장음표시 사용
221쪽
Itaque pro numeratore novae fractionis aequiritur rein apse illud factum, quod enascitur, si factores more in integris consueto inter se multiplicentur: quae proinde multiplicandi ratio .rite praeseribitur in Resolutione Pr
hiematis. At denominator novus IO A IO m X O
tot zeris uritati adjectis constabit, quot in utroque simul denominatore geri reperiuntur. Unde jam altera quoque resolutionis pars, qua praeseribitur, in facto totidem notas dexteriores commate separandas esse, quot in utroque smul factore notae decimales erant, elueestit. Sic enim ratiocinari lieel: Quoniam fractio deei- malis semper totidem notis decimalibus constat, quot meros continet ejus denominator ca et ); in facto totidem notae dexteriores resecandae sunt pro decimali-hus, quot Eeros continet denominator ejusdam facti ratqui denominator facti tot Eeros continet, quin Zeroseontinebant utriusque simul factoris denominatores, adeoque quot notae decimales erant in utroque simuI factore; ergo in facto totidem notae dexteriores res eandae sunt interiecto commate, quot in utroque simes factore notae decimales erant.
Da. conoLL. Si ergo fractio decimalis per numerum integrum multiplicari debeat; in facto quod itidem communi multielieandi methodo obtinebitur nonnisi tot notae dexteriores erunt commate separandae, quot notas decimales fractio illa habuerit. e. g. I, OLAxa m 24, 1a. a 3. PROBLEMA LII. Fractionem unam decim lam dividere per alteram. soLυ T. Imo. Dividatur dividendus per divisorem more in integrorum divisione recepto: at in quoto tot notae dexteriores separentur intenecto commate, quot notis decimalibus superat dividendus divisorem. e. g. Si a, 76 dividi debeat per I, 2; more in integris usitato divinonam instituendo acquiritur quotus m 23:& quoniam dividendus unica habet plures notas decumales, quam habeat divisor, in quoto unica nota dextima interjecto commate reseranda 'est; hoc est, is quotus hoc modo scribi debet: a, 3. Hae methodo rite peragi divisionem decimalium vel inde patet, quod
222쪽
ruotus in divisorem ductus semper restituat dividenum. Sie in assumpto exemplo , si quotus a. 3 in divisorem 2, a ducatur methodo n. 23 I tradita. pro facto acquiritur ipse dividendus a, 6. Hinc si in divisorototidem Oeeurrant notae decimales, quot in dividendo ;in quoto nulla nota resecanda erit. e. g. Si II, 2o pero, 32 dividi debeat; quotus est 35: qui si in divisorem' o, 3a ducatur, restituit dividendum II, Io a3a). do. Si in divisore plures occurrant notae decimales, quam in dividendo ; dividendi notis adjiciantur iasne Eeri, unus, Vel plures, donest numerus decimalium major evadat in dividendo, quam divisore. vel saltem aequalis utrobique. Hoc pario dividendi valor non mutabitur aet53, & tamen divisio jam per reg. Imam institui poterit. e. g. Si ri, a per o, 3a dividi debeat saddatur dsvidendo Eerus, ut sit II, 2o, ac tum primum divisio per reg. Imam instituatur et erit quotus, uti superius vidimus, 3 . 3tio. Si ex divisione quodpiam residuum maneat; addatur ei Eerus . atque ita continuetur divisio. e. e. Si I, 27 per o, s dividi debeat; acquiritur quotus 23. &manet residuum a per 5 dividendum. Itaque residuo a addatur Eerus, & ao per 5 dividatur, novusque quo ius 4 reliquis adjungatur: erit quotus totalis m 23 . At Zerus ille additus ita spectandus est, quasi jam initio additus fuisset dividendor reapse enim hoc pacto X, 17o dividitur per o, s. Ηine dividendus jam non uda, sed duabus decimalibus superare divisorem O, 5 censendus est: ae proinde per reg. Imam duae dexteriores quoti notae sunt commate separandae, seu quotns ille hoe modo scribendus est: a, 34. Quodsi post primamzeri adiectionem adhue maneat aliquod eX divisione residuum; rursus id genus residuo adjiciatur Eerus, a divisio methodo in integris usitata eontinuetur. Omnes autem geri suecessive adjecti ita spectandi sunt, ac si iam initio adjecti fuissent dividendo. Unde, si quis hu-3usmodi successivas Eerorum adjectiones evitare cupit; mox initio operationis aliquot geros dividendo adji-
223쪽
e. g. si 3, a per o, ag dividi debeat; aequiritur prumo quoius m T cum residuo m 7. Huic residuo adjMeiatur gerus, & 7o per as dividatur: erit altera quotinota et, manebitque residuum m. Alteri huic re1iducisi adjiciatur Eerus, & aoo per as dividatur; tertia quotinota η absque omni jam residuo acquiretur. Erit adeo quotus totalis 128. At quoniam duo successive aeri adjecti sunt dividendo, reapse 3, 2oo divisus est pero. 25; adeoque per reg. Imam in quoto unica nota dextima separanda est commate, seu quotus ille hoc modo est scribendus: Ia, 8.a34. COROLL. Qitiniam in quoto tot notae dein riores separandae sunt interjecto commate, quot notis deeimalibus superat dividendus divisorem ; si fractici decimalis per numerum integrum fractione decimali prorsus carentem dividatur, in quoto totidem doxteriores notae resecentur, Oportet, quot notas decimales fractio dividenda habet. Schol. Fractionum decimalium ad usus geometri- eos applicationem in Geometria dabimus.
aas. Qi progressioni arithmeticae numerorum naturalium a Eero initium sumenti subscribatur progressio geometriea , cujus primus terminus sit unitas; termini progressionis arithmeticae erunt Iogarithmi sibi respondentium terminorum progressionis geometricae... g. Si sint duae hae progressiones et Arithmetica, O, T, a 3, 4,
quivis terminus superior erit Iogarithmus inferioris sibi
224쪽
tatum sunt earundem quantitatum exponent . DKΜoNsTR. Si primus progressionis geometricae cujuscunque terminus Vocetur a, exponens mἰ quae-Vis progressio geometrica rite repraesentatur hac formula, a. am , a- , am , am' &c. ai 6 . At in ea progressione geometrica, cujus logarithmi sunt ipsa numerorum naturalium progressio arithmetica a Eero
sumens initium, primus te minus est I Σ35 ; quodsi ergo de hae speetatim progressione geometrica sit
sermo. in formula generali nune adnotata est a Ieconsequenter si de dicta progressione geometrica speciatim si sermo. Ea rite repraesentatur i in superiore formula generali loco a ponendo I) rite, inquam. re- Praesentatur per x, m . m* , m . m' &c. seu ob T rite repraesentatur per m*, m ,m , , ns' &e. Jam vero si haec geometrica progressio . subscribatur arithmeticae togarissimorum progressioni, num. Praee. descriptae, ut sit: O, T, 2, 3, 4, m*, m , m , in 3, m ἔevidenter apparet, seriem logarithmorum prorsus ean- .dem esse cum serie exponentium. Veritas ergo the rematis patet. SchoI. Exstant tabulae togarithmorum pro serie continua numerorum naturalium ; pro quibus conmelendis ea ipsa numerorum naturalium progressio geO- metrica assumpta est. quam n. 235 adnotaVimus, qua Ve pro exponente habet numerum io. Scilicet unitati assignatus est pro togarithmo eterus, numero decimo unitas, centesimo numerus a, millesimo numerus 3, ω sc porro. Unde consequens est; numerorum inter T& Io intercedentium logarithmos esse majores Tero, minores unitate, ac proinde esse fractiones; numerorum inter Io & Ioo intercedentium Iogarithmos e majoreS unitate, at minores Diam ero 2, adeoque esse aequales unitati cum adjuncta fractione, & sic porro. Id genus intermedios logarithmos ut determinarent diaetarum tabularum constructoros , logarithmorum qum
225쪽
fabulas quarum usus egregios in sequentibus videbimus pro continua numerorum naturalium serie con-
seerent ; in arithmetiea illa logarithmorum progressione, quam n. 235 adnotaVimus. quemlibet terminum converterunt in aequivalentem fractionem decimalem, additis cuilibet termino septem zeris. tanquam totidem deeimalibus: ac proinde eam progressionem hoc modo seripserunt : o, oooooooὲ Ε, ΟOOO O ; a, OoΟO OO δ3, o Moo &o. tum in partibus decimalibus intermedios illos logarithmos variis proportionibus institutis determinarunt. e. g. Pro numero a inventus est lo-garithmus O, 3o Io 3oo, qui Zero major, at unitate mi nor est: numero sto respondet in tabulis logarithmus 1, 8o1O3Do, unitate major quidem, at numero a qui est logarithmus numeri Ioo J minor. Recole naturam fraetionum decimalium ceta4 . 237. Prima eujusvis logarithmi nota, quae a rei quis commate squanquam in tabulis loco eommatis punctum solet adhiberi separatur. designatque numerum integrum in logarithmo partibus decimalibus praefixum, characterinica vocatur. Hinc quoniam numeri Io logarithmus est oo ooo 236. Schol. . in lo-garitnmis numerorum decimo minorum, characteristica nonniti zerus esse potest: at in logarithmis numerorum a Io inclusive, usque ad Ioo exelusive characteristiea est m I; a roo inclusive, ad Io exclusive est eharacteristiea m a &e. Unde patet logarithmi characteristicam semper unitate minorem esse numero notarum omnium e his numeri, cui togarithmus ille respondet: ut adeo togarithmi characteristiea innoteseentes
illieo innotestat numerus notarum omnium ejus nu-
meri, cui togarithmus ille respondet, & vicissim . e. g. Si dati logarithmi characteristica sit m 3 , numerus , cui togarithmus ille hospondet. quatuor notis constare debet: si datus numerus eonstet tribus notis ; in ejus Iogarithmo characteristica est a.
IAR. PROBLEMA LIII. Datos numeros inter se multiplicare ope Iogarithmorum ipsis respondentium.
226쪽
REsoLUT. Logarithmus multiplicatoris afldatur lo-i Rarithmo multiplicandi; summa enascens erit togarithmus facti quaesiti e adeoque is numerus erit factum uaesitum, qui novo huic togarithmo in tabulis ressponet. e. g. Sit multiplicandus 80, multiplicator 97. Priori respondet in tabulis logarithmus I, 94039 , posterioris autem logarithmus est X, 98677ι7; quorum summa est m 3, 93616i T. Itaque huic summae, tanquam logarithmo respondens in tabulis numerus 8633/est quaesitum factum. DEMONεTR. Logarithmi sunt ex onentes numerorum sibi respondentium sa36 : atqui, si addantur Exponentes factorum, summa enascens est exponens s m a I. reg. 4 ; ergo etiam si factorum logarithmi in unam summam addantur, obtinetur togarithmus Iacti. a39. COROLL. Itaque si numerus quispiam per se ipsum multiplicari, id est, ad quadratum elevari debeat; sussicit ejus logarithmum per a multiplieare: factum enascens erit togarithmus quaesiti quadrati. et O. PROBLEMA LIV. Numerum unum dividere
Fer alterum ope Iogarithmgrum. RES OI UT. Logarithmi sunt exponentes quantitatum ca36 : atqui, u exponens divisoris subtrahatur ab Qxponente dividendi, obtinetur exponens quoti ca7. 6g. 3 ; ergo etiam si Iogarithmus divisoris subtrahatur a togarithmo dividendi, obtinetur togarithmus quoti. Sic si 8633 dividi debeat per u ; hujus logarithmus I. 9867717 subtrahatur ab illius logarithmom 3. 93636IT: residuum m I. 940gooo erit Iogarith mus quoti. Hinc cum huic togarithmo respondeat in tabulis numerus 89, hic ipse numerus est quotus quae
et r. PROBLEMA LV. E dato numero quamcunque
radicem ope Iogarithmorum extrahere. REsoLIIT. Si exponens potentiae dividatur per ENponentem datum radicis, obtinetur exponens radicis quaesitae 8a : ergo etiam, si togarithmus datae poten- tiae
227쪽
liae dividatur per exponentem datum radiois , obtinetur ejusdem radicis logarithmus a36 . e. g. Sit ex 5184 extrahenda radix quadrata. Εjus numeri togarithmus m 3. 7146 o dividatur per exponentem radi eis quadratae. seu pera; quotus m I. 837332s erit lo- parithmus radicis quaesitae. Hine eum logarithmo huie in tabulis respondeat numerus 7a; hie ipse numerus est radix quadrata numeri 6184.
Schol. Ex his intelligere jam licet, tabulas Iogarithmorum quae passim prostant) egregiae omnino utilitatis esse, cumprimis in calculo majorum numerorum. At laene in logarithmorum usu aliquam moram
asserunt sequentia. IJ In tabulis nonnisi pro continua int9grorum naturalium numerorum serie I, a, 3, 4 &Q. habentur togarithmi. Hinc saepius occurrit togarithmus, quem in tabulis frustra quaesieris, eujusmodi sunt Iogarithmi fractionum, aut integrorum aliquam sesectionem adjunctam habentium. a Tametsi in maximis tabulis habeantur togarissimi numerorum naturalium ab I usque ad Io oo; in minoribus tamen tabulis numeri x oomo majores non reperiuntur cum suis
Iogarithmis. Hinc saepius occurrere potest in caleuiologarithmus iis major, qui in tabulis, quas prae manibus quis habet, reperiri queant. Itaque pro laeerandis his dissicultatibus aliqua adhuc problemata adjiciemus.
α42. PROBLEMA LVI. Invenire numerum eju&m di Iogarithmo resipondentem, qui non reperitur in tabu-ιis, in quibus tamen eo lagarissimo tam majores, quamininores reperiuntur.
REsoLUT. Quoniam in tabulis continua numerorum integrorum series I, a, 3. 4 &c. adnotatur cum
suis logarithmis; si togarithmus datus non reperiatur in tabulis, tametsi reperiantur alii illo majores. & minores. id erit indicio . datum logarithmum respondere numero integro aliquam fractionem adjunctam habenti : qui numerus hac methodo est inveniendus.1 Logarithmus, qui dato togarithmo proxime minor est in tabulis. subtrahatur a togarithmo proxime majore, & prima haee disserentia notetur. - .
228쪽
a Idem logarithmus proxime minor subtrahatur
etiam a dato Iogarissimo, α altera haec disserentia pariter Botetur.3 . Jam differentia eorum numerorum, qU rum uni respondet in tabulis logarithmus dato togarithmo proxime minor. alteri autem logarithmus dato proxime major, est m T. Quae unitas eonvertatur in fracti nem deeimalem additis ipsi aliquot Zeris. i. g. tui hane, I, O; tum inferatur: differentia prima, sellicet duorum logarithmorum, quorum alter in tabulis est Iroxime minor dato togarithmo, alter proxime major, at differentiam numerorum ipsis respondentium, quae sit m I, o; ergo differentia altςra. nempe togaritnmidati, & logarithmi illo proxime minoris. quam dabit differentiam numerorum ipsis respondentium y Inventus quartus proportionalis sumi poterit pro differentia, qua numerus dato togarithmo respondens excedit numerum logarithmo proxime minori in tabulis res nindentem: quae proinde disserentia si addatur ei numero, qui in tabulis dicto togarithmo proxime minori reis spondet, acquiritur numerus dato togarithmo respon
e. g. Detur togarithmus in tabulis non Oeeurrenas. 7 3 46. & quaeratur numerus eidem respondens.
a ) Logarissimus in tabulis proxime minor 3. 73I46 a Iogarithmo proxime majore 3. 7o73998 subtraetus relinquit differentiam 8set. ab idem proxime minor I garithmus a dato togarithmo subtraetus relinquit dira xentiam 4 . Itaque 3 haec fiat proportio, Da: 4- I, om: x; seu primam rationem per 4 dividendo,
Iam medios inter se multiplicando aequiritur sactum m 1 , o n. a3r e quod tactum dividendo Per terminum primum, est proxime x-o, 469 n. aa . Hinc si haee fractio addatur numero SO9I, qui in tabulis respondet minori logarithmo g. 7 3I46ὴ obtinebitur numerus so97. 69 dato togarithmo quantum quidem ad praxim attinet sat accurate respondensa
229쪽
a g. PROBLEMA LUII. Invenire numerum eis
modi logarithmo dato re pondentem, qua excedat omnes eos ιogarithmos, qui in tabulis continentur. REsoLUT. A dato togarithmo subtrahatur togarithraus numeri IO, Vel Ioo, vel Io &c. donec residuus Iogarithmus jam minor sit, quam sit ultimus in tabulis: quaeratur deinde numerus huic residuo togarithmo respondWo in tabulis, ac multiplicetur per LO, Vel per IoO, vel per I o&c. prout nempe togarithmum numeri Io, Vel numeri Icio, aut Iozo &e. subtraxisti a togarithmo dato. Factum enascens erit ipse numerus quaesitus. e. g. Si in tabulis, quas prae manibus habes, ultimus logarithmus sit q. Oo ooo, quaeraturque num e s lo-garithmo g. TiO4 59 respondens; ab hoe logarithmo subtrahatur togarithmus numeri Ioo, qui est a. ooooOOO: residuus logarithmus erit m 3.7ro 559. eui in tabulis respondet numerus 5I34. Hic itaque numerus si per iocii multi piseetur, acquiretur quaesitus numerus m 3I34UN. Sei licet si numerus quispiam per Io multiplicetur. ejus logarithmus interea unitate crescit; si idem numerus multiplicetur per Ioo, ejus logarithmus interea duabus unitatibus augetur ; uti ex contemplatione progressio Irum num. 23s, & 236 adnotatarum intelligere licet.
α44. PROBLEMA LVIII. Invenire Iogarithmum
numeri fractionem decimalem adnexam habentis.. RESOLUT. Quaeratur togarithmus e. g. numeri 326,
4. Numeri integri 5326 absque adjecta fractione considerati logarithmus 3. 7264oxa subtrahatur a togarithmci in tabulis proxime majore 3. 7264827, noteturque di ferentia gis. Jam numerus 5326 ab eo numero, cui I - arithmus ille proxime major respondet, unitate dissere;& idem numerus 63 26 a dato numero Asa6, 4 differt 4
deeimis. Haec ergo instituatur quaestior numerorem
differentia m I dat Iogariti orum ' sis respondentium deferentiam m8I5; ergo numerorum differentia mo; quam dabit dimerentiam Iogarithmomum mi reison e mirum p Ex qua per regulas regulae aureae limplicis aω haec prohortio eruitur. I: o. 4 m 8Is : x. Unde x seu differentia lator Iogarithmos numerorum 63a6 & Ma6,
230쪽
o est et6: quae disserentia si togarithmo g. 7264o Iaaddatur, obtinetur togarithmus quaesitus 3.7264338. α s. PROBLEMA LIX. Iuvenire Iogarithmum n meri majoris, quam sint ii, quorum Iogarithmi habentur
in tabulis. REsoLuΥ. Una vel plures finales dati numeri notae deprimantur ad fractionem decimalem; tum pro numero illo ita jam considerato, ac si ex Jntegris, & adju ctis deeimalibus constaret, inveniatur togarithmus methodo n. a 4 tradita. Denique inventi logarithmi cha racteristica tot unitatibus augeatur, quot notae ad D ctionem depressae suerunt. be. g. Si in tabulis. quae prae manibus habes , non reperiatur togarithmus numeri Ioooomo majoris, & t man quaeratur togarithmus numeri 43ara; dextimam dati numeri notam 4 deprime ad fractionem deeimalem, ut sit 5326. 4: tum methodo num. praec. tradita inveni
hujus numeri togarithmum 3.7264338. Si hujus Iogarithmi characteristicam unitate cum unica duntaxat nota fuerit ad fractionem deeimalem depressa auxeris; obtinebis numeri dati logarithmum A. 7264338. 246. PROBLEMA LX. Invenire Iogarithmum cu- 'ucunque fractionis. REsoI.TIT. In qualibet fractione numerator est dividendus, denominator divisor, & ipsa stactio quotus 38. Iam vero si togarithmus divisoris subtrahatur a Iogarithmo dividendi; residuum est logarithmus quotica Me ergo ut fractionis logarithmum acquiras, toga rithmus denominatoris subtrahendus est a togarithmo
numeratoris. Hinc si numerator denominatore minor
fuerit, uti semper est in stactionibus genuinis; reapse
IOgarithmus numeratoris subtrahendus erit a togarithmo denominatoris, & residuo signum - praefigendum. Nam generatim, si quantitas major a minoro subtrahenda sit. reap. minor debet a majore subtrahi, & residuosgnvm - praesgi. Sic 3 - sm-2 ; a - 2a - a