장음표시 사용
191쪽
proportionem unam dividendo per alteram stat,
&hol. Tametsi loquendo de aequalitato arithmetica perse notum axioma ut, persistere aequalitatem, si aequalia per idem, aut per aequalia multiplicentur, vel duvidantur a I9); istud tamen comparate ad aequalit tem geometricam, seu rationis profecto non supervacuo demonstratur. Nam loquendo de aequalitate arithme hica pariter perse notum axioma est, persistere aequat talem, si aequalibus idem addatur, aut subtrahatur II 3.&114 r quod tamen non perinde subsistero semper. fido sola rationis aequalitate sermo sit, inde patet, quod non semper perduret proportio, si unius proportionis antecedentes alterius proportionis antecedentibus, consequentes autem consequentibus addantur, aut subtrahantur. Sie tametsi stent hae duae proportiones,
qualitatem exprimento, potes unum membrum aItero intacto per quemcunque numerum multiplicari, aut dividi, quin turbetur aequalitas rationis. e. g. Si sit 3 - c ι; est ci
DEMONsTR. Si est fritast; stat Sr seras Τr est Iam lieet Idam rationem intacta priore per quemcunqu numerum multiplicare, aut dividero, quin turbetur prΟ-- portio si a ; ut adeo stent hae proportiones, S: s et ' et&S: s m acT: act&α in ergo s - - item
192쪽
198. ΤΗΕOREM A XXXI. Sit guremnque quant
tas e in ratione cujuspiam quantitatis e , ita ut loquendo de rationis aequalitate quod semper intelligendum s) si ceteris paribus e m c. Si praeterea eadem quantitas edependeat etiam ab alia quapiam quantitate t, ita ut ceteris paribus si e M t; rea e quantitas e erit generatim in ratione composta utriusque, sederit e ct. DEMONSTR. Quantitas e, quae a quantitatibus e & edicto modo dependet, seu ita, ut utrique sit proportionalis, potest considerari instar essectus a caulis e & t ita dependentis, ut utrique earum sit protortionalis. Quososito, duos diversos illius essectus uatus exprimamus iteris Ε & e. & status caussarum illis respondentes de fgnemus literis C. c. & Τ, te ita nimirum, ut assectui Trespondeant eaussae C, T. & effectui e eaussae c, t. ARsumamus praeterea novum quempiam essectum ea cauia sis e &Τ, quarum utrique is Iroportionalis sit, coniunctim agentibus oriundum. Iam si effectus e a caussis c& Τ proveniens comparetur imprimis cum effectu E, aeaussis C & Τ oriundo; quoniam caussa T in utrumque pariter insui . evidens est, eorum discrimen pendere a reliquis caussis e & C, ita ut sit e: E m e: C. Unde est emEC
Quodsi autem idem essectus e a caussis e & Τ proveniens comparetur cum effectu e, a caussis e & t oriundo; quoniam caussa e est utrique communis, horum
193쪽
Sehol. Ueritas theorematis variis etiam exemplis il-Iustrari potest. e. g. Contemplamur spatium, quod ab aliquo cursore certa celeritate aequabili praedito intra tempus quodpiam percurritur. Sit celeritas eursoris ea. qua is diebus singulis 3 milliaria coniiciat ἔ ponamus autem spatium assumptum percurri ab eo diebus Io.Quoniam spatium pereus inn est imprimis ceteris paribus ut celeritas, qua percurrM. deinde ut tempus, quo percurritur ; dictus cursor intra Io dies eonficit milliarias Io - 8o. Hoc est, spatium ab eo percursum est in ratione composita celeritatis , & temporis. I99. COROLL. I. Quodsi ergo aliqua quantitas e sit
imprimis ceteris paribus ut 3, deinde ut - reapse ea est
T sgeneratim ut s m -- seu est e m -. t. t. oo. COROLL. II. Si quaecunque ratio ar b sit Imprimis ceteris paribus m co d, deinde autem πι g: f; ea reapse est aequalis rationi ex utraque compolitae, seu estar , α eg: V. Nam illae rationes aequivalent his sta-
rationibus exsurgere potes proportio, s alterutrius rationis termini invertantur ita, ut ex antecedente sat conis sequens, S uui1 . e. g. Secundae rationis c: d terminos invertendo, est a: b d: si Dam
194쪽
DEΜoNsTR. Si enim ratio a: δ est inversa rationis
bc: d; reapse fractio - est aequalis unitati divisae pera
fractionem -- I 86), adeoque est -- α - 61 Schol. c ad XJ. Hine autem haec exurgit proportio, aeth de rsr44. & I4Tl. I . COROLL. Quod si ergo aliqua ratio a: b sit e teris paribus imprimis 's: g. sit deinde inversa rati innis c: d; respis ratio a: b est aeqMlis rationi ex his duabus ita compositae, ut termini rationis c : d invertantur: seu est a: θ m Vr eq. Si enim a: b sit inversa rationis er d; ex duabus his rationibus haec exsurgit proportio. a: brad: c cetor . Itaque in assumpta hypothesi est a: b ceteris paribus imprimis d: c, deinde m s madeoque est reapse a: b- V: ι g a ).
o3. Gum in humano commereio pretia duabus d Versis ejusdem generis mercium quantitatibus respondentia. sint iis ipsis quantitatibus proportionalia, pariter operariorum labor eorundem numero, nec non tempori, quo perficituri proportione respondere soleat.& plurima id genus alia ; pene innumera in usu vitae civilis quotidie occurrunt solvenda problemata, quae solvere non aliud sit, quam datis tribus terminis quartum geometriee proportionalem inventro. e. g. Si sciam a uinas panni vendi florenis I; ut detegam, quot- nam florenis vendantur 6 ulnae ex eadem panni specie, imprimis hanc instituere debeo proportionem, sicut se habent a uinae ad 6 ulnas, ita se habent 7 florent ad quaestum florenorum numerum x: deinde debeo incognitum X, tanquam quartum geometrice proportionalem ea methodo invenire . quam num. Σω eroposuimus.
195쪽
quartum geometrice proportionalem Inveniendi ob insignes suos in omni vita civili usus Regula Aurea nominari consuevit.. aD4, Regula Aurea, seu methodus datis tribus terminis quartum geometrice proportionalem inveniendi, alia est simplex, alia composita. Nempe si tres duntaxat termini dentur. ut quartus proportionalis inveniatur; regula aurea est simplex: composita autem, ii quinque, aut septem termini dentur. ut Incognitus ipsis proportionalis detegatur. Exemplum num . praec. allatum continet regulam auream simplicem; compositae autem exemplum praebet haec e. a. quaestio: Florent i5oci per amnos 6 dant censeum flos Ho; ergo storent 8oo quot sor
nos dabunt pro censu intra 4 annos puos. Quaelibet aurea regula tam simplex, quam composita constat ex meris rationibus inter se tonnexis, quarum quaelibet seorsim considerata terminos habeat homogeneos, seu ejusdem generis rem designantes. Sic in exemplo nunc ao γ allato, continetur imprimis ratio Is r 8oo, cujus uterque terminus designat s renoscensum dantes; deinde continetur ratio 6: Α, quae est ratio annorum; denique si terminus quaesitus dicatur tertia ratio 45o: x est ratio florenorum censum constra tuentium. Rationem illam, quae terminum incognitum x continet, deinceps rationem quaesitam ; reliquas au
tem rationes, cognitas VocabimUS.
6. PROBLEMA XLIII. RUOIvere problemata R Euloe aurea simplicis.
RESOLUT. Imo. Terminus quaesitus vocetur x; tum eπ quatuor terminis, quos problema complectitur, efformentur duae rationes geometri eae ita, ut unam rationem duo termini inter se homogenei, & alteram itidem duci termini inter se homogenei interjectis duobus punctis constituant. Porro in ratione quaesita terminus. Incognitus x scribatur a dextris: in cognita autem ratione is terminus scribatur a dextris, qui adnexam habet quaestionem, seu cui in ratione quaesita terminus incognitus x respondet. e. g. Proponatur problema sequenS: a urna vini venduntur 3 forenis, ergo 6 umcae quot formis veniunt 8 Imprimis quaesitus florenorum nu-
196쪽
merus dleatur x. Porro termini a & x sunt inter se homogenei: nam uterque florenos designat: itaque efformetur ex iis ratio, ita ut x a dextris sit; seu seribaturs: x. Reliqui duo termini a & 6 itidem sunt inter se
homogenei, nam uterque urnas vini designat: est autem quaestio termino 6 adnexa; quaeritur enim, 6 urus vini quanti veniant: itaque his ex terminis ita efformetur altera ratio, ut terminus 6 dextrum locum occupet, ae proinde scribatur a: 6. Hoc pacto duae rationes geometricae obtinebuntur, scilicet ratio quoesta 3: x, & altera cognita ad 6. ado. Si aliquis terminus in alterutra , vel utraque 'rationo fuerit compositus ex diversae speciei valoribus,e. g. ex florenis & cruciferis; is terminus, nec non ejus homogeneus, vitandae confusionis gratia reducatur ad valorem speciei infimae. e. g. Proponatur problema se quens et I remo -- 24 cruciferis emuntur a Iora Iachari, ergo 3 formis quot libra emi possunt 8 In hoc problemate ratio florenorum est haec, I. stor. - - 24 crucis .: Astor. hine quoniam hujus rationis antecedens est compositus ex florenis, & cruciferis. uterque ejusdem rationis terminus reducatur ad cruciferos, scribaturque, cru-
eis. 84: 18o. Si autem hoc e. g. problema proponatur, a urna vini venduntur 3 forenis, a4 cruciferis, ergo 6 urna quot forenis emenda emunt y in ratione quasta loco 3 sor. ag cm f. scribantur ao cruciferi, & litera x itidem numerum cruciferorum deinceps designare in tel ligatur,itio. Investigetur, num ratio cognita respectu qua stoe sit directa, an inversa I9 I) . Scilicet sedulo ex
pendatur, num ea res, cujus duas diVersas magnitudianes exprimunt duci termini rationis quota. crescat, an decret cat crescente re illa, cujus duas diversas magnit dines exprimunt duo termini rationis cognita. Si hactre cresente. illa quoque crescat; ratio cognita respectu quaesitae est dii Em: inv/rsa autem, si una dictarum rerum crescente, altera decrescat. e. g. In eAemplo regulae Ima subnexo sic Tiro s
eum ipso r Ratio 3:x es ratio florenorum pro vini urnis numerandorum. 9 ratio ae 6 est ratio urnarum, praquibus florent illi sunt numerandi: jam vero quo plures
197쪽
ureae emuntur, eo plures flarent funt pro iis numerandi; ergo ratio ae 6 es directa res ectu rationis qu ita A : x. Item detur sequens e. g. problema e certa pecunia Iumma pro diurna 6 operariorum mercede si cit per dres 4; ergo eadem pecunia sumnia pro diurna Ia operariorum mercede per quot dies Iussciet p Hoc in problemate per Teg. Imam duae hae rationes reperiuntur, 4: x, & 6: Taisti licet prior ratio est ipsa ratio quasta dierum, altera est operariorum. Itaque sie porro secum ipso Tiro rratio 4: x es ratio dierum. quibus certa pecunia sumina pro diurna operariorum mercede si cit, re ratio 6: et aes operariorum illorum, pro quorum diurna mercede,
certa illa pecunia summa per aliquot dies iusscit: jam v
ro quo maior est numerus operariorum, eo paucioribus
diebus suincit eadem pecunia summa pro diurna 'sorum
mercete, adeoque crescente operariorum numero dictus
dierum numerus decrescit: ergo ratio 6: Ia es inversa omparate ad quastam rationem Φοῦ κ. to. Si ratio cognita deprehendatur esse directa r spectu quoim; connectantur eae rationes interjecto i sis signo m; ut essiciant proportionem : at ratio quaesita a dextris scribenida est, ut terminus incognitus πsemper iit quartus Proportionis terminus. Sic in exemplo regulae Imae subnexo, rationes a: 6 & 3: x qu
niam prior est directa respectu posterioris hoc modo
seri antur, a: 6m3:x. Sin autem ratio cognita r spectu quaesitae inversa suerit; eadem ratio cognita in- Vertatur. ut e X ejus antecedente sat consequens. & vicissim, ac tum primum eum rationE quaesita interjecto figno eonn ctatur aoi . Sic in exemplo regulae Attoe subnexo vid us, rationem cognitam 6:1a esse in Versam respectu quaelitae r x; itaque invertatur priuaratio illa cognita, ut sit Ia: 6. actum primum Conn ctatur cum ratione quaesita: hoc est, haec efformetur proportio, Iaz6 4ra .
sto. His peractis redueatur siquidem fieri possit
proportio ad terminos simplieiores. Nimirum dividatur imprimis uterque primae rationis terminus per communem a liquem si adfuerit divisorem ira): deinde possunt etiam antecedentes proportionis per commu-
198쪽
nem csi habuerint divisorem dividi, quin mutetur proin
Dortio I ψ . Juvat hic recolere num. 46. Schol. Sic in proportione 2:6- A: x, quam pro e Nemplo regulae imae subnexo in reg. ψta determinavimus, uterque primae rationis terminus potest dividi per 2; quo 1 acto ea proportio in hanc simpliciorem abit. 1:3 Mx. Item proportio Tad 6 d x quam In eadem reg. Λta pro exemplo regulae 3tia subnexo determinavimus urimam rationem per 6 dividendo abit in hanc, ar I 4: x; haec autela, antecedentes per a porro dividendo , demum abit in hanc simplicissimam. 1: I-a: x. . 6to. Demum inveniatur valor IncognitI termini x,
multiplicando proportionis medios inter se, & factum divinendo per terminum primum 166). Sic in proportione 1: m 3: est x m9; &-proportiona Ir
EXEMPLA alia Regular Aurea simplieis. I. Ex certa viniisecie 24 fore uis emi possunt 4 limae;
eroo 6o formis quot urna poterunt emjyx per reg. Imam, rationes eNprimantur hoc modo: Hor. a z6o, Umia 4:x. Regula Ida hoc in ex emplo non habet locum . . a) Per rcg. viam investigetur, num ratio florenorum sit directa respectu rationis quaesitae. an inversa Sci icet Tiro hoc modo rat io einetur: d x es ratio umnarum vini emendarum. 9 24 : 6O es ratio florenorum, quibus tiruta vini emi debent: jam vero cre icente sormorum numerandorum numero crescit etiam numerus urn
rum emendarum; itaque ratio 24. 6o es directa rejpetita rationis quasta 42 x. Hinc 4 Per reg. 4tam haec sat proportio, 24: 6o m 4: me Transeatur ad reg. Gavi. Nempe proportio nunci
inventa, primam rationem per Ia dividendo, abit m hanc, a: 5 m 4ex; haec autem, antecedentes per a cli videndo , demum abit in hanc, Ir - 2. x. 6 Per reg. 6tam. in ultima hac proportione multi plicando medios terminos inter se, & factum dividen do per primum, acquiritur x- Io. Hoc est, ex dicto
vini genere 6o norenis emi possunt urnae Io.
199쪽
ΤΙ. Certa annonae quantitas 3et militibus sui it zodiebus ἰ ergo eadem annona quantitar I4 militibus quot
Scribatur per reg. Tmam, Milit. 32:a4, & Dies zor x. Tum per reg. 3tiam sic Tiro secum ipso: ao: x est ratio dierum, per quos certa annona quantitas militibus alandis susscit, re sar 24 es ratio militum, qaeibus ale dis annona per aliqκot cessuspicit: jam vero quo majores militum numerus. eo paucioribus dictus iussit iis alandis eadem annona quantitas; itaque ratio 3a: aε est inversa reisinu quastin rationis Io: x. Hinc invertenda est prior illa ratio, hacque formanda proportio, a4z Sa
m 26,-- Hoc est, dicta annonae quantitas 24 militibus
lassiceret per a6 dies, & praeterea arma die quilibet mi-
ales acquireret - partes portionis diurnae.
III. Ex sacharo et libra empta Iunis. I - 24 cr ris ergo 8 Iorre quanti veniunt. Scribatur: Libra a: 8; tum per reg. etdams T a4 crueis. reducatur ad cruciferos, scribaturque: C eis. 84: x. Jam quoniam crescente emendarum librarum numero crescit numerus cruciserorum pro iis numerandorum. ratio 2: 8 est directa respectu rationis 84: x; consequenter haec obtinetur proportio. a: 8 m 8 : x, seu primam rationem per a dividendo x: Α-84: x. V de x m 336 erucis. m s. 5, crucis. 36.uo . PROBLEMA XLIV. Resolaere problemata re-EuIoe aurea composta. RESOLUT. Inso. Attente audita semel problematis propositione, problema illud hoc modo in chartam con-yce: Proponatur E. g. sequens problema: Militibus siora carnis 1 suspiciunt per dies ao; ergo 15 militibus
200쪽
Carnis lib. Io or, Dies acie Tum alteram ejusdem problematis partem: ergo Is mia Iitibus &c. exprime complendo inchoatas homogene rum terminorum rationes, ut totalis expressio ut haec demum
dido. Quodsi cujuspiam rationis terminus alteruter, aut uterque compositus fuerit ex diversae speciei vat ribus, e. g. ex florenis, & crueiseris; fiat utriusque ter- mini reductio ad valorem speciei infimae, uti in reg. adanum. praec. explieatum est. Regula haec in assumpto exemplo non habet locum. 3tio. Stogulae rationes cognita cacis redueantur Gquidem fieri possit ad simpliciorem expressionem utrum rue rationis terminum per idem dividendo. Sic in as-nmpto exemplo licet primam rationem per 5, secun- dam vero per loci dividere: quo facto haec acquiritur
nova problematis expressio jam simplieior :Milit. 1: Acarnis lib. Ir 6
4to. Singulae rationes cognitae conlatantur laeeessive cum ratione quasta, ut innotescat, quaenam earum sit directa respeetu hujus, quae item inversa ao6. Reg. 3tia . Ratio quoesta erit aequalis rationi ex omnibus cognitis rationibus compositae aoo r at ita rationes illae componendae sunt, ut eae, quae sunt inversae respectu rationis au ita, prius inverti debeant setoa . Itaquae sngulae hujusmodi rationes inversae prius invertantur;
tum omnes Omnino rationes cognita componantur in unam, earum antecedentes inter se, & consequentes itidem inter se multiplicando: denique ratio composita scribatur pro prima proportionis ratione, & ratio qu:υ- sita interjecto signo m pro Ritura. e L