장음표시 사용
111쪽
PROPOsITIO XX. Detur Series ordinatarum quid antium utrinque excurrens in infinitum, oporteat invenire Lineam Parabolicam quae transbit per extremitates omnium. Casus primus.
Designet a ordinatam in medio omnium, sintque ua, σέ, a6, a8, &c. eae ex una parte ; & 2a, 4a, 6a, 8a, &C. eae ex altera ; pergente Pro gressione utrinque in infinitum. Collige earum differentias primas 7 B, 5B, 3B, IB. Bi, B3, B5, B7 i secundas, b, 2b, ba, b , ἷ6; tertias 5 C, 3C, IC, CI, C3, C5 ; quartas 4c, ac, c, ca, c4; & sic Porr in reliquis, auferendo semper antecedentes de consequentibus ut in Propositione superiore.
Sint jam o, b, e, d, e, &c. Ordinata media & differentiae in ordinibus alaterois respective. Sintque I B & BI, IC & Ci, i D & Di, IE & Et dic. duae mediae differentiae in reliquia ordinibus , & ponantur
112쪽
Ubi notandum est Abscissam et esse negativam quando Ordinata Quae- illa I Jacet ad contrarias partes Ordinatae media . 'Casus Mecundus.
ζ lic cleinceps; subducendo ubique priores de posterioribus
113쪽
Excerpe Manc disserentias medias a, b, c, d, e, &c. ut & duas medias in aliis ordinibus, scilicet i A & AI, 1 B & Bi, IC & Ci, ID & DI, aE & Ei, &c.,& ponantur A m IAH-AI, B IBA BI, Cit C Ci, D in 1D - - Di, Em iE Ei, &c. sit vero O punctum in medio inter ordinatas duas medias I A & AI. Et cujusvis Ordinatae T distantia a medio puncto, nempe O T sit ad intervallum commune aequidistantium ut et ad Binarium: Eritque A aet
Et in hoc quoque casueta est assirmativa quando T jacet ad easdem partes puncti medii' O ac in Schemate, & negativa quando jacet ad
Contrarias. Uterque autem casus facillime demonstratur ad modum Propositionis superioris.
Dentudi quinque ordinatae -3, -8, I, 12, 37, Per quarum extremitates ducenda sit Parabola. Quaere earum differentias Primas 5, 9, II, 25; -3 -8 I 12 et secundas I , 2, 14; tertias - 12, Ia ;& ultimam et . Dein quoniam numerus Ordinatarum est impar, procede per Casum primum. Et inchoando ab Ordinata media, perge ad differentias medias in ordinibus alternis, ponendo a I, ἷ a, c 24 , dein Βα9-IIm2O, C in I 2-baam O. Et hisce substitutis, prodit Ti1
114쪽
bata, quoniam ordinatae sunt partim negativae & partim assirma
Dentur jam sex ordinatae I, 5, IO, IO, 5, tales oportet ducere Parabolam. Quaere earum differentias ut in margine: & 1 quoniam numerus Ordinatarum est par, qadhibeatur Casus secundus. Tum incipiendo ab Ordinatis duabus mediis, &progrediendo ad binas medias differentias, erit Am IOH-IO 2O, B - 55 -IO, C 6 -6 Ia; deinde amo, I Per quarum extremis Io io 5 I5 O -5 -
omo, c o. Quibus valoribus substitutis, erit Tm -- l-
Atque ad probandam operationem, scribe , ---I, I , 3, 5, succes ve Pro T, & eXibunt Ordinatae propositae. Etenim in casu Propositionis secundo, intervallum Commune ordinatatarum, sive, quod perinde est, incrementum Abscissae aequatur Binario.
In hoc Exemplo desunt dignitates Abscissae imparium dimensionum, quoniam ordinatae a principio Abscissae hinc inde aequaliter distantes
sunt ejusdem signi, & inter se sequales. Nam hoc in casu IEquatio ad Parabolam eadem manet, etiamsi mutetur signum Abscissae. Quod si ordinatae propositae fuissent H-I, -5, Η-IO, -IO, 'b5, -I, Vel
H-Ι, Φθ, -IO, -5, - ubi Ordinatae a medio aequalitet remotae sunt etiamnum aequales, at diversis signis affectae; in eo inquam casu defuissent dignitates Abscissae parium dimensionum.
De descriptione Curvae Parabolici generis Per data quotcunque puncta, egerunt plures celebres Geometrae post Ne Imium. Sed om nes eorum solutiones eaedem sunt cum hisce jam exhibitis; quae quidem a Newtonianis Vix discrepant, uti constabit ex Lemmate quinto Libri tertii Principiorum & metbodo D erentiali a D. Pones edita. Moerontis quidem describit Parabolam per data puncta ; adii conssideraverunt assignationem Terminorum ex datis differentiis; sed quocunque modo concipiatur, sub quacunque forma proseratur, idem est Problema. Et sane
115쪽
sene inventio formarum quas habent valores Ordinatae T, est perquam ingeniosa & summo Auctore digna: at postquam habentur formae, investigatio Problematis est facilis, in quam utique nihil aliud requiritur quam resolutio AEquationum simplicium. Sed notandum est sormam ordinatae AH-Bz-b C et Da H- &c. ex potestatibus compositae, quam assumit Newtonus in demonstrando suae methodi fundamento, male huic negotio destinatam esse. Nam valor cujusque Coessicientis prodit in Serie infinita; si quis vero assumserit formas hic usurpatas, incidet minimo labore in conclusiones superiores.
PROPOSITIO XXI. Data Serie Terminorum primariorum invenire interme-
Hos, qui non longe di ant a principio.
Super rectam postione datam ad anglos rectos, & in aequalibus ab invicem distantus erigantur ordinatae respective aequales Terminis primariis ; dein per Propositiones duas superiores quaeratur Linea Parabolica quae transit Per omnium extremitates, & eadem quoque transibit per extremitates intermediorum ; qui itaque dabuntur ex data AEquatione ad Parabolam. E. I. I, EXEMPLUM I.
Interpolanda sit Series i, &c. cujus Te mini producuntur per multiplicationem continuam numerorum I 3 5 74 , ', s , qua re disserentias Terminorum & disserentias disserentiarum, ut sequitur.
116쪽
Quoniam haec Series ex una tantum parte excurrit in infinitum, peragenda est Interpolatio per Propositionem decimam nonam. Et si primus Terminus I adhibeatur pro Ordinata prima, erit A I se
B - -T, C b, D - - , E di, &c. quibus substitutis, Prodit
Ubi jam A, B, C, D, &c. designant Terminos huius Seriei, more Ne toni. Ceterum Terminus quilibet primarius usurpari potest pro Ord nata prima, eritque Am , B -- C D --.
Sed sciendum est et esse distantiam inter 'Terminum quaesitum dc illum qui adhibetur pro Ordinata prima. Ut si Terminus desideratus T stet in medio inter primum & secundum, pone - - pro et in priorζvalore ipsius T; & -- pro eadem in posteriore valore; atque Pro eodem Termino habebis duas Series sequentes
Et quoniam lis Series convergunt quam lentissime, summandae sunt per Theorema in Scholio Propositionis decimae primae. Atque sciendum est valores Terminorum prodire simplicissimos quando Terminus qui consistit proximus intermedio quaesito, adhibetur Pro Ordinata prima. Sed quando Terminus quaesitus longissime distat ab initio, usui venit Propositio decima octava , ut monstrabitur in sequentibus.
117쪽
EXEMPLUM II. Interpolanda sit Series I, I, 2, 6, 24, IaO, 72O, &c. cujus Termini generantur per multiplicationem continuam numerorum I, 2, 3, 4, &c. Quoniam hi Termini increscunt celerrime, eorum differentiae conficient Progressionem divergentem, id quod impedit quo minus Ordinata Parabolae accedat ad veritatem. In hoc igitur & similibus casibus interpolo Logarithmos Terminorum, quorum utique differentiae constituere queunt Seriem celeriter convergentem, etiamsi ipsi Termini increscunt celerrime ut in Exemplo praesente. Propono jam inventionem Termini qui consistit in medio inter duos primos I & I. Et quoniam Logarithmi Terminorum initialium habent differentias lente Convergentes. Primum quaeram Terminum in medio consistentem inter duos ab initio satis remotos, verbi gratia, inter decimum primum 36288Oo & decimum secundum 399168oo: &ex eo dato regrediar ad Terminum quaesitum per Propositionem decimam sextam. Quumque habeantur aliquot Termini consistentes ex utraque parte intermedii qui primo eruendus est, instituo operationem
per Casum secundum Propositionis vigesimae. Etenim ubi computus non est in speciebus, . sed in numeris, procedere licet hac methodo
quotiescunque datur satis amplus Terminorum numerus ex utraque parte Termini quaesiti consistentium, etiamsi ipsa Series interpolanda reapse non excurrat utrinque in infinitum. Excerpo nunc ex Tabula Logarithmos duodecim Terminorum, quorum primus est is Termini sexti IZO; sic ut habeantur sex ante, totidemque post illum qui quaeritur. Dein quoniam Terminus ille desideratus consistit directe in medio omnium, erit in Casu secundo Propositionis vigesimae primae Abscissa amo; & propterea di Terentiae
primar, tertiae, reliquaeque ordinum imparium quae in et multiplicantur, non ingredientur computum; igitur tantummodo colligo differentias
secundas, quartas, ceterasque in Ordinibus paribus ut vides Logarithmi
118쪽
Excerpo jam binos medios Logarithmos, binasque medias differentias eorumque SummaS POno a quales A, B, C, D, &ci respective ut vides
inique qui consistic in medio inter Eminos a6a oo
119쪽
Jam sicuti Termini primarii formantur ducendo primum continue in numeros I, 2, 3, 4, &c. ita per Propositionem decimam sextam, intermedii generantur ducendo intermedium inter primum & secundum in
numerOS I 2 , 3 , - , &c. continue. Verbi gratia productum
& Termino qui consistit in medio inter primum & secundum, aequale est intermedio mox invento II 899 23.o8, cujus utique locus est in medio inter decimum primum & decimum secundum. Igitur sit Terminus ille intermedius dividatur per io & quotus Per 9 & quotus novissimus per 8 & sic porro usque ad divisorem I ; ultimus quotorum aequalis erit Termino in medio inter I & 1. Termini vero in . termedii per divisionem illam prodeuntes sunt
y-.8862269 25 i' - I. 77245385O Unde constat Terminum inter I & I esse . 886226923I ; cuius quadratum est . 7853. . . &c. scilicet Area Circuli cujus Diameter est unitas. Atque illius Termini duplus i. 77 5385oa, scilicet qui consistitantς primum primarium dimidio intervalli communis, aequalis est Radici quadrati numeri 3. I i5926. . . . &c. qui denotat Circumserentiam
120쪽
r cirςumscriptum : & Terminus qui consistit ante primum di. mido intervalli communis erit ad unitatem ut Circumserentia Claculi ad Diametrum. Cererum in sequentibus monstrabitur hujusmodi Series interpolari Posse absque Logarithmis.
EXEMPLUM III. Quadranda sit Curva cujus ordinata est x ' κ Π Scribe or, Z, 3 , &c. successive Pro indice λ, & proveniet Series ordinatarum aequidistantium x 'κ x 'I κ FfF', ω- κ
&c. inter quas Ordinata Proposita Iocum obtinet intervallo λ distantem ab inrtio. Igitur Area quaesita eundem etiam obtinebit locum liuer
rem reducendi Ordinatam in Seriem convergentem ut exinde invenItur fluens. Attamen si Termini in Serie Arearum primo dividantur Per Terminos hvssus Progressionis Geometricae respective, nenam