장음표시 사용
211쪽
α1 . THEOREM A XXXlU. In progresstone geometrica. qniscunque prior terminus J se habet ad quemcua
qua poseriorem, ut primus ad secundum, si horum utemque ad eam potentiam elevetur , quam indicat duorum illorum disantia mutua. e. g. Quatuor hi termini, L, Τ, D, B sint continue proportionales, seu constituant progressionem geometricam. quaeraturque quomodo se habeat Τ ad B. Quoniam distantia inter Τ & B intereepta duobus quot nempe commata continet ) intem vallis constat; primi duo termini L & T Eleventur ad secundas potentias: erit T: B m L : T DEMONsTR. Nam E. g. in progressione L. T, D. B. potest terminus primus L vocari a , & eX ponens communis m; quo posito erit Τ m am, D am , B ams a16 . Hinc erit L ma . &Τ m a m ). Quodsi ergo stat am et am3 - a : a m , stabit etiam T: B eter L : Τ . Jam vero priorem illam proportionem stare clarum est; quippe in ea factum mediorum est aequalefacto extremorum e ergo altera quoque stet, est necesse. Quas demonstrandi ratio cum alteri cuicunque pamticulari casui aeque applicari possit, theorematis veritatem generatim evincit.
at g. ΤΗΕOREM A XXXV. Summa totius progressionis geometrica es aqualis fractioni, cujus numerator si factum termini ἀιιmi in communem exponentem ducti, termino primo mulctatum, denominator autem stipis communis exponens unitate mulctatus. Hoc est, si summa vocetur x, terminus primus a, ultimus ω,eom-
DEΜoNsTR. Cum in progressione quivis terminus sit antecedens excepto ultimo, erit summa omnium
212쪽
anis edentIum in s - ω; & eum quivis terminus sit consequens ex tepro primo, erit summa omnium eon αquentium s-- a. Jam vcro ii dentur plures rationes communi ex pol elate gaudentes; summa omnium antecedentium est ad lummam omnium consequentium.
ut quivis antecedens ad suum consequentem i8a . Est ergo in progressione geometrica:
Schol. Lubeat theorematis veritatem in numeris in- fueri. Assumamus progressionem, I, a, 8, cujus ex ponens est m a. Ultimus terminus per exponentem multiplicatus, est m 16. Itaque juxta theorema debe-x Iret esse in hae progressionesm --- 15. Et omnino
ita se res habet: est enim T- - - 8 m I . 219. Series est ordo quantitatum certa aliqua, &constauti lege se se excipientium. e. g. Progressionis arithmeticae. & geometricae sunt series: nam earum termini constanti lege sese excipiunt a1I . Series, in qua numerus terminorum est finitus, dicitur ita; i finita autem . si numerus ille sit infinitus, seu omni, qui cogitari possit, major. 22O. COROLL. Igitur in serie infinita, cujus termini continenter crescunt, ultimus terminus infinite magnussi. oportet; in ejusmodi vero serie infinita, cujus termini conlinenter decrescunt, nonnisi infinite parvus, seu omni, qui cogitari queat, minor esse potest. Schol. I. Quoniam signum quantitatis infinitar est in II , quantitas insinite parva, seu omni, quae cogitari possit,
213쪽
possit, minor rite exprimitur per-. Cum enim valor
fractionis, manente eodem numeratore, eo magis decrescat, quo magis crescit ejusdem denominator 32); si denominator fuerit infinite magnus, seum , ex
adverso valor fractionis infinite parVus sit, oportet. Schol. 2. Quantitas infinite parva respectu quantitatis finitae evanescit, ita ut pro nihilo haberi possit. e. g. Si quantitati finitae a adjuncta sit alia infinite parva,
seu - ; haec in ejus consortio pro nihilo haberi potest,
a; differentia harum quantitatum, quae est m - , esset quantitas determinatae magnitudinis: quan-
docunque enim duae quaepiam quantitates sunt reapse inaequales , earum differentia determinata sit, oportet:
atqui -- non potest esse quantitas determinata; seeus x ω enim non esset infinite parva, seu omni, quae cogitari possit, minor: ergo. ααx. PROBLEMA XLVII. Invenire summam se
monum numero infnitarum . quarum numerator es constans, denominatores autem crescunt in progressone ge metrica.RRsoLUTIO. Si primus denominator appelletur θ,& exponens progresnonis geometricae denominatorum dicatur m ; eam progressionem bene repraesentabit haec formula, b,hm. bm ,hm' - - - a16 . Hine si praeterea communis numerator vocetur d; quaevis ejusmodi fractionum series repraesentari potest hac sormula,
214쪽
-- - - - Jam eum in his fractioni-h, bna. λ , b n , bm .hus manente eodem numeratore denominatores crescant in progressione geometrica ; fractiones decrescunt in progrestione geometrica 3ao. Hinc ultimus termi
a--ε hoc pacto prior illa procresila de-hm , my. bm, Merescens abit in crescentem, cujus primus terminus sit
ne sit summa, seu s aIM; si loco ia substi-
- a. Et sane si duos primos ejus
215쪽
& sic porro semper ita, ut summae a numero a defectus fit aequalis termino ex assumptis ultimo. Hine si seriem
infinitam accipiamus, cujus ultimus terminus sit -;
orax summa omnium terminorum erit m a - - , seu erit
' summa illa m 2 am. Schol. a. . . .
CAPUT SEXTUM. tDe Fractionibus Decimalibus.
aa, Thactio, quae pςeuliari nomine decimaIis dieitur. pro denominatore semper habet unitatem eum ain aliquot Eeris. . e. g. - est fractio decimalis, signis.
eatque ducentas quadraginta sex millesinas. SohoI. In denominatore fractionis decimalis quandam progressionem geometricam eontineri patebit insequentibus r unde etiam ejus pertractationem hunc in locum rejici posse existimavimus ; praesertim cum pri mum Daetionis decimalis usum in Logarithmis sequ. p. pertractandis habituri simus. aa . Mathematiei in exprimendis fractionibus deeimalibus compendio uti solent, quod his capitibus eo tinetur. Imo. Omisso denominatore solum numerat rem scribunt, eumque ab integris interjecto commate,
216쪽
vel puncto separant. Subintelligunt autem, denominatorem semper constare unitate post se totidem geros adjunctos habente, quod notas numerator Continet. .. a 6 κg. 4- hoc modo scribunt: Α, a 6; id quod signifi-
eat 4 iqtegra, 246 millesimas. Hinc e. g. x, I significat duo integra, & unam partem decimam: cum enim numerator unica duntaxat nota tonstet. etiam in denominatore nonnisi unicus Rerus intelligendus est unitati adjunetus. At a, Ia significat duo integra, & Ia cen
ado. Fractionem decimalem omisso denominat rescriptam inde dignosci, quod commate secernatur ab integro numero sibi praefixo, clarum est. Si enim loeci iet. I et omisso commate scriberes 2Ia; hie numerus mera integra. & nullam fractionem designaret. Hinc si detur quaepiam fractio decimalis absque omni integro; ea ita serihi solet, ut locum integri numeri Eerus occupet, a fractione commate separatus. βica46 millesimae absiaque omni integro datae hoc modo scribuntur: o,246. Hinc e. g. O, 34 significat 34 centesimas absquo omni integro. 3tio. Si fractionis decimalis eum suo denominatore seriptae numerator pauciores habeat notas, quam sint in denominatore eteri ; id genua fractio nequit omisso denominatore scribi, nisi in numeratore numerus nota rum p fiκis Zoris expleatur ita. ut totidem sint notae in numeratore, quot in denominatore Eeri. Sie si de-
tu r fractio- designans Ia millesimas; ea nequit
omisso denominatore, hoc modo scribi: O, Ia. Haee enim expresso per reg. Imam) fgnificaret Ia centesimas. Verum numeratori Ia praefigendus est sterus, seu fractio illa deelmalis hoc modo est exprimenda do,oxa. Ηoe enim pacto jam innotescit, in denominatore post unitatem tres Eeros adesse, cum numerator tribus notis conitat, ac proinde in tescit, Ia illas partes, qua,
217쪽
omisso denomin tore sic seribitur: o, oo I; 3-- hoc
ars. ΤΗΕOREMA XXXVI. Cuiuis fractioni deci- mali adjungi po sunt a dextris eteri quotcunque, quin
ejus val9r mutetur. e. g. Loco 2, Ia scribi potest 2, 1ao, vel a, Iaco &c. , DEΜoNsTR. Cum enim denominator semper totidem geros post unitatem habere intelligatur. quot notis numerator constat sa24. reg. I. ; si numeratori quot.eunque geri adjiciantur a dextris , denominatori quoque semper totidem geri adjici concipiuntur: consequenter numeratori quotcunque Teros a dextris addere non aliud reapse est, quam & numeratorem, & denominatorem per idem multiplicare, scilicet per Io, vel per x . Vel per Io &c. Eo ipso autem id genus adjectione valor fractionis non mutatur 39 .
malibus prima pos comma nota denotat partes decimas, secunda tantomas, tertia millesimas, ει sic porro. R. g. 3, 4 6 denotat 3 integra, 4 decimas , 5 eentesimas , o millesimas. DEMONsTR. Assumamus e. g. fractionem O, 435.
Haee fractio aequiValet huic, - aa4 , ac proinde
Iam vero si harum fractionum duas priores ad simpliciores expressiones 4 3
218쪽
4, reapse partes decimas; secunda 3, partes tentesmaa tignifieat: tertiam notam 5 esse partium millesimarum elarum est. Quae demonstratio cuicunque alteri fractioni decimali aeque applicari potest, ae proinde the rematis veritatem generatim evineit. 227. COROLL. Cum prima fractionis deeimalis notasgnifieet partes decimas, secunda centesimas, tertia millesimas, & sic porro ; patet imprimis earum notarum seorsim eonsideratarum denominatores esse in progressione geometriear patet deinde, earundem notarum valorem a fine regrediendo continenter erescare in deineuplum, ut fit in numeris integris.
adig. PROBLEMA XLVIII. Datam framonem n
decimalem convertere in decimalem manente priori v
REsoLUT. Numeratori datae fractionis adbiciatur zerus, tum diVidatur per denominatorem: rursus residuo, si quod manet, adjungatur zerus , ac iterum petdenominatorem dividatur, & sic porro. e. g. Sit
reducenda ad hastionem deeimalem. Numeratori I ad datur Zerus, tum Io dividantur per 8r quotus erit mT, pro prima fractionis decimalis nota scribendus, manebitque residuum m a. Huic residuo addatur Zerus,& ao rursus per 8 dividantur: quotus erit m 2, proseeunda fractionis decimalis nota scribendus, manebi que residuum m 4. Huic residuo addatur iterum Σerus, & 4o dividantur per 8: quotus erit s, pro tertia fractiodis deeimalis nota leribendus. Et quoniam peracta hae tertia divisione nullum amplius manet resi duum , tota operatio peracta jam est, inventaque fra-
219쪽
Ias x ---- Videbis, si fractiones has ad communem Moo 8 denominatorem reduxeris 44 . Sehoι. Quodfi continenter aliqua fractio remaneat, porro reducenda ; id erit indicio , datam fractionem non posse eκacte converti in fractionem decimalem equo tamen diutius continuata fuerit operatio, eo magis accedet inventa fractio decimalis ad verum fractionis
αας. PROBLEMA XLIX. Fractiones decimases a
REgo Luae. Cum fractionum decimalium notae a dextra linistram versus more integrorum progrediantur aa ) ; additio fractionum decimalium eodem prorsus modo fit, quo numerorum integrorum. Scilicet subscribantur integra integris, decimae decimis. centesimae centesimis, & cetera more consueto peragantur. Hoc uno notato, quod ii numerus declinarum ultra 9 exerescat, sola dextima nota sit habenda pro decima, reliquae autem sinisteriores pro integris commate separandis. e. g.
to, Os; Erit summa i 4, 3 a a. Mo. PROBLEMA I. Fractiones decimalis subis
REsoLUT. Ob rationem num. praec. indicatam su tractio quoque eodem modo peragitur in fractionibuat decimalibus, quo in integris, subscribendo integra integris, decimas deeimis &c. e. g. Sit minuendus 3, 7 a subtrahendus 1, 5 8; Erit res um a. 49 MI.
220쪽
multiplicare. RκsoLUT. Multiplicentur inter se fractiones more numerorum integrorum: at in facto totali resecent interiecto commate tot notae dexteriores, quot in ambabus simul fractionibus notae deeimales erant. e. g. Sta, 3I multiplicari debeat per 3, 4a; multiplicationem more in integris consueto peragendo acquiritur factum totale m 79 ar porro fractiones, quarum una per auteram multiplicata fuit, ambae simul habent 4 notas d eimales; itaque in tacto hoc totali quatuor dexteriores notae sunt resecandae, ut sitis a. Quod si iam totalis notae non suffcerent totidem notis resecandia, quot decimales notas habent ambo simul factores; --ris praefixis augendae sunt, dum lametant. e. g. SI fractio o, a3 multiplicari debeat per O. O4; factum totale est M sa. Jam fractio multiplicanda duas habet notas decimales. totidem altera; Itaque quatuor notae re- Reandae essent a facto totali z at istud duabus tantum notis constat: quapropter Eeris praefixis augeatur, seri-haturque O, O 92. DEΜoNsTR. Sit E. g. fractio 2, 3I multiplieanda per 3, 42. Prior aequivalet huic: a ,- altera huter
ctionem, ejusdem eum adlinis Dactionibus denoml-
nationis a prior abit in hanc: - posterior in haner
48 et ergo reapse in assumpto casu hae duae ha- 231 3 actiones: -- &- sunt inter se multiplieandae.
Harum autem multiplicatio peragitur . si numeratorea inter se, & denominatores inter se multiplicentur cv . Ο a Ita