장음표시 사용
101쪽
P a o P o s et T, et Q L xviris. Si in duabus sectionibus AL, A Κ circa eam idem citavctruiPl AS descriptis, singulae ordia. naue OG , Q D qidem absci siae correspon identes, sint ubique in data r iton I ad Naetiam segmen ruin O A G. eripi adu alterum OAD , ut M ad Νων M.
UUmpta OP infinite parva: respectu abscissae o Ao, agantur ordinatae RT , PC ipsis. Q Gri OD infinite phopinqua: - de. Curv.e ulti . que circumscribantur parallel rationa OP FG , O P E D, ouae ps inae aequaliaa erunt a) tr periis O PT G, OP CD, ideoque parallui gramniurn OP pG erit ad aliud OPED, ut trapezium Ο PT G ad trapezium OP CD. Malparallelograininum OP FG in ad Miud o PEDi bin, ut OG ad Q D.ves scὸ ut M ad N 3 . ergo & trapezium O UT G erit ad trapegium o P CD , ut M ad N . Eandςm Ob causam ., Dupla P R ipsi PQ aeqqali, ductisque ordin iis RI, R v., .erit, trapezium,i P.RITs adi trais
ad Ν , α sc. sumpsiri, CUS. i& summa omnium trapeziorum , s quae it compstent segmenis tum O AG, erit seὶ ad. sinnisam totidem it pcZlorum , quae complent segineruum C A D, aut M ad N , ac proinde in eadem quoque ratione urit segmentum O AG ad alterum Om.
Si curvae AL, ΑΚ sint duo rami unius , ejusdemque curvae L Ax , tunc ratio OG ad JD, sive M ad N evadit ratio aequalitatis; ergo & fὶ segmentum O AG erit ad alterum
OAD in eadem ratione aequalitatis, ac proin de haec segmenta mutuo aequabuntur. Pa
102쪽
x pupcto O in axe AB, ordinetur ipsi OG, quae preducta semicirculuin secet in puncto D, eritque o G a) ad C L , ut o D ad CK , M s b) permutando , OG ad OD, ut CL 'di Κ, vel ut CL ad C A . Ducta patitet oid
natu alteta p. I , quae circulo occurrat in puncto V , etiam. RI erit ad R V, ut C L ad C A , se sic semper 3 ergo singulae ordinatae qll; pseogo IL erunt ad singulas ordinatas circuli A v KIn data semper ratione CL ad C A , ideoque etiam segmentum AGO erit ic) ad alictum A Do in eadem ratione C L ad C A: Simili modo ostendam , se mentuin etiatri lue Go esse
& suinma antecedentiuna, semiellipsis sc licet ALB , et it se . ad summain tonseqpcntium , nempe ad semicii culum A L Bl, ut unum antecedens , nempe AGO ad strum consequens ,
Hinc invertendo Iὶ , semicirculus ARBerit ad semiellipsin ALB . Di senii axis transversiis C A ad semiaxem conjugatum C L ', quapropter si pota esset quadratura semicirculi ΑΚΒ, etiam per regulam auream innotesceret quadratura semiellipseos ALB , unde una ab altera depcndebit. a r
103쪽
Υ κ. Si latere recto N R aequale axi transverso N Q. XIV. hyperbolae aequilaterae NM S, fiat ad eundem Fij. I. axem parabola NBF, & in hac sumpto quin libet puncto B , agatur B D parallela mi N in, quae hyperbolam secet in puncto M ,& conjugatum axem T L in D ; hyperbolicum spatium N CD M aequale erit rectangulo ex semiaxe transverso CN in parabolae arcum N B.
DUctis M Κ, B A , quarum altera ad hyperbolam , ad parabolam altera ordinetur ,
agatur EH parallela & infinite propinqua ipsi
DB, quae ex parabola abscindet infinitesimum arcum B I, quo producto usque ad axis occursum G , prodibit B G , parabolam tangens in puncto B . Denique huic tangenti ducta BP normali, jungatur N D. Quia subnormalis A P a 3 phe medietas sa) est parametri , aequabitur quoque r. a Pr, ipsi CN . Sed in triangulis PAB, NC D' ., his sunt b) etiam aequales AB, CD, & recti an- p. guli A & C t, ergo & aequabuntur se BP , Sed quia MK quadratum aequale est d ylia, phs rectangulo QIN , addito utrinque quadrato Cor. 2- Pr, C N, sumina quadratorum M K , CN , sive ' . , ν. C D, C N, hoc est se D N quadratum aequa- pr. 7. I r. bitur summae rectanguli in N & CN qu
wσ-i ergo aequales erunt etiam DN, DM , atquci I adeo etiam B P, DM . Porro cum rectus angulus P BI aequetur recto alteri A B M, ablato, hinc inde angulo ABI , ctiam reliquus PB A ιγ mr aequabitur reliquo M BI, aut huic h) alterno pr. angulo HIB. Sed etiam rectus angulus PAB aequatur recto IH B , ergo triangulum A B Perit
104쪽
dem modo constabit , singula hujusmodi trape- rzia, quae componunt spatium N CD M, semper aequata singulis re tangulis ex C N in sinoulas Coriespondentes particulas arcus N B; istitur totum spatium N CD M aequabitur rectangulo et ex Iemlaxe transverso CN in totum parabolae
Igitur quadratura spatii NCDM hyperbolae uilateri pendet a rectificatione, seu longit
dine parabolici arcus N B. COROLLARIUM II.
uiua si ex rectangulo CKM D auseratur, relinquitu rimentum hy-
C hQm NK quam quadratura segi venti
hyptabolae aequilaterae pendere debet a lectIsic tione parabolici arcus N B. PRoros Irio LYXI. Si eodem latere transverso AO , & lateribus AH describantur hyperbolae Ah,
non , a *rdines tur utrique curvae OV ; AGO erit ad se mentum alterum ADO, ut A E ad A v.
105쪽
1oa DE SECTIONIBUS ad AH. Sed -AE' est a) ad A V, in AV ad AH, quadratum AE est ) ad A V
quiaratum, ut AE ad AH; ergo se in εο qua, dratum OG erit ad quadratum OD , ut qua dratum A E ad quadratum A V , ideoque Oro1- nata OG erit su) ad ordinatam PD, ut AE ad A V . Si quoque ex altero puncto R agantur ordinatae RI, R F, etiam ordinata RI erit ad ordinatam R F in eadem ratione A E ad A V, & sic semper , ergo & segmentum AGO erit e) ad segmentum alterum AD O in eadein ratione AE ad AU.
Ouare si nota esset quadratura segmenti AD Iunius hyperbolae AD K , per regulam auream haberetur etiam quadratura segmenti AGO alterius hyperbolae AG L.
Quia dum latus transversum Asa aequale est lateri recto AH, aequilatera evadit per. bola AD K, consequens est, ut habita quadratura segmenti AD O hyperbolae aequilaterae , etiam detegatur quadratura segmenti AGO ab terius hypei bolae A GL. . COROLLARIUM PILUnde eum quadratura segmenti AD O hyperbolae aequilaterae ADΚ soleat dependere is, a redhiscatione arcus 'arabolfi, utique ab eademumque pendere debet quadratura segmenu
106쪽
SI ex punctis quibuslibet A & Η hyperbola T s.
MKG dueantur A E, BO parallelae asym- X lv. ploro uni C F , dicentur hae ordinatae asympi, Fu 3'to alteri CI, 8c rectae CE, C O a centro h Perbolae computatae, arabscisse appellabuntur.
Pa ovo orio LXXII. Ordinatae A E, BO asymptoto uni CI sunt Τλα inter se in ratione reciproca abstimarum, si- XIV.
ve AE est ad Bo, ut O C ad E C. F/s 3 DUctis ordinatis A L, B H asymptoto alteri C F, jungatur A B , quae asymptotos secet in S & V . Quoniam sunt sa) aequales BS, AU, atque adeo etiam AS, B V, erit A S ad SB, ut BV ad V A. Sed propter parallelas AE, BO , est ib) AS ad SB, ut AE ad ΒΟ, & ob parallelas ALs BA, est se) BV ad VA, ut B H ad AL: ergo etiam A E eritari ΒΟ, ut AH ad A L. Sunt vero d) aequa-las RH kOC, atquc AL, E C; ergo N A E erit ad Bo, ut OC E C.
107쪽
. - Quia AE est ad ut O C ad EC,
Eine m. parallelogramma ALCE , BHCO eirea aequales angulos E R O liabebunt latera rectis ι, , , pioce propo rionalia, ideoque s b) mutuo aequa-
Igitur junctis CA, CB, sector livperbolicus ACBK aequabitur spatio A E OB Κ. Nam quia parallelograivmum ALCE aequale est per sc) alteri BHCo, etiam triangulum AC E ' δ' ἡ dὶ aequabixur alteri BCO , unde utrinque n. 3..i., ablato trianeulo CRE, reliquum triangulum A C R aequale erit reliquo trapezio B R E O, quibus si addatur spatium AR BK, sector hyperbolicus ACBΚ fiet aequalis spatio AEOBK. PRor Osa Tro L XXIII. Ti,. Si in asymptoto una CI hyperbolae L ΚM sua xiv mantur tres abscissae continue proportionales pig. s. CE, CO, CV , ductisque ex E, O, Vcidem asymptoto ordinatis EA, OK, VB, alteri quoque asymptoto ordinentur B H, KR, AG prioribus occurrentes in P , Κ, T; junctae CP, PK, KT erunt positae in directum, seu recta erit linea CPΚT.
latera proportionalia circa . communem angin
M per lum C , ideoque similia crunt, & εὶ potitarx Μ' Ο circa eandem diagonalem . Sed est CP diag nalis parallelogrammi PH CE ; igitur CP Κerit diagonalis alterius ΚRCO, atque adeo
108쪽
CV , ideoque parallelogramma KRCO , 'ΤGCU cum habeant latcra circa communem . iangulum C proportionalia , erunt similia U &posita d) circa candem diagonalem. Vidimus ω autem rectam CPK esse diagonalem parallelm pr. 1 . M. granuni Κ R C O 3 ergo CP Κ T erit quoque diagonalis alterius T GCV , ac proinde haec linea recta erit.
In quovis parallelogrammo. ABDE diago a. males A D , B E mutuo se bisecant in puncto XIV. Concursus C. MI. Quia sunt parallelae AB , ED , angulus .
ostendam , angulum BAC aequalem esse ait xi C D E ; ergo cum reliquus. B C A aequetur f) reliquo DCE , triangulum ACB erit g) simile ECD, unde ut AB ad ED, ita erit is 3 pest AC ad CD, & BC ad C E. Sunt vero aequa. N. I. ε aes th) AB, ED ergo etiam aequabuntut M perAC, CD , nec non BC, CE , quapro-P ιε'' δ' pter diagonales Α D , B E mutuo se bisecantrix puncto C . .
109쪽
Taia si in asymptoto una CΙ hyperbolae LUM XIV. sumptis tribus abstinis CE, C O , C V in
s. eontinua proportione , ducantur EA, O Κ, U B eidem asymptoto ordinatae , spatia AEOΚ, ΚΟVB, quae binis proximis ordinatis, arcu, & asymptoto continentur, erunt
aequalia inter se. EAdem posita constructione quae in praece denti propositione , ducantur CA, CB, dc Iungatur ΑΒ , que occurrat ipsi K T in S. t. 3 p., Quia recta sa) eli linea CP ΚΤ, erit PT pr. ν3. diagonalis parallelogrammi Τ A P B , quae pro-cha per inde etiam hi secabit b aliam diagonalemum, N. AB in S , ideoque SC, quae jungit punctum . a pes S cum centro C, diameter esse sc j debet, cui
ζ.. . N. ordinabuntur lineae rectae omnes , parallelae
7 ipsi ΑΒ , & terminatae utrinque ab arcu hylerbolae ΑΚ B; unde segmentum K SA aequa. itur d) alteri ΚSB . Sed etiam triangulum cor. pr. - ACS aequale est e) alteri S CB, cum ambo sint aeque alta , & habeant aequales bases AS, S B , ergo & sector reliquus Α C Κ aequalis erit sectori reliquo BCK. Atqui sector laypedi fὶ per bolicus A C Κ aequalis est f; spatio AEO Κ, 0 P ' & sector pariter BCΚ spatio ΚΟVBI.
110쪽
Quare si ex centro C cujusvis hyperbolae T a. EIS sumantur in asymptoto uita CV abscissae XIV.C A, C B, C L, C D, C V in eontinua pro--ο porti ne crescentes , ductis AI, B M, L Κ , IJ N, HO eidem asymptoto ordinatis , cori spondentia spatia IABM, M BL Κ, Κ L D N , N DHO erunt aequalia aὶ inter se. a me
Cum ergo in asymptoto una C V utpote imfinita , possit proportio abscissarum per quotvis terminos continuari , etiam poterit assignari spatium hyperbolicum quantumvis multiplex alterius cuiusvis dati . Sic si quaeratur spatiunt quod sit quadruplum dati I AB M , ratio C A ad C B continuanda est per alios tres terminos
CL, CD, CH, & tunc prodibit spatium I AH O quadruplum b) dati I AB M. c. me
Igitur spatium hyperbola & asymptoto compreliensem, est magnitudinis infinitae , cum in eo possit spatium se) aliquod assignari , quod t. i p. st dati & fiesti alterius ΙΑBM quantumvis cor, a. multiplex, sive illo infinite majus.
Quare hyperbola EIS una ex togarithmicis curvis erit, in quibus nempe duae magnitudinum series sibi invicem respondentes haberi posisunt, quarum una procedit in geometrica, alia in arithmetica proportione . Si enim in asymptoto una CV sumatur series abscissarum C Α, CB, CL, CD &c. crescentium in geometrica proportione, tunc hisce correspondentia sp tia ΙΑBM, I ΑLΚ, I AD N &c. alteram dabunt seriem terminorum, crescentium in ariti metica d) proportione , unde haec spatia crunt ta pearotidem Logarithmi correspondentium absciss 3.