장음표시 사용
91쪽
resulae CV convertibilis circa V, alteri ve-m F haereat una extremitas fili FMC , dum manet altera adfixa ad regulae punctum C ;ea autem esse debet regulae longitudo , quae longitudinem fili cxcedat axe transverso AB. Tum ope styli M adducto filo ad latus regulae CV, & juxta ipsum tonso , circumagatur re gula, & intcrea filum tencatur semper regulae applicatum t dico, laoc styli motu quaesitam h perboIam designari. Cum enim differentia rectae C V a summa binarum F M , M C aequalis sit aὶ per saὶ axi transverse AB, utique hinc inde ablata hyP' MC, differentia reliquarum V M, MF eadem semper erit, 3c quidem aequalis axi transverso
. ., P A B, quod competit, b) soli hyperbolae.
Τλη. Inclinatae ex soc;s VR, FR ad quodlibet pun-XII. ctum R ellipseos aut hyperbolae continent - 3 rectangulum VRF aequale quadrato semidia- . . metri H C, conjugatae alterius RC.
Icta tangente RI, quae occurrat axi trans veris Q N in G, coniugato autem AB in M, agatur ex centro C recta CI parallela inclinatae V R, conveniens cum tangente in
puncto I, 8c jungatur FI, quae perpendiculat. γ ν-, ris scin erit tangenti RI. Cum itaque rectaeor. x. pr. sint anguli FIM , F C M, utique si supra F MΤ a, νε, diametro circulus describatur, ipse transibit d pr. r. l. . per i & C, unde angulus I CF aequabitur se per IM F, ideoque illius consequens I CG aequa's, bis bitur fὶ hujus consequenti FM R. Verum pr.ra. t. ob parallelas VR, CI, angulus I CG aequa si per lis est g) RVG ; ergo & angulus RUGO VI i- . aequabitur FM R. Sed etiam angulus VRS ba me aequatur ib) angulo F RM; ergo triangulum
92쪽
RM erit, ut GR ad RP, atque rectangulum N o v RF b) aequabitur GR M. Sed hoc aequa- ιγ pistur scin quadrato semidiametri CH, conjugatae Pr.3GLs. alterius R C ; ergo etiam rectangulum VRF , ,..y'
eidem quadrato aequale erit. PROPOSITIO LXI.
In ellipsi aeque ac in hyperbola ordinata ex so- τλα co ad axem F R medietas est parame- XII. rei ejusdem axis. FQ. . R
DIJctis conjugato axe I P , & parametro BZ axis transversi BA, producatur RFin T. Quadratum C B est dὶ ad quadratum petr CI, ut rectangulum BFA ad quadratum ordi P ' ῖς' natae FR. Sed rechangulum BFA est arquale se) quadrato CI; ergo CB quadratum erit t. per ad quadratum C I, ut idem CI quadratum ad def. rs. quadratum FR, & f) CB erit ad C I , ut si per eadem C I ad FR, sumptisque duplis omnium P ὶ ο terminorum, erit B A ad I P, ut eadem I P ad RT. Sed etiam B A est fg ad I P, ut eadem I P ad parametrum BZ; ergo RT erit par pr. αmctro BZ aequalis, ae proinde FR medietas αi i
. Quia rectangulum BFA aequatur hin qua- vi in P drato CI, seu quartae parti si rectanguli ex Tis .Faxe AB in BZ, utique etiam aequale crit rein cor 1. Pr.
93쪽
Τλα Si per punctam E ducatur recta M N p XII. rallela ordinata: RF, vocabitur recta M N Diarectrix ellipseos aut hyperbolae.
. Igitur demissa ex R perpendiculari R Q ad dia rectricem, erit FR ad RQ, ut CF ad CB. φὶ r Cum enim tequentur sc) RQ , FE, sitque
eor. a. m. erit ad R Q, ut C F ad C B.
T a. Si ex quolibet puncto H ellipseos aut hyperbo, XII. lae ductis Η Κ, H F , quarum altera stir no Fig. o. γ. malis axi ciansverso AB , altera tendat ad
proximum secum F , sumatur BL ipsi H Faequalis ; erit CL ad CK, ut CF ad CB. . DUcta HV ad alterum focum V , centro H & radio H F fiat semicirculus M F N , ipsi V H occurrens in M sc N, atque iterum ἔν permi ΑΒ in O. Quia VF dupla se) est CF, cor N IT & OF f) dupla ΚF, crit g) VO dupla, di ty,. ipsius C Κ . Pariter cum V N sit in ellipsi
I per aequalis smamae inclinatarum VH, H F, aut Ττοῦ differentiae ipsarum in hypcrbola , sive axi ΑΗ pr. sy. h) aequalis, utique V N dupla erit CB. Sedi Per etiam MN dupla est H F vel BL si) , ergo de C DYVM dupla erit C L . At propter circulum Cor. 1. Pr. MFN, rectangulum NVM aequale ) est
94쪽
V N, igitur sumptis earum medietatibus, etiam C L erit ad C Κ, ut C F ad C B.
Si quatuor rectae fuerint proportionales, dif- Υια serentia primae a tertia erit ad differentiam seis XII. cundae a quarta , ut prima ad secundam , vel rii. 4.s. ut tertia ad quartam.
Fig. S., convertendo seὼ autem in altera, erit is. l. s.
Si ex quolibet puncto G ellipseos aut hyperbo- ΤAB. Iae ducta G H normali ad directricem , ag XII. tur GF ad proximum focum Ff erit FG ad A suGH, ut CF ad CB. DUcta ordinata GK , quae parallela erit ipsi R F, atque adeo etiam s.lὶ directrisci, sumatur BL ipsi GF aequalis . Quia RE ha persectionem tangit in R, erit sh C F ad C B, mr Pr ot C B ad C s. Sed C L est ad C Κ, ut si) i a me C F ad CB; ergo etiam C L erit ad C Κ, ut pr. 6a. CB ad CE, unde quatuor rectae CL, CK,1 αν, C B, C E erunt proportionales , ideoque ) G per L B erit ad KE, ut CL ad C Κ, vel ut CB -Α- ρο-
ad CE , aut lj ut CF ad CB . Est autem iis, in L B ipsi FG mὶ aequalis, & n) KE ipsi p. GH; ergo & FG erit ad GH, ut CF ad . 'in C
95쪽
Hinc producta ΚG in Ο , ubi conveniat cum tangente, erunt aequales FG , ΚΟ. Nam
, '' Iisdem manentibus, tangens B S ducta ex ver-ke - uce axis B, aequalis est rectae BF, distan- ha per xiae nςmpe ejusdem Verticis a prox,
99 per Hinc ducta ex vertico alio A tangente AD, qu e n D conveniat cum ER, ctiam aequa pr. tr. buntur AF, A D. Cum enim rectangulum exc 2 per ΑD in B S sit pars quarta rectanguli sqὶ ex ς0 Py' AB in BZ, aequabitur etiam quadrato CI cr), V per aut rectangulo AFB f), unde AD erit se ad AF , ut FB ad BS. Sunt vero aequ-
96쪽
De areis trium sectionum coni . , , PROPOSITIO LXU. Si in quavis sectione conica VAR , cujus Τ a. diameter A O , capiatur F G infinite parva XIII. respectu abscissae AG, ordinenturque infinis rite propinquae GP, FS; hae pro aequalibus sumi poterunt , hoc est proxime aequabum
O a curva VAR spectari potest velut poe
lygonum ex infinitis atque infinite parvis Iaterculis rectis constans , utique infinite parvus arcus S P ex his lateribus unum erit, idemque PS producta usque ad diametri occur 1um H, poterit accipi pro tangente curvam in puncto P . Igitur ducta ST parallela lateri H G trianguli PH G, erit b) T P ad GP, s. με ut ST ad HG, sive se)ut FG ad HG. V Px rum cum sit F G infinite parva respectu A G dὶ, pejmulto magis ei it infinite parva respectu HG, P 4-l- ergo & TP infinite parva erit respectu G P. yyy Sed quantitas infinite parva absque errore ne- igligi tuto potest respectu quantitatis finitae, cu-jusinodi est G P ; ergo proxime erunt aequales GP, CT, atque adeo etiam se GP, FS. t. per
97쪽
' Si quoque cx alio puncto M supra verticem A accepto, agatur M E parallela ad ordinatas FS, GP, inde vero ex S & P ducantur Sin, PK diametro parallelae, & cum M E convenientes in Q& Κ; hae quoque proxime aequa p. 3 p. buntur . Producta enim FS in L, erunt a pr. 34. s. . aequales F G, L P, atque M G, K P. Est ve- ιν per ro FG infinite sbὶ parva respectu AG, atque hyP- adeo multo magis respectu MG; ergo & LP infinite parva crit respectu P Κ, ideoque L Κ, . per ΡΚ , sive scin Sin, PK proxime aequa-
34. I. buntur. . COROLLARIUM IL
Circumscriptum parallelogrammum GFLPproxime aequale erit inscripto alteri GFST .is, Ouippe parallelogrammum GFLP est d) adn. t. aliud aeque altum G FSΤ, ut GP ad GT, . 3 p. sive ce) ut GP ad FS; ergo cum lue proxiine Pr, 3 -lt sint aequales, etiam parallelogrammum hises . GFLP proxime aequabitur alteri GFST..
I) per Quoniam rectae PK, SQ , sive si in P Κ, Π 3Α 'L Κ proxime sunt h) aequales, ctiam circumtor. a. scriptum parallelogrammum QT P Κ proxime aequale erit inscripto alteri OILK.
Ouia parallelogramma GFLP , GFST magis differunt inter se , quam a trapezio ἐὼ per GF SP, sequitur quod si illa proxime sunt si in
m aequalia , multo magis alterutrum eorundem proxime aequalc erit trapezio G F S P. COROLLARI Un V. Simili modo liquet, alterutrum ex parallel
98쪽
si ex quolibet puncto P parabolae QA R agan- T Etur PF, PT, quarum altera tendat Ur - xi1Lcum F, altera sit normalis ad directricem; FQ. a. spatium D AC PT duplum erit correspondentis sectoris A F P C.
proxima ipsi FP, erit arcus PH infinite parvus, ideoque sa) haberi poterit Velut recta, ., mquae si producatur usque ad axis occursum L, pr. M. continget curvam in puncto P. Agatur denique recta HE aequalis & parallela ipsi P Τquae directrici occurrat in puncto S, ordinatae autem in G, junganturque ET, FT. Parali logrammum PHET habet communem basim H P cum triangulo P F H , & quia F T nota maliter ibin & bifariam scin divisa est a tan- ιγ ingente P L in I, erit TI altitudo parallelogram- cor. 3. Pr- mi PHET, & FI altitudo trianguli PFH; '' , se, ergo cum sint d) aequales TI, FI, paralle- cor. a. n. Iograminum PHET duplum se in erit trianguli '. Ρ F H. Sed parallelogrammum PHET aequa- idein e tur f) alteri P GST aeque alto & eiusdem P hasis , ergo & parallelogrammum PGs T sive νζ'trapezium g) PHST duplum erit sh) trian-N. u. t guli pFH. Pari modo constabit, sngula hujusmodi trapezia quae complent latium DACPT Q. sempcr dupla esse singulorum triangulorum com ch respondentium, quae complent sectorem parabωρ '' 'lae AF PCi ergo & spatium D AC PT dmplum erit sectoris A F P C. P a
99쪽
PROPOLITIO LX VILT ae Iisdem manentibus, si jungatur ΑΙ, quae imxIII. PT occurrat in puncto U , segmentum pa- Fig. a. rabolae OA CP erit ad circumscriptum rectangulum OΑVP, ut a ad 3. c., pes c Uoniam est AI ipsi sa) AD normalis , Cor. Α- Π rectangulum erit DAVT . verum hoc φ' rectangulum & triangulum Α P F habent aequa- ιγ pertes b) bases AD, AF , aequalesque pariter -- - iςi altitudines ccὶ VA, PO; ergo rectangulum' ἡ) per D AVT duplum d) erit trianguli A P F. Si Pr. 34- ergo D AVT austratur cx spatio D A C P T,-. o. D.& Α PF ex sectore AF PC, remanebit sp, c. per lium A CP V duplum s e) spatii reliqui A P C .Pr- 66- Haec autem spatia simul sumpta compicnt trian- per gulum A VΡ, vel f) A O P r, ergo triangu-r i δ' thun AOP triplum crit. spatii AP C, ideoque segmentum OA CP erit ejusdein quadruplum, atque rectangulum OAUP sextuplum ejus . erit. Rectangulum itaque OΑUP erit ad segmentum parabolae ΟΑCP, ut 6 ad 4, 13 per sive ut 3 ad a , & invertendo g) segmen- schol. pr. tum ΟΑCP erit ad rectangulum OAVP .
36. l. I ut et ad 3 COROLLARIUM L
Quia segmentum parabolae OA CP est ad circumscriptum rectangulum OAVP, ut aad 3, estque a aequalis duabus tertiis paxtibus ipsus 3, etiam segmentum parabolae O AC Paequabitur duabus tertiis partibus circumscripti rectanguli OAUP,. atque adeo dabi cur area, sivc habebitur quadratura: segmenti paraboli
100쪽
Hinc si divisa ordinata OP in tres partes Τλα aequales OB, BC, CP, agaturAx C. recta XIII. CD parallela ipsi OA vel P V, erit rectania Fu. 3 xulum O ADC aequale duabus tertiis parithus sa) rectanguli OAVP, aut segmento pa- ὰM
Quare ducta quacunque alia ordinata F G, tu, μ. ' habebis quadraturam spatii OFGP, si factum ex AF in duas tertias partes rectae FG , aus Tas ex producto , quod oritur multiplicando Ao per duas turtias partes alterius rectae Ori
Si singulae magnitudines AB, BC, CD fuerint ad singulas EF, FG, GL in data ra- A tione M ad N ; etiam illarum summa AD erit ad harum summam EL in eadem ratione M ad N.
ad EF, ut B C ad FG. Pari modo ostendam, esse BC ad FG , ut C D ad GL ; ergo a pisomnium antecedentium sumina AD erit ss)rr M.t s. ad omnium consequentium summam EL , ut sti' antecedens unum ΑΒ ad consequens sium EF, '' ' sive ut M ad N.