modum si AEquatio ad Seriem sit E is T m et T , & Series continuetur ex utraque Parte in infinitum; una pars converget &
altera diverget praeterquam ubi est n Ι ; & Summa - T sem Per aequabitur parti Seriei convergenti. Haud secus in Quadraturis, si et ' sit ordinata Curvae Hyperbolicae, fluens T ' ha ' exprimet partem Areae ad has aut illas Ordinatae partes jacentem prout n est minor.aut major unitate: ubi tamen n est unitas, Area ex utraque parte ordinatae crit infinite magna, ut in Hyperbola Apollonii. Series quidem, etiamsi quantitates quae per eas quaeruntur sint finitae magnitudinis, saepissime solent di vergendo evadere infinite magnae, in illis autem casibus continuatae in alteras Partes nonnunquam Cola; er-Lunt & aequantur Radicibus quaesitis, vel ab iisdem disterunt quanti
tate determinata. Nonnunquam etiam utrinque Continuatae divergunt:
saepius etiam ad utrasque partes nequeunt excurrere in infinitum propter Terminos impossibiles vel infinite parvos. Insuper sicut Areae Curvarum nunc augendae nunc minuendae sunt datis quantitatibus, ut evadant verae; ita etiam Summae per hanc Propositionem inventae nonnunquam disserunt a veris, quo in casu corrigendae sunt additione vel ablatione quantitatis datae. Scilicet ubi AEquatio ad Summas talis est qualis emcit eariam Ditimam esse quantitatem magnitudinis finitae vel infinite magnae, semper opus est corre ctione: monstrabo igitur in sequente Propositione, qua ratione assumenda sit AEquatio quae semper efficiet ultimam esse nihil; eoque pacto
summa inventa erit vera, nec augenda neque minuenda, ut hactenus monstratum est.
rit sinitae magnitudinis in eo cosu solo, ubi est m- 1, et simul a C.
Ad hanc Propositionem demonstrandam, sciendum est Summam Sinuestigari pos e ex aequatione definiente relationem inter eam ejusque L valorem
45쪽
valorem successivum S, eodem sere modo ac quantitas Fluxionalis ex tua AEquatione. Illum in finem assumenda est pro S Series huiussormae, ae . . B C D
ubi n, p, A, B, C, D, &c. sunt quantitates invariabiles. In casu autem Praetente ubi Summa quaesita est omnium ultima, adeoque ad distantiam antinitam remota ; erit et etiam infinite magna, utpote quae Vel aequalis eli illi distantiae vel ab eadem differt quantitate finita: hac de causa 1erm mi Seriei posteriores sunt infinite minores prioribus. Igitur ad abbreviandum computum, rejicio omnes post primum, utpote qua: in hac demonstratione sunt inutiles: sic habeo S i in qua scribendo S pro S, Se pro Σ; obtineo S --Hosce Valores rsubstitue pro S & S in AEquatione ad Summas, vel quod eodem redit, in hac SXEH- a m m S Xα ι, membris reliquis ob rationes supra eXpositas neglectis , & resultabit - --N Vel d en-
& Summa fiet -: est vero I, & 1' m I, etiamsi et sit infinite magna; atque adeo ultima Summarum est finita, quippe aequalis quantitati A ubi est m- 1, & simul aoc: alius autem non datur casus
an quo est quantitas finita ubi et est infinite magna. Constat igitur Propositio.
46쪽
COROLLARIUM. Si m sit minor unitate, ultima Summa erit infinite magna; & infinite parva ubi m est major unitate. Et si m sit unitas, Summa illa erit infinite magna Vel Parva prout a est major aut minor c. Igitur in AEquatione ad Summas si ni sit major unitate, vel unitati sequalis o simul a minor c; ultima Summa semper erit nihil & nulla Correeti- One opus erit. Ex EMPLUM.
Sit Summa prima A i, secunda B - A, tertia Crata B, quarta D α: C, quinta E : D, &c. Atque AEquatio ad easdem erit SV α ρα m S XA- ; quae collata cum AEquatione generali, dat
m z I, si . I, c I; & inde a cmo; unde per hanc Propolitio nem ultima Summarum, id est factum sub omnibus numeris
i κl κ κ κῖκα κ &c. in infinitum, est quantitas finita. In AEquatione ad Summas substitue S -T pro S, & invenies S m- T NIVE, quae quoniam prodit negativa respectu ipsius T , exhibet Summam Terminorum non a dato Termino usque in infinitum, sed a dato Termino usque ad PrinciPium SQriqi Quod ut clarius pateat, proponantur dux AEquationes SQ ΣααS, CSa S utravis harum dabit eandem AEquationem ad Termi
nos, scilicet Tz:αν ἴ- . Ex priore tamen deducitur Sm TXO i,& ex posteriore S m T in I. In primo casu S est Summa Terminorum ab initio usque ad T; & in secundo S est Summa ipsius T &omnium sequentium in infinitum. In AEquatione ad Terminos scribantur numeri I, 2, 3, , &c. successive pro I, & usurpetur Ξ Pro Primo Termino; atque prodibit Series
47쪽
quatuor utique Terminis initialibus. At si vis Summam omnium omnino Terminorum, praeter illos quatuor, scribe 5 pro et, & - pro T, in I T valore ipsius S posteriore; ac habebis m -
ri' &c. Et hi duo valores ipsius S simul additi, hoc
est, Summa numerorum & - conficit --- α I pro Ualore Omni-
5 5 5um omnino Terminorum ab initio usque ad infinitum.
PROPOSITIO VII. S, AEquatio ad Seriem sit E n Τ Φ m I erit
Finge Summam S aequalem esse Termino T ducto in quantitatem 1, hoc est S - Υ γ ι dein scribe valores indeterminatarum posteriores
S T, T , M pro prioribus S, T, & 3 respective, atque habebitur S T i Τ es; quae ablata de priore S m T , relinquit T m T T s, unde est T ra TY -. Sed per AEquationem ad Seriem sci
invicem duos ipsius T' valores, erit T X
48쪽
Ubi ponendo membra homologa aequalia nihilo, habebitur ' di ,
dabitur valor Radicis 3, quae denique ducta in T exhibebit pro S, Seriem in Propositione exhibitam. E. D. Corollarium. Si n sit numerus integer & negativus, vel nihil , valor Ipsius S abrumpet, existente Serie luminabili. Et ubi m est negativus,
Series erit infinite magna. Hic autem excipio casum in quo est m O, tum enim Series summabitur Pur Exemplum primum Propositionis quintae.
Proponatur Series summanda -- Α - Β E &c. AEquatio eam definiens est z-- T- 2 et V m o, ubi valores successivi ipsiua Z sunt 1 -, 2 3 4 &c. & illa collata cum . AEquatione generali dat π , m-1 - 2, sive I; quibuς substitutis, oritur
49쪽
In qua si substituatur quilibet Terminus pro T, & pro et valor suus correspondens, erit S Summa ipsius T dc Terminorum omnium sequentiu in usque in infinitum. Colligo itaque duodecem Terminos initiales; eorumque aggregatum emergit .785339618 II. Dein ut obtineam Summam reliquorum, scribo Terminum decimum tertium, id est,
.OOOO3O29 II Pro T, & Pro et valorem suum debitum 13 , atque habeo
27 29 3i 33 35 Ubi Termini prodeunt alternatim negativi & assirmativi, hosce dispo
rum .ooOO6o82899, habeo S m .OCOO 85 526, quae adjecta Summaninitialium exhibet . 7853o8i6339 pro valore Seriei propositae, id est,
50쪽
Collige nunc decem Terminos initiales Seriei trant mutandae, eorumque summam reperies fore .6i6867o65 . Deinde ut habeatur Summa reliquorum; in valore ipsius S scribe Terminum decimum primum, id est, . Ι76 I97o52O pro T & II pro z; atque prodibit
Omnis Series cujus Termini sunt per Vices neg ' S in . o9o2397I56
tivi Sc assirmativi, si transmutetur Per hanc Pro-Positionem, migrabit in aliam celerius convergentem Crius Termini
sunt ejusdem signi. Et e contra omnis Series cujus Termini sunt ejusdem signi. abibit in aliam cujus Termini sunt alternatim negatiVi& assirmativi ; quae tamen non converget celerius priore Praeterquam ubi Transmutatio inchoatur a Terminis ab initio satis remotis. Et si Series transmutetur, & rursus transmutetur ea quae ex prima Transmutatione Prodiit, emerget ea prius proposita. Exempli gratia si Series
L B U- - C- -- D &c. dein si novissima transmutetur emerget pri-5 7 9 ma I - - - - &c. hoc est, transfert Seriem de Tangente ad 3 5 7
Sinum, Vel de Sinu ad Tangentem. Sed in hisce casibus debet Operatio ordiri ad primum Terminum Seriei, nempe ubi agitur se 1 ranis mutatione totius. PROPO