장음표시 사용
201쪽
e. g. In assumpto superius exemplo sic Tiro proeam dat : I) Ratio ao: x est dierum , per quos carnis librae militibus lassicere debent ;& ratio I: 3 est militum, quibus carnis librae per dies illos lassicere debent. Jam vero certus librarum numerus eo pauciorisus diebus sumeti militibus, quo militum illorum numerus fuerit major: itaque ratio I: 3 est inversa respectu rationis quaesitae tor x; consequenter rationem x: 3 inverten-IO est ceteris paribus, 3: a m zo : x sao I .a Ratio co: x est ratio dierum, per quos librae ea nis lassicere debent militibus, & rajio it 6 est ratio librarum carnis, quae sussicere debenti Jam vero quovi res fuerint librae carnis, illae eo piar bus diebus et umeruunt iisdem militibus; adeoque ratio I: 6 est directa re speetu quaesitae, seu est ceteris paribus lζ6 m ao: x. Hinc ratio quaesita aor x est reapse aequalis rationi, ex rationibus se 1 & 1: o compositae I98 . Quapro ter rationes illae hoc modo seribantur: 3: X
5to. Ultima proportio redueatur si fieri possito ad
simpliciorem expressionem. methodo, quam in Sta prae Ced. probi. regula exposuimus; tum inveniatur in codinita x, medios proportionis multiplicando inter se, MDetum dividendo per terminum primum. Sic in assum to exemplo ultima proportio 3 e 6 ao: x priorem rationem per 3 dividendo abit in hanc, Tra metor x. Unde facillime jam innotescit, esse aer m Ao. Hoc est , si s militibus librae earnis Ioo lassiciunt per dies zo; Ismilitibus carnis librae 6oo lassicient per dies 4o.
Schol. I. Quodsi eveniat, ut rationes componendae, etiam postquam ad simplicissimos terminos reductae su rint, satis magnos adhuc terminos habeant : in earum compositione indicetur duntaxat multiplicatio termino rum : tiam, si qui communes factores deprehendantur in utroque rationis compositae tormino, aut in antecedentibus rationum, deleantur. Hae deletione obtinebitur compendiosa proportionis ad simpliciorem expressionem reductio.
202쪽
e. g. Si in quopiam exemplo hae acquirantur per reg. tam rationes componendae:
nonnisi hoc modo scribatur proportio, 9 8 a: 8 9 g m 4: x. Tum in prima ratione communes utrique termino factores 9 & 8 deleantur : hoc pacto ratio illa reapse imprimis per 9, deinde vero per 8 dividetur.
abibitque in hanc. a: 3 - 4: x. Haec Vero tan ecedentes pera dividendo convertatur in hanc, 1:3 a: x; ex qua nullo jam negotio innotescit esea: α 6. - Schol. 2. Arithmetici regulam auream tam simplicem, quam compositam dividere solent in dιrectam, &inversam, seorsimque solent tradere regulas tam pro di recta, quam pro inversa. Vocant autem diremam, in qua nulla repetatur ratio, quae sit inversa respectu rationis quaesitae , inversam autem. si aliquaratio reperi tur in problemate, quae sit inversa respectu rationis quaestae. At nos regulas pro qualibet aurea regula 1implici n. ao6. & pro qualibet compos a n. 2O7 tradidimus. quin regulam auream in directam, &inveriam diserte di-
EXEMPLA Regula Aurea compositae. I. Florent Isoci per annos 6 dant censums. 4so; ergo formi 8- ym' 4 annos quantum dabunt pI Per reg. Imam, exprimatur problema hoe modo: Flor. censum dantes Isocio 8 O. Anni 6: Census 4 Soz x. a Per reg. 3tiam reducantur rationes cognitae ad simpliciores expressiones, primam per Ioo, alteram pera dividendo, scribaturque: Hor. censum dantes Is r 8 Anni 3 : a, Census 45O: m.
3 Per reg. 4tam, singulae rationes cognitae Cous rantur cum ratione quaesita, ut innotescat, quaedam tarrum
203쪽
rum sit directa respectu hujus. quae item inversa. Facile patet, utramque esse directam: quare scribatur:
, Dies I 6: x. 3ὶ Per reg. 4tam examinentur rationes. Ac prima quidem ratio cognita respectu quaesitae inversa est: quo enim plures sunt murarii, eo paucioribus egent diebus, si eetera sint paria, ad eundem murum erigendum: itaaque prima ratio cognita in vertatur, ut sit 5 ra. Altera cognita ratio est itidem inver a re pectu quaesitae; qno enim pruribus quotidie horis laborant murarii, eo
pauetoribus egent diebus ad eundem murum erigendum : consequenter altera quoque ratio cognita inve
tenda est , ut sit ad 3. Tertia cognita ratio est directa respectu rationis quaesitae: quo enim pluirium hexapedarum murus ezigendus est, eo pluribus diebus opus est.
204쪽
s eetara sint paria: tertia ergo ratio cognita inVerte da non est Hinc scribatur:
tum compositis rationibus stat haec proportio, 5 et 6: a MAAS I6: x. 4 Per reg. stam reducatur haee proportio ad expressionem simpliciorem. Nempe in prima ratione factores & a, utrique termino communes deleantur: hoc facto erit 6 : 3 I6: x. Porro prima hujus proportionis ratio dividatur per 3 3 erit demum 2: I m 16 ex. Unde x m 8
IIl. Olim . Sudios per 4 hienses ali poterant stor
nis εο ς ergo nunc, s ponamus annona pretium S iuι pam te auctum esse, quot Studiose poterunt ali a formis prello menses pr) Exprimatur problema hoe modo:
Menses 4: Io orem 6o: Ω- ὰ Pretium anno e 1: T - - ν. Porro ratio pretii annonae reducatur tota ad fractionem. ejusdem eum adjuncta fractione denominationis. seu
4 4.a Reducantur raclones ad simpliciores expressio nes, rationem mensium per a. florenorum per zo dividendo , rationem autem pretii annonae multiplicando Per 4. Adeoque scribatur:
205쪽
At rationem scirenorum esse directam, clarum est. Itaque inversis mensium, S pretii annonae rationibus seritatur et
Unde haec aequiritur proportio composita, 5 3 s: a AIoΜΑ - 4:x. Ultima haec proportio, si prima ratio per s dividatur clameit autem in primo termino delere unum sa-ctorem 5, & in altero factorem Io per 5 dividere abit in hanc. 3κ5: a a 4 4: x, seu Is z lom 4: x. Unde x m 4: VI. Hoc est, aOO florenis in assumpta hypothesi possent per Io menses ali 4 Studiosi. & praeterea pro quinto Studioso remanerent A partes ejus pretii, quod pro suo Io mensium Victu pendere deberet. Schol. 3. Exempla haec fusus pertractare libuit, quo melius imbibant Tirones hanc nostram methodum, sibi per totum Vitae decursum non parvo usui futuram. Nunc jam alia quoque exempla subjicere lubet, in quibus iidem proprio marte resolvendis se se exercere queanti I. Si fingula coempti vini venderem I6so renis, Iaerarer in Do vagis florenos 36o; quantum ergo ιucrarerin 8o vagis, s sngula venderem ao formis y Erit x m6oo florenis. ΙΙ. Messores 16 demetunt so jugera ivtra dies Io 3 ergo 4 messores jugera i 5 quot diebus demetentp Est m
III. Sartores sngulis diebus laborando 8 horis i tra I 6 dies prerparaut 6o tunicas; ergo unus Iartor furtilis diebus laborando 16 horis, tunicas 3o intra quoties proepararet 8 Est x m zo diebus. Schol. 4. Examen rite peractae operationis. sive regulae aureae pl/cis, sive composta. hoc modo institui potἡst. Immutetur tantisper problema ita, ut incognitae x suus valor per operationem inventus substituatur, & alter cujuscunque rationis cognitae terminus yro
206쪽
incognito habeatur, denomineturque x. Si nova op ratione instituta inveniatur x esse aequale ei numero, loco cujus idem x interim substitutum erat; id erit indicium rite peractae operationis. e. g. In problemate, quod in regula Ima proposuimus, io 'o x substituamus ejus valorem ' 3o, & in ratione militum numerum
15 ponamus esse incognitum, Notemusque x . consequenter problema illud hoc modo immutemus: Militibus 5 librae carnis Ioo Iusserunt ster dies zo; ergo 6oo
libra carnis Dot miIitibus sufficient per εο dies 7. Si
operatione juxta regulas praescriptas instituta prodiv rit esse απι is; id erit indicio, in operatione priori errorem non suisse commissum.
ao8. Arithmetices Scriptores, dum de regula aurea agunt, solent speciatim tradere etiam Regulam Societ tis. ita dictam propterea, quod tunc potissimum adhiberi soleat, quando plures in commune negotium symbolas suas conserunt, ut dein commune lucrum Vel damnum pro ratione symbolarum a se collatarum inter se partiantur. Consistit autem Regula societatis non alia in re, quam in applicatione regulae aureae toties repetita, quot sunt homines, inter quos partitio est scienda. Settieet sieuti is habet summa omnium symbo Iarum ad quamcunque particularem symbolam a, ita se habet totum lucrum vel damnnm ad illam tueri, Vel damni partem, quae symbolaea respondet. Sed res exemplo optime illustratur. Itaque Sit sequens problema propositum e Tres mercatorra sucri gratia contulerunt certam pecunia summam. Pr mus contulit 6oo flarenos, sectinaus s. 4oo, tertius s. aoo. Eunt autem universe lucrati stor. 36o. Quaritur, quantum unicuique obveniat ex Iucro Pi Sit primi lucrum x. seeundi m y, tertii m et
tum pro primo haec instituatur proportio e sicut se habet symbolarum summa. seu retoo flor. ad primi mercatoris symbolam, seu ad fl. 6tio, ita se habet totum lucrum, seu sor. goo ad ejusdem primi lucrum x. Id est, haec instituatur proportio, Iamr 6oo m 3oo: x. Quae si pisma ratio per 6oo dividatur j abit in hanc, a: I--
207쪽
a Pro seeundo mercatore haec stat proportio. Tacio: oo - 3 : ν; seu 3 : I 3Oo: V. Unde y m Io Pro tertio est, inoo: Ioo m 3CO: z; seu 6:T m3 : z. Unde e m 5O. Hoc est, primi lucrum est j Iso s. secundi m roo s. tertii m son. Quae partialia lucra. si in uuam summam cogantur, restituunt lucrum totale m 3oo nor. Quod ipsum est indicium quoddam rite perariae operationis. a . Saepe fit, ut non sola quantitas collatarum sym- fholarum, sed alia etiam adjuncta attendi debeant. e. n. tempora, quibus singulae symbolae lucrum fecerunt. Quci casu Regulam societatis Vocare possumus compositam. Eadem autem est operandi ratio, quae in regula simplici, quam num . praeo. eπposuimus: hoc uno notato, quod pro symbola quavis particulari sumi debeat quantitas symbolae, multiplicata per id genus adjunctum ubi respondens, e. g. per tempus, quo lucrum fecit, aut damnum intulit. e. e. Sit problema seqΠens propositum. Tres meris eatores contulerunt successive certam pecuniae summam Primus contulit β. goo. secundus R. I , exercueruntque hac jumma mercimonium per o annos. Tertius contulit β 6 : at nonnisi unico anno posremo fumma hae cum priori lacrum fecit. Lucrum totale es m aetosor. Qu ritur lucrum singulis obveniens. 3 Primi luerum sit m x. secundi - ν, tertii m d. Primus per ann s 4 conserendo n. goo, tantundem secit, ac si per unum annnm contulisset floren. 3ω κ 4; adeoque primi symbola aequivalet iam forenis. Secundi symbola aequivalet goo florenis. Tertius per unum annum contulit n. 6Oo. Hinc summa symbolarum aequivalet n. Ia --4oo -- 6 , seu forenis a Zoo. 2 Itaque pro primo mercatore haec fiat proportio, stetoo: Iacio m 22o :x. Quae si prima ratio per ioci dividatur, deinde vero antecedentes per a ab abit in
208쪽
4o q. tertii m so s. Quae partialia lucra In unam summum collecta, sunt m aeto n. EXEMPLA Regula Societatis. L Regulae sinplicis. Tres simul elocarunt ad cen-lam s. 4ooo. Primus dedit n. IazG alter I 8 . tertius s. I o. Ex hac summa periverunt I8oo forent. Qua ritur quantum quisque damni sit passu syFiat imprimis pro primo haec proportio: sicut se ha het tota summa f. 4 o ad s. Ia , ita se habet totale damnum s i Soo ad primi damnum x. Erit adeo x ms o n. Simili modo invenietur se eundi damnum, seu vesio m 8io s. tertii damnum seu E m 45O. II. Regulae compositae. Tribus lanionibus elocantur uaedam pascua n. 6o. Primus T Oo boves aluit iis pa- cuis per et menses ; secundus so boves per ψ menses ptertius a boves uno mense. Quaeritur, quantum quisque lanio solvere debeat 3 Esta: m Is ἔν-IS, Z m 3O. a Io. His quaepiam de Regula salsi adjicere lubet. Regula falsi, seu falsae postionis tunc exercetur, quum terminis incognitis substituuntur interim termini ad arbitrium assumpti, sed tamen tales, qui sint incognitis proportionales, ut deinde Ope eorum , adhibita regula aurea, ipsi incogniti detegantur. e. g. Proponatur sequens problemae Tres mercatores. Sempronius, Cajus, ει T lius certam pecunia sum nam lucri faciendi gratia contuleruui. Cajus duplo plus coutulit, quam Sempronius: Titius autem tantundem contulit. quantum Sempronius ει Cajusjimul. Lucrum integrum es o stor. Quaeritur, quantum unicuiquε hoc ex lucro obtingat y
Quoniam non datur quantitas a singulis mereatoribus collata , sed solum ratio quantitatum collatarum ἔsubitituantur interim ad arbitrium quantitates, quae ess-dem ad se invicem rationes habeant, quae in problemate dantur. e. n. Si quantitas a Sempronio collata ponatur esse M i; suantitas Cesi erit m a. & Titii m 3. Hinc summa quantitatum erit m 6. Unde si lucrum Sempronio obveniens dicatur x, haec stabit proportio. 6: I: x. Unde x Is. Pro Cajo haec stat proportio, 6:
209쪽
De Progressionibus, re SeriebuI.
aI I. Pi ogressio est series quantitatum continue proportionalium et seu est series ejusmodi quantiatatum, quarum prima est ad secundam , ut secunda ad tertiam; sectunda ad tertiam, ut tertia ad quartam; te tia ad quartam, ut quarta ad quintam, & sic porro 155 .cii quantitates fuerint continue arithmetice proporti vales ; progressio est arithmetica: geometrica Vero, si quantitates fuerint geometrice proportionales. Iz. CORO . Itaque in progressione arithmetica terminus primus sic differt a secundo, ut secundus a te tio; secundus a tertio, ut tertius a quarto: in geometrica vero sic se habet primus ad seeundum. ut secundus ad tertium ; secundus ad tertium, ut tertius ad qua tum, & sic porro. Sic numeri naturales 1, a. 3. 4 &C. eonstituunt progressionem arithmeticam: at numeri T, Ω, q. 8 occ. sunt in progressione geometrica.213. Progressio tam arithmetica, quam geometriea, alia est crescens, alia decrescens. Cre oens est , in qua terminus primus est minimus. secundus major, tertius auiiu major, & sic porro. Ea vero, in qua terminus primus est maNimus, secundus minor, tertius adhuc minor, & sic porro ; est progressio deeresens. Sic I, 2, 4ωe. est progressio geometrica trescens; at 8, 4, 2, 1 est
at . PROBLEMA XLV. Confruereformulam gene raum, quiae repra sentet omnem prostr piovem arithmet RESOLUT. Cujusvis progressionis arithmeticae terminus primus potest appellari a. ditarentia d. Quibus polit IS, an progressione crescente secundus terminus erit a & tertius culpote constans ex secundo addita
210쪽
ais. ΤΗΕOREM A XXXIII. Summa totius progressionis arithmeticet Gquatur semisi inmet terminorum prim , Fκltim δε mulsumptorum, muttiplicata per numerum omnium te minorum. DEMONsTR. Assumamus e. T. prostremi nem ereis
scentem quatuor terminorum. Ea progresso rite re praesentabitur hac sormula, a. a --- d. G--2d, a -- 3d a14 . Jam hujus progressionis summa est α qa 6d; quam aequalem esse semisummae extremorum multiplicatae per numerum terminorum sic ostendo. Summa eAtremorum est M aa --3d, adeoque semisumma /
m a , - - quae si per terminorum numerum αε mul- radtiplicetur, sit zm 4a - seu Aa - 6d. Itaque VE-ὐ a,ritas theorematis in assumpto exemplo evidenter patet. Quae demonstrandi ratio cum alteri cuilibet proportionis arithmeticae save crescentis, sive decrescentis eπ- emplo aeque applicari possit, ejusdem theorematis vemtatem generatim etiam evincit.:16. PROBLEMA XLVI. Confruere formulam g neralem , qua reproesentet omnem progresionem geometricam. REsoLυT. Cujusvis geometricae progressionis terminus primus potest appellari a , communis exponens m. Quibus positis. est secundus terminus am i5o . Tertius est am*; si enim tertius terminus dieatur se, erit in progressione geometrica, ar am - am: x a1a ἔa 3 m1 unde x - --- αz am . Si quartus dieatur ν; quo-