장음표시 사용
31쪽
timum Factorem etia, & restabit quae divisa per a , numerum
utique Factorum qui relinquuntur, eXhibet E i Pro Summ . CSimiliter si ex Termino ex quatuor Factoribus coim flato, rejiciatur ultimus et Φ 3, & residuum dividatur per 3, obtine
Si Terminus sit -, rejice Factorem et, & quoniam nullius restat, divide A per Nihil, & habebis pro Summa Quantitatem infinite magnam, uti notum est. Et hac de re Primus quod sciam egit D. Ta3lor in Methodo Incrementorum. Eadem etiam fusius & elegantissime traditur a D. Nicol in Actis Academiae Regiae Parisiensis. Corollarium a. Per ea quae hac super materia habentur in Introductione, constat Terininum quemPiam - - s l 'Me roso vi semper posse ita Terminos duos sorte aut Plures summabiles & nume ro finitos, quando a, b, c, &c. sunt numeri integri ; in illo igitur eas u
do a, b, c, d, &c. sint integri, & numerus Factorum in Denominatore, ad minimum binario excedat altissimum ipsus et dimensionem in Numeratore. Sed excipio casus in quibus duo aut plures Factores in De nominatore sibi invicem sequantur; in illis Series non sunt summabiles. EXEMPLUM
32쪽
Ex EMPLUM T. Proponatur Series summ*ndR T. H, T. I O. Ι3- - Φ - &c. Termini hujus Seriei assignantur quanti-
Nam in eadem scribendo pro et Valorem suum primum φ, prodibit Apro Summa totius Seriei. Si scribatur pro et valor suus secundus I - , Prodibit Gi pro Summa totius Seriei dempto primo Termino. Si pro et scribatur valor suus tertius et , prodibito pro Summa totius Seriei demptis primis duobus Terminis. Et sic in infinitum.
ni hujus assignantur quantitate , in qua oportet scribi I, 2, 3,
4, &c. successive Pro m. Quantitas autem se reducitur in tres Ter
ma unitatem Pro et, & obtinebis in, id est pro valore Series propositae.
ubi Numeratores sunt Quadrata numerorum naturalium γH Terminus
33쪽
Terminus quilibet in genere assignabitur eXP sit Πζ I 1 2 Fat existentibus 2, 3, 4, 5, &c. Valoribus in determinatae successivis. Et quantitas illa resolvitur in tres Terminos summabiles scillaet--
3z. TUI. z-l-a' h*ς ςst 6.α - i ta i, qu si substituas a pro z, habebis ci pro valore Seriei. Ex EMPLUM IV.
Positia jam I, 2, 3, 4, 5 . &c. valoribus ipsius et successivis, Termini
venit Vicecomes Brounker pro Quadratura Hyperbolae ; Terminus qui Vis in genere assignatur per expressionem Πτ, ubi valores iPsius T
sunt II, 2ἱ, 3z, dcc. Et quantitas reducta ad sormam summabulem evadit
34쪽
rum est numerus fractus in expressione assignante Terminos; noc utique indicium est Seriem non esse summabilem. Regrediendo autem a Termino ad Summam, habebitur
Pro Z substituatur primus ejus valor , habebitur Valor totius Serieitum mδndar: si pro et substituatur ejus valor secundus,' proveniet Sum
Valor tertius, proveniet Summa omnium' eXceptis Primis duobus, re sic porro. Substituo igitur pro et valorem suum decimum quartum Iet' ut et sit satis magna ad emciendum Seriem celeriter convergere;
35쪽
Eoque pacto obtineo .OI 886I 2I9 pro Summa Terminorum omnium post decimum tertium; haec denique adjecta aggregato initialium prius invento, conficit .693I47I8o pro Valore Seriei summandae, id est, pro Logarithmo Hyperbolico binarii. Quo plures Termini sub initio colliguntur, eo citius converget Series
quae dat Summam reliquorum, propter et tanto majorem. Atque hujus methodi praestantia in eo maxime enitet quod addendo Terminos aggregato initialium, et tot unitatibus augeatur, qua ratione Series tran1- mutata ad libitum fere converget. Quod autem in praxi impossibile sit assequi Summas harum Serierum Per meram Collectionem Terminorum, patebit ex computo sequente; ubi habetur Summa centum, mille, decies mille, & sic Porro usque ad decies millies centena millia Terminorum.
Ex hoc calculo constat centum Terminos dare Summam accuratam ad duas figuras; & gradatim decuplum Terminorum numerum colligen do, lucrari praeterpropter unam tantummodo figuram: adeo ut si quis vellet eruere valorem hujus Seriei accuratum ad novem figurarum loca, nulla arte adhibita praeter additionem, requirerentur circiter decies In illies centena millia Terminorum. Et haec Series convergit longe celerius quam aliae quamplurimae, quarum Valorea sunt Quantitates finitae.
Ex EMPLUM ULSummanda sit Series ubi Denominatores sunt Quadrata numerorum I, 2, 3, 4, &c. & Terminus in genere Ees : reductus in formam summabilem, evadit Ergo Summa m
36쪽
pro et substituatur ejus valor decimus tertius I 3, habebitur Summa omnium Terminorum in Serie summanda post decimum secundum ; quo
, siΓΦ φ ΓΦ c. Computus autem sic is habet
- -&C. quae adjecta aggregato duodecim initialium, sive I.56 976638, 225 conficit I.64 934o65 pro valore totius Seriei 1-bia Convergit aulcm haec Series minus celeriter ea Breuntiri in Exemplo priore.
37쪽
Si Termini cujusvis Seriei formentur scribendo nummos quoslibet uuitate disserentes stro a in antitate
tec dentibus S & et respective, atque habebi, P
quae reducta ad formam ipsius S, evadit S T in x st' in
38쪽
Subducito nunc valorem ipsius S -T a valore ipsius S, & relinquetur Terminus
Hic denique valor ipsius T collatus cum illo in Propositione, dat Ai xina, B ι - x -b A X b, Ci-x-ba Bac me, & ita porro. Quae AEquationes exhibent Valores Coefficientium ut supra. Quare valor Summae recte assignatur. Qin. D. EXEMPLUM LSummanda sit Series 1 es 7 t I' - - Fry --- t' H-&c. AEquatio ad eandem est T in se, nam scribendo . I , 2 -, a -,&c. successive pro et, provenient Termini Seriei. Comparando autem
Ubi A, B, C, D, &c. jam designant totos Terminos more Newtoniano,& non amplius Coessicientes. Et unitas cum signo ambiguo in quam tota Series multiplicatur, erit assirmativa ubi Σ - est numerus par,& negativa ubi est impar. Collige jam duodecem Terminos initiales, vel quod perinde est, sex in hac Serie -- l- l- ω I . 3 5 . 7 - .conjunctis
39쪽
conjunctis binis quibusque in priore: eorumque Summam reperies. 646oo69 15. Dein scribe Pro Q ejus valorem decimum tertium I 2-,& obtinebis
etenim Termini dant S- .O2O79747 19 ut ex computo apposito liquet: & eadem adjecta aggregato initialium, ProWnit .785398163 4 pro valore Seriei summandae: ad quem tamen nunquam Pervenire liceret Per additionem Terminorum. Atque colligendo plures initiales, valor ipsius S longe celerius approximabit. Hujus itaque Propositionis ope, Circumferentia circuli produci potest minimo labore ad figuras quam plurimas, Per Seriem hancce utcunque lente convergentem ; id quod olim multum desiderabat Leibnitius. Q Periseria circuli obtinebitur quoque accuratissim6 ς ἶς79767 9 per Seriem Newtoni'sequentem I -- - - - - α δ G - - ubi Termini quique bini sunt alternatim negativi & amrma tivi. Idem etiam essicitur per hancce I - - - - Z o L
merorum naturalium, demPxo quoqu* ζζζΠλ Prior amuatur Quartadi& posterior tertiae totius Circumferentiae parti. o. 'i'
horum Arcuum Chordae sint unitδt Priusquam laicen tractentu, per hanc Propositionem, dis*ζαἰζR : LRx utraeque in duas; prior in
40쪽
Dein harum quatuor unaquaeque seorsim consideranda est, & operatio instituenda ut in Exemplo superiore. Ex EMPLUM II.
- ω Cujus Seriei progressio cuivis patet. Et ubi datur valor ipsius x in Casu quovis particulari, dabitur Summa pro libitu accurata; primo scilicet addendo numerum sufficientem Terminorum initialium, eo fine ut et sit satis magna ad emciendum Valorem ipsius S celeriter convergere Et hisce praemissis de Seriebus quarum Termini sunt assignabiles, pergendum est ad eas quae determinantur per relationem Terminorum.
PRO Pos ITIO IV. Data relatione inter Summas successuas, invenire eam quae es inter Terminos.
In AEquatione definiente relationem inter Summas, substitue pro S S , S' &c. suos Valores proprios S T, S-T-T , S -T T &c. & sic habebis AEquationem involventem Summam unicam S; in qua scribe valores variabilium consequentes Pro antecedentibus, & ha hebis AEquationem novam involventem Summam illam S: ope' harum denique AEquationum eliminetur S, & ea quae resultat monstrabit relationem Terminorum. Q. E. I.