장음표시 사용
121쪽
Et similiter,si diceret,sunt duo numeri,quorum disserentia est 3 2, 3c quadratum minoris cum quadrato et maioris,& quadrato aggre. gati,aequatur ooo, unc ut priuS operaberis,ducendo numeratoremae denominatorem in sen iungendo, fit diuisor i Ost,deinde duco ;numeratorem in se,& productium in Ia,fit 3 os,divido per roo , ha heo partem minuendam ex I o positionibus,deinde diuido , per 3 o Pos.
. exit ΤΣ, pars addenda 3 positioni. tius, si igitur 3 positiones p: ,ducantur in ,numerus qui producetur, erit 3 a P. quam o res ira: , & talis est
proportio in ad θ' , qualis io ad 3,
& ideo, quia regula haec habent infini. tos modos,uclut si dicamus,stprimi αβ secundi numeri,disserentium per 32,in se duehi addita radice, facisunt 3 oo,tunc qus res eodem modo suam regula, per regulam de modo,quia haec regula est ramus illius, quaerendo numeros disserostes primo in la,quorum unius ita diuidatur,ine rem& numerum, reliquus inet rei & numerum, ita ut producta rerum lint aequalia. Ponendo unum numerum p: alium m. Sc inuenitur per capitulum ' , cum quantitate surda,ut in talibus,Ponam regulam exemplo adium clam,dico quod si quis dicat. Q V AE S TI O MI I. Inuenias duos numeros,quorum differentia sit 34,8 unius in
se duistum,cum alterius in se ducto,& cum in aggregati talium producto.
rum,fiat ir o,dico primo,duc denomi. natores in numeratores uicissim,uidelicet 4 in ι ,& 3 in 1, & productioru quae sunt etiam 4,S iiunge quadrata,habebis as pro diuisore,deinde duc denominatores inuicem, 3 in q,fit ra ,&quod fit in disserentiam quae fuit i , fit 368, hoc ducito in productiam numeratoru, quod suit ι, fit etia i 68, P diuidendo, diuide igitur 3 68,per 2ς, exit ,hoc multiplica in ipsas partes , ut delicet &vhabebis 2- addendum,& r Sminuendum, quia semper ut dieiu est,minor pars numeri,minuitur a maiore, & maior ad
122쪽
rebus,quare sequeris operationem,ut in prioribus. Aliud exempluin regula paru difficili,inuenias duos numeros dimerentes in q, quorum 4 minoris in se ducta,&l maioris in se ducta,& aggregato prooductoru addita radice, fiat a Io,duces igitur in crucem 3 in φ,& in fient s& 8, quorum quadrata --Σssiuncta sunt i s , pro diuisore,simi lirer duces 3 in q, denominatores, fit ar,duc in q, dimerentia numero
rum, fit q8, duc in O,producitum nusmeratorum,fit 288,pro diuidendo,
inde diuisio 288 per i s,exit 'I duc in ε& in partes acceptassis orsum,habebis l. - & np,partes addendas ac minuendas ut prius.
Et similiter dicemus de aggregato,ueluti si dicat,sec ex x o duas partes,quarum una in se ducta,& alterius dimidio in se ducto, & abcepta radice aggregati,totum sit 3 o,dico operaberis per regulam dis fiam,in quaestione prima scilicet,quia est de integris ex una parte, inuenies igit numeros & a, a maiore minues a positione,& minori addes a positiones,& ideo in hoc dimeri a regulis nusmerorum dimerentili, tera paria sunt, & ideo sequendo operatione, habebis rei aestimatione, Rr V: Σ -Α-m: Rr - ,quod est dicere I deo numeri suiu 6&q.
De regula medij. Caput XXXIIII.
Ac sic vocata a me est, quia medium inquiritur, scilicet' proportioΔ quia ad unitatis confusionem uitandam, ponimus partem unam, dimissium unitatis, & est eius usus soluin ad quaerendum quantitates,quae aequaliter multis plicantur,& Proportionem seruant,cum autem eam non sic auerint, usus regulae non est utilis,uerum in duabus quantitatibus solum exisplicaturaee pluribus autem in capitulo 39' dicemus. Patet aur,quod si quis dicat,inuenias duos numeros, quorum quadrata iuncita sintro,&cubi iuncti sint 3o,quod regula haec non seruiet,quia proporatio 3o ad Io, quae est tripla,non seruatur inter cubos & quadratos, P uariaa
123쪽
, HIERONYNr CARDANiuariata quantitate, at regulam ipsam ostendere quemadmodum Nahas per exempla utile fuerit.
Inuenias duos numeros quorum disserentia ducta m quadrato Tum disterentiam faciat 1 o,8c aggregatum illorum in quadratorum sitionem, alium ldeinde inuenies
disterentiam , & ggregatum, &quadrata Partiu,& disterentia quadratorum, & ag gregatum, ut in margine,inde ducito disterentiam Parcium in disseis renciam quadra torum. & habe.
m: quadrato m: positionis,& hoc debet esse dimidium producti aggregatorum numerorum scilicet acquadratorum,quia ro in dimidium ao,igitur erit dimidium p:ι cubop:a quadrato p: .positionis,quare .p: a cubiS m: quadratom: bpontione,squatur P: a cu p: l quadrato p: politionis,igitur reddendo partes m: ad P: erit ut v P: cubo,aequetur quadrato p:ἰ positionis,quare diuisis pax tibias,ad faciliorem Operationem,quae semper poterunt diuidi,habeo bimus ra-positionis, ualem a quadrato m:-tpositione p: O diui sor,nam coponitur ex partibus ab initio sumptis,scilicet x positi ne &l,quare quadratum p: aequabitur a positionibus,& res erita p: Rr ,sunt igitur quantitates in proportione I P: Iud-,S 'T,quar in proportione a priu 3,& ι . Iterum igitur quaeramus duas quantitates in hac proportione,quarum aggregatum in aggregatum quadra
torum ductum, faciat 2o, nam tales necdinario habebunt etiam reli. quam conditionem, ponemusigis tur unam illarum rem,aliam res a
124쪽
exibit e na:Rr ς 2 τ cuius in cubita erit numerus minor quaesitus, maior autem habebitur,ducto minore in a p:Rr 3,quare numeri quaesiti erunt, Primus M v:cubica γ π-mm stri Secundus Rrv:cubica 39ς m:nt 3sq; et p. Rr 3Io sm:N 3 sto
Inuenias duos numeros,quoru differentia ducta in disserentiam borum,producat ν o ,& aggregatum in aggregatum cuborum conNumeri r pos. Disserentia numer 3 pos. m: Aggregatu numero. pos pοῦ Cubi 1 cub.
Disserentia cuborum 1 cub. m: Aggregatum cuboru cub. p: Produc. aggregatorum
stituat 3o, hac in quaestione, procedes ut in praecedenti ierum mnes partes a positio. nem Sc r, ad facilitatem maolorem,& sequeris ut in praecedenti, donec ueneris ad 3 qd'qdratum p:r ,aequale a cubis pra positionibus, igitur habeo quino quantitates cocionue proportionales, quarum
aggregatum primae 8c qui tae,est duplum aggregato sotundae & quartae, igitur per
capitulum quino quantitatu continue proportionalium, quaero proportionem,assumendo puta a& q, quorum est duplus
ineri,& faciendo de primam & quintam, & de a secundam & quartam,igitur talis proportio erit ut Pp: N: P:Rr V:N 64 m. 2 p:m V: Rel m: l,ad unitatem,pones igitur denuo res sub his nil meris,uidelicet I rem,&resip: Rr lp: in v:insem: a 4 p:m v: Τ m: l inde ducito adcubum partes per regulas tertii libri,quod non disticile fiet, inde duisces res Rr: p: Rr urat WNlme,disterentiam scilicet numerorum in disserentiam cusorum,qus habetur detracto a cubo,excubo dicti iam compositi ex quatuor nominibus, Sc productu aequaobitur Io, diuides ro per tale productum & eius quod exit Ri'Rr, erit
Inuenias duos numeros quorum relati primi iuncti faciant ro,& ggres
125쪽
HIERONYMI CARDANI aggregatum cuborum in aggregatum quadratorum ductum , faciat 3 pos.
pones ut in praecedente,Partes, I positionem& ε, Κ relati primi earum,sunt Ap R &r,&productum aggregati quadratorum in aggre, gatum cuborum est,r P ' R p 3 cubo p:r quadrato p: ι,8c hoc se habet ad 3 P R p: i . ut asad ro,ia ut ς ad 4,igitiir per regulam quantitarum proportionaliu, ductio a P R P: cubo P: i qdrato P: ,Per ψ, fa ciemus quantum ducto I P' R' P: 3, Per s,igitur ψ P' cp:4 cubis,p:ψ qσdratis p: aequantur s P' R' P: , q- re tandem habebimus i p R p: i ,facta detractione, aequasle Acubis p:ψ quadratis,ditiis de partes per positionem p: i id qdrato ira: i cubo P: qua drato m: i positione p: i ,aequalia A quadraris,igitur 3 qdqdratum p:a,aequatur 3 cubo P:3 qdratis P: positione,sunt igitur quinoe quantitates continue proportionales,quarum aggregatum primae & quintae,est gratia exempli io,& aggregatum secunda:& quartae cum tri. Plo tertiae etiam 3 o,igitur nota erit Proportio, Per capitulu ς quali. titatum continue proportionalium erit -3 m: i p:-v: m: β ,& haee
est proportio illarum quantitatum , in secunda igitur positione pones 3 remm res innumero supradicto seu proportione, uel re ductam proportionem,ut in praecedente quaestione, facta dii iis ne per numeratorem,ad relatum ducito,per suam regulam, cui adde i, relatum primum de 3 ,& cu aggregato divide zo,& Rr relata prima, prouentus est numerus minor,inde multiplica ipsum in proporti nem,& proueniet maior,& perficere talem operationem est res quaissi supra humanum laborem,& nisi essent regulae tertri libri,uix omnino possibile foret. De regula aggregati. Caput XXXV.
R E G v L A I. Icut ex praecedente,& regula iterata, proportio ipsa quinritur,sic per hanc habemus aggregatum, Est autem utilis ualde,ubi inter partes nulla supponitur proportio. Nam mediis
126쪽
DE ARiτΗΜετ Ic Aio LiB.l π. ει medium ad quaerendum plures numeros simul,est uel proportio, uel aggregatum,aut disterentia,cum igitur ex praecedente & renula it rata proportio habeatur,cum hac autem & aggregatu de differentia, satis costat, quanto haec illas antecedat interuallo. Vocauimus & h e regulam dupli,quod duas contineat partes,seu duos numeros quaesi
. Inuenias duos numeros,quorum quadrata iuncta sint 2o, prooductum unius in alterum,cum ipsis numeris, fit 3 o,dico quamuis ex
sexto libro selui possit sic per regulam faciemus. Pone aggregatu 1
partes, positionis priu V:ἰ quadrati p:ι positionem: io, di positionism: in V: quadrati p: a
Positione m: r o,horum itaP quadrata iuncta debent esse Σο . 8c quia una pars est Binomium al.
tera recisum respectu et-posuiOis,
sinficiet dii re partes in se,non unam in aliam,ut in libris 3 ' ' & ς' docilimus ideo ductat positio in se,fit. quadrati,& ducta Rr V: lo
m: a duas partes, quarum qdrata iuncta sint ao, & erut per nouam Positionem,uel per regulas capituli de operationibus in sexto libro
Partes quas a latere uides. Q V AESTIO II.' Inuenias duos numeros,qui iuncti faciant tantum,quantum inuicem ducti,& eorum quadrata iuncta sint 2o,si igitur aggregatum estir Positio,productum etiam unius in alterum est I postio,iac ex x positione duas partes,producentes 1 positionem , per regulas capitulide operationibus in sexto libro positas,seu per quintam secundi et mentorum,&erunt partes quas a latere posui,harum igitur quadra ἔ: l Q tali μ
127쪽
qualia 2o , quare res erit Re 2 V , ideo faciemus ex ipsa partes,ut propositum est,cx erunt ut uides. VAES TIO LII. Inuenias duos numeros, quorum multiplicatione producatur
aggreetatum,& quadrata ipsorum cum ipsis numeris faciant ao, ne ut in praecedenti,& habebis aggregatum N ao .p: b, quod est s, &Quia quadrata partium cum ipsis numeris debent aequari ao, igitur quadrata ipsa sola abscν numeris erunt 3s,fac igitur ex ς duas parates,quarum quadrata iuncta sint ι ς,& habebis numeros quos uides memineris autem,quod in prima Oper xi ς,qVδ βψ la λ p: in , . perueneris ad x quadratum m: a Positionibu , prQRg la Am: i 1 gregato quadratorum,ut addas 3 positionem, quod inest aggregatum numerorum,& peruenies ad 3 quadratum m: a Poll
Inuenias duos numeros, qui inuicem ducti producant a grematum,& diuiso Ia per utrum*,quadrata prouenientium iuncta cum aggregato diuidentium faciant 8o,haec O praecedentibus est fratris Lucs quodam scripto quod perierat. Pone aggregatum rem unam eam diuide in partes,producentes rem unam,& habebis partes,ut uis des, cum quibus diuide ret,ut in figura, .
bro docui te,habebis aggregatum quadratorum, cui adde aggrega vim diuidentium, siquidem rem unam habebis, 3Α ἐυ in: isspositionibν
128쪽
igitur ex ira 332m: 3 2,duas partes,producentes Re 3 3 1 a ira: 3 a,& illae erunt numeri quaesiti. Q V K s T I o V. Inuenias duos numeros,quorum quadrata iuncta sintro, &productum unius in alterum, quale sit qdrato disserentiae,haec quammclara sit,quoniam necessarie sit eos numeros esse in Proportione,qus dicitur habere medium Sc duo extrema. Possit etiam solui ex regula Politionis aequalis nam plures quaestiones,multis ac diuersis regulis solui possunt. Sic tamen ex hac regula faciemus,posito aggregato re, diuidemus eam in partes,quam qua drata iuncta sint ro, Scerut ut uides, igitur quadratum differentiae est M, mri quadrato,& hoc aequatur produssito partium inuicem,quod est qua
dratum ira: I o, quare I et qUadratum,
hac regula deducuntur octo quotmones,quas ego ob uehementem mmilitudinem Sorores appellaui,ad capitula melius,quam alia. Sequuntur octo quaestiones, quae uocantur Sorores, tru ultima sola pro aliarum exemplo declaratur.
Inuenias duos numeros,quorum quadrata iuncta sint 3 o, Sc cuabi sint 3o,pones aggregatum numerorum positionem, & facies parotes ex ea,quarum quadrata tundia sint i o,inde iunge cubos illarum partium,&habebis cubum p:6o,aequalia 3o rebus.
Inuenias duos numeros,quorum quadrata iuncita sint io,& disserentia cuborum illorum sit is, pone aggregatum eorum ut prius, rem, Sc habebis i cub'qdratum,ae ite 3 oo qdratis P: IIoO'
Inuenias duos numeros, quorum quadrata iunctia sint i o, Sc ex ductu cuiuslibet eorum in quadratum alterius, producta itineia n, ciant 2o,pones eodem modo aggregatum numerorum,rem,S habe
129쪽
, HIERONYMI CARO A NaavαsTI O IN. Inuenias duos numeros,quorum quadrata iuncta sint ι o,& productia unius in alterius quadratum mutuo,disserant per ψ. Pones ut
Qv sTIO X. Inuenias duos numeros,quorum disterentia quadratorum sit ro,& cuborum aggregatum sit Ioo. Pones aggregatum numerorum, rem,& facies ex ea partes,quaru quadrata disserant in a o, R eas dii ces ad cubu,S habebis a qdqdratum p: 3oo,aeqlia Mo positionibu QUAESTIO π I. Inuenias duos numeros,quorum quadratorum disserentia sit i o, R cuborum disserentia sit roo. Pones ut prius,aggregatum numerorum,rem,& habebis 3 qd'qdratum p: 3 3- ,aequalia 33 1 cubis. avns TIO. NI l. Inuenias duos numeros,quorum quadratorii disserentia sit io, Raggregatum productorum unius in quadratum alterius mutuo, sit Oo. Pones ut prius aggregatum illorum,rem,S habebis a qd qdratum aequale Mo rebus p: Ioo.
Inuenias duos numeros,quorum quadratorum disserentia sit 3 o, R disserentia producitorum unius in plterius quadratorum , sit 1 oo, hanc explicabo diligenter,ut sit forma operandi,ati exemplar in reliquis,non solum septem Procedentibus,sed & alus multis, quae formari possunt in hoc genere. Ponam igitur illorum aggregatum, rem , 8c per regulam de modo,uel capituli operationu in sexto libro, faciam ex ea duas partes,quarum quadratoru disterentia sit 3 o,& est, ut disuidas illam disserentia scili,cet Io, per duplum diuidendi, quod est a positides,exi.
minues dimidio diuidendi, quod est et positio, habebis partes,& quadrata illarum,
dine suis radicibus,ut in figura patet, duces igitur inferiora in sua iuperiora, sussiciti in his, tuom uolumus disterentiamultiplicare,pa tes dissimiles,id est quae in uno .pducat p: in alio in sicut in aggregandis sufficit multiplicare partes similes,nam reliqua: per se cadunt,due igitur
130쪽
ducit p: alia producit m :&detrahe m: ip:& hoc non est aliud, qtilinduplicare unum illorum productarum, habebis disserentiam unisus producti ab altero,' positiones m:' gitur hocs itur 1 oo,
diuide omnia per a I,& multiplica per a cubu, habebis i qd udratia
aequale qo cubis p: 3 oo,8c ita in aliis,& posses super hoc statuere rogulam de modo, dicendo,cu duo numeri,quorum quadratorii dissorentia est constituta ex multiplicatione uicissim in qdrata,debent producere aliquam disserentiam inter ipsa produeta, tunc erit ud'qdratuaequale qdrato disterentiae fadratorum,& totidem clibis, quotus est numerus,qui prouenit,diviso numero differentiae productorum per quartam partem diiserentiae qdratorum,uelut si dica, inuenias duos numeros quoruin quadratorum differentia fit QR productorum unitis in quadratum alterius differentia sit Go,dicemus igitur 3 γ'qdr tum aequabitur qo cuius p: 3 6,& ita de aliis.
Est & alius modus regulae aggregatiaonge subtilior praecedente, a& facit duas positi s simul& duas conuersiones,& nihil est subtiliussis in regulis,& inueni ipsum in quoda fragmento fratris Luce,& tandem reduxi ipsum post multos labores, quia uix poterat legi in hae parte,uel percipi imago huius reguis,&ego explicabo eam faciliter.& nili esset, quod non est multum generalis hic modus, quanti im ad ostendendam aestimatione reiaicet quo ad positione sit amplissimus, nihil aliud posset excogitari praestantius,& exemptu ac regula erit in quaestionibus.
Inuenias duos numeros, ex quoru duetia unius in alterii producaotur 3,& fidi ata iuncta cu ipsis numeris,faciantqo. Pones aggregatu illorum numerorum quantitatem,& alterum ex illis r positionem, reliquus igitur est quantit. m: r positione, duc inuice,fiunt quan' posm: I qdrato,&hocae itur 8,igitur habes qdratu p:8,ae ite quan titati,cuidam rerum. Sequere igitur capitulum,accipe dimidiu numeri rerum,id est quantitatis,ut in capitulo quinto doceris,quando q-dratu & numerus squantur rebus, duc igitur quantitatis in se,fit --qd'quan abiices,numeruae itionis,fitri id quaia: ira: 8, accipe Rrv quam adde, ac minue, ad . quantitatis, dimidium numeri rerum, fiet rei aestimatio, seu numeri quaesiti, quorum unus est, se quantata