장음표시 사용
81쪽
r- P dratis C F, CD, ergo exectas quadratorum CA, CB est aequalis excessui , quo tria quadrata simul CN, CL, MA differunt a tribus quadratis simul CF, CD, c; B. Sunt ve- ιν p.r ro in aequalia tum quadrata C N, G B, tum pr. 34. l. i. etiam c) M A, CF; ergo demptis bisee aequa hii l y sibus , excessus , quo tria quadrata disserunt a tribus quadratis, aequalis erit exc Mi quo quadratum CL dissert a quadrato CD, ideoque huic excessui aequalis quoque erit excessus quadratorum C Α, CB. P o s in I n LusTAa. Ins1 per vertices duarum diametrorum conjMata. μg. 6. rum AI, B R agantur quatuor contingentes :TAa. X. parallelogrammum illis contentum aequ/le erit rectangulo, quod conficiunt aliae quatuor contingentos. ductae pet vatices axiqm LS.
REctae ΑΗ, ΒΚ, quae curvam laingunt in Α & β , conveniant mutuo ad punctumo, reliquae vero tangentes LP, DP demi tantsibi ad punctum P, & juncta BH, comple tur rectangulum C N Q H . Itaque cum A sucurvam tangat in puncto A , sitque AF oldi per nata axi E D , erit sd J C H ad C D. ut ea-
pr. 16.l-6. ambo habeant communem balim CH, sintque
82쪽
inum C A OB . duplum est in ejusdem trian. lal perguli C B H , cum habeant ambo commpnem ω'hasim CB, sintque inter parallelas AH, CB; ergo parallelograminum C AO3 aequale erit rectangulo C N H , aut sibi aequali alteri C L P D . Sed parallelogrammum C A O B est 'quarta pars ejus quod comprehendunt quatuor contingentes , ducta per vertices diametrorum coniugatarum AI, BR , 3c rectangulum C LP D est quarta pars ejus quod continetur quatuor contingentibus , ductis per vertices axium LS, ED, ergo & parallelogrammum contentum primis quatuor contingentibus , aequale erit rectangulo , quod essiciunt reliquae
CAPUT XI. - Se foris aut umbilicis ellipseos σ h
SI in axe transverso B M ellipseos qui hyper- τA8. Tobolae ita accepta tuerint duo puncta F& V, ut singula rectangula BFM, BVM aequalia sint quadrato semiaxis coniugati: C G , puncta F & V voeabuntur Foci aut Umbilici ellipseos aue hyperbola: .
Doctrina socorum ellipseos mirum in m 'tum confert ad Solis systema percipiendum . Constat siquidem ex Ne tono . circa Solem Planetas singulos ita ferri, ut orbitae eorum totidem sint ellipses , fixo manente Sole in uno , communique illarum soco . Idem de Cometis respectu Solis , deque secundarus
83쪽
Planetis relate ad suos primarios est direm
P novos ITIO LVILTAs. X. Si super axe transverso BM ellipseos aut hyperabolae fiat semicirculus B L M, qui a tangente A E secetur in S & L , tum vero ex libsce punctis agantur S F, LV perpendicul, res ipsi A E, & occurrentes axi in F & V ;lxec puncta erunt soci aut umbilici.
rectis verticalibus tangentibus B H, MR, quae erunt saὶ axi BM normales, jun- cor Pr ganrur F H, F S, F R, aganturque chordae S B, SM. Quia recti sunt anguli b)HBF, HS F, ebhst . utique circulus diametro H F descriptus, tranta. O perbit se) per B & S, unde angulus B SF aequa- ',2 ' bitur sd) BH F. Pariter cuin sint recti se pr. 11. lin anguli F M R, FS R , circulus diametro F R. M per deicriptus, transibit f) per M & S, ideoque fimis angulus MSR aequabitur st) MFR. Sed pr. 3r. l 3. propter rectum h angulum B S M aequalem recto alteri FSR, angulus B SF aequabitur hi νε, M S R ; ergo & angulus . BHF aequabitur MFR. Sed etiam rectus angulus H B F aequatur recto alteri FMR; ergo triangulum B H Fci per erit si) simile FRM, 8c BH erit ad BF, uePr 6 i ε' F M ad MR, atque rectangulum ex BH in hi pes M R aequabitur alteri BFM . Atqui rori. r6. l- s. ctangulum ex B H in M R aequale est st) qua , Ly rae parti rectanguli ex transverso B M in ejus
cma per parametrum, sive quadrato m) semiaxis conj Pr gati CG ε ergo etiam rectangulum BFM eiadem quadrato aequale erit , atque adeo laeus .apes erit n) in F. Pari modo constabit, alterum
f. 13. lacum esse in V ; igitur soci erunt in F & V.
84쪽
Hinc foci F fc V aequidi stabunt a centio C. Demissa enim ad A E perpendiculari CO, ouae genti A E, atque ita mutuo c) parallelae, distin
Si ex aliquo puncto A extra circulum M F D dhinoua 'ductis tangente Α F, & per eius centrum se- ΤAB. X. cante AD, in hanc demittatur perpendicularis F g. q.
FB; erit AD haemonice secta in B & M, sive DA erit ad A M, ut D B ad B M . . Ex D & M agantur tangentes D G , ME, quae erunt f) respective aequales ipsis GF, t f) μFE, & parallelae sa) ipsi FB, atque adeo h) -- ri fetiam inter se. Ob parallelas ergo D G, ME, erit sit DA ad AM, ut DG ad ME, aut ut pr. L. C
Si ex aliquo puncto A extra circulum MFD lemg. ductis tangente AF , atque per eius centrum cυ secante Α D , cui perpendicularis sit recta FB , Tie xagatur quaelibet recta AR , occurrens ipsi FB sis. in I, & circulo in H 6c R ; crit A R harmonice secta in H & I, sive R A erit ad A H, ut R I ad I H. Prqducta FB in L, super H R diametro fiat semicirculus HOR, & erecta Io perpendic laii ad HR, jungatur AO. Quia OI quadrarum aequatur m) reetangulo HIR sive in) ηνὰ etiam alteri FIL, duo quadrata simul OI , IB aequalia erunt rectangulo FIL una cum cc per quadrato IB. Sed quia FL bifariam secta so PDiles
85쪽
a per F1L una cum quadrato I B aequatur a j qua- Π i - irato FI ergo duo quadrata simul ΟΙ, I Baequantur quoque quadrato FB, & addito hinc inde quadrato A B, tria quadrata simul OI, ιγ per I B, AB, sive s bin duo simul OΙ, ΙΑ aequa-rx lia erunt duobus FB, BA. Iam vero duo qua- ὸν per drata OI, IA aequantur sc) quadrato AO , Ra -. & duo quadrata FB, BA quadrato Α F; ergo aequalia erunt quadrata AO, AF. Porro AF d) per quadratum aequatur d) rectangulo R AH; eta pr. 36-Ι-3- go & A o quadratum eidem rectangulo aequa- 'πι--ἡ te crit, atque adeo se9 tanget in O s n. 3ν. II micirculum i H O R, quem secat AR ducta percius centrum . Est autem OI pcrpendicularis
x per LAMMA III. 3ς S ex quolibet puncto A cxtra circulum TAB. X. V KF ductis tangente AF, atque per ejus ce
Fig Ο trum secante ΑΚ , cui perpendicularis sit rocta F B, agatur A E parallela ipsi, FB, & jungatur EB, circulo occurrens in O & Ri erit E R harmonice secta in O & B , seu R E erit ad Eo, ut RB ad Bo. Ductis RG, RA, quarum altera parallelast ad F B, altera cam secet in pulicto I, ct i culum vero in H, jungatur H Ο, quae paral- h) per tela crit ipsi FB. Nam si non ita , sit eidem pr. γ7-l FB parallela alia H V, quae fecta erit sh9 no maliter, Zc si) bifariam a diametro LΚ in P. per Cum ergo RG, HS parallelae sint ipsi FB,
Pr 30 i erunt etiam tb) parallelae inter se, unde oberi 'l. z. triangulum G A R lin simile P A H, erit G R
86쪽
Si ex socis F & V ad quodlibet pune lain Ε τε2. xuellipseos aut hyperbolae inclinentur F E, V E; ducta A E tangente curvam in puncto E , angulus VEL semper aequalis erit alteri FE A. t
SUper axe transverso B M descripto circulo B L M, qui occurrat tangenti in S & L, jungantur F S, L V, quae perpendiculares erunt d) tangenti A E, atque ita mutuo se) parablelae. Deinde ex puncto E Ordinetur axi ΕΙ, qua producta in ellipsi donec circulo in O o Currat, jungatur A O, quae circulum f) in Otanget I at in hypcrbola ducta A O parallela ordinatae EI, jungatur Io, quae circulum tanget u) in puncto O. Quia est A L harmonice secta h) in E & S, erit L A ad AS , ut L E ad ES. Verum ob parallelas Sp, LV, est si in L V ad S F, ut L A ad AS; ergo etiam L V erit ad S F, ut L E ad ES, & b)permutando, L V ad LE, ut S F ad ES . Sunt autem recti sive aequales anguli L, S; ergo triangulum ELU erit si) simile ES F, ideoque angulus UEL aequabitur alteri FES vel FE Αω d) per
87쪽
T s. XI. Hinc si candelae lumen collocetur in soco Fex quo incidant radii in ellipsis concavitatem, ipsi ita reflecti debent , ut colligantur omnes in altero foco V . Constat siquidem ex Cat ptrica lucis radium sic reflecti, ut angulus re flexionis sit aequalis angulo incidentiae ; unde
si radius incidens sit FR , ipse ita reflecti d
bet , ut cum tangente LRA faciat angulum reflcxionis aequalem incidentiae angulo FRA.ta per Id vero non obtinetur, nisi reflexus radius sa sit R V ; igitur tendet ipse ad alterum socum V . Contra si in V collocetur candelae fax , tunc reflexi radii ab ellipsi , pergent omnes ad alterum secum F , ibique ignem', ob eorum
concursum mutuum, excitabunt. En igitur rationem, cur puncta F & V vocentur foci ellia
Quod de lucis radiis hactenus demonstravi, etiam in radiis phonicis habet locum . Nempe si os loquentis collocetur in foco F, tunc radii phonici, veluti F R, F Κ, in eavitatem elislipseos incidentes , reflectentur ad alterum cum V, unde ibi intensior fiet sonus . Hinc sicubiculum construatur , cujus horizontalis soctio sit ellipsis , tunc positus auris in uno inco , perinde audiet submisitis voces loquentis in altero, ac si proximus ipsi soret.
Si inclinatae ex focis V R, F R producantur in G & S , angulus S R L aequabitur ιν per GRA. Nam angulus S RL aequatur bin an- ρο- s.l-i, gulo FRA, & angulus GRA alteri VR L. G rra Sed angulus FRA aequalis se) est ipsi VRL; ergo & angulus S RL aequabitur GRA. Quore si radius S R ita in convexitatem ellipsi cadat , ut vergat, & sirigatur ad lacum F ,
88쪽
reflexus erit R G , qui verget, ac dirigetur ad
alterum focum V.COROLLARIUM IR. Si vero hyperbolam tangat HL in R , & τ . . inclinatae ex socis VR, FR producamur in G & S, angulus S RL aequabitur u RH, &G R L alteri FRH. Nam angulus S RL aequatur sa9 angulo FRH. Sed etiam angulus t , ri
Hinc si candelae lumen collocetur in eo v, tunc Dmnis radius , ut V R, postquam inciderat in convexitatem hyperbolae A R M, ita rerufexus perget per RS, ac si veniret ex altero soco F. Et si candelae fax sit posita in foco F, tunc omnis radius, ut F R, ita a cavitate hyperbolae reflectetur, ut tendat postea per RG, quasi veniret ex altero soco V. Quare posita face in V, oculo autem in S, apparebit ejus amam in foco F, & posita face in F, oculo vero in G, illa apparebit in altero foco V.
. Pariter si omnes radii, ut S R, ita incidanean convexitalcm hyperbolae ARM , ut conve gant ad socum F, ipsi post reflexionem unientur omnes ad focum V. Et si radii omnes, veluti est G R, in cavitatem hyperbolae ita cadant, ut convergant ad secum V, ipsi post reflexionem, unientur omnes ad focum F, ibique ignem , ob eorum concursum mutuum , excitabunt. En igitur rationem, cur puncta F, V vocentur soci nyperbolarum oppositarum l
89쪽
h. XI. In ellipsi Binma inclinatarum FE, VE ad k4.1.6. curvae quodlibet punctum E , & earum di serentia in hyperbola aequatur axi transve so B M. SUper B M diametrum descripto circulo B L M, qui tangenti EA occurrat in S Ze, . L, jungantur F S, V L, quae erunt a9 ad pr. 17. rectos angulos ipsi EA . Denique juncta CL, producantur F E , V L donec conveniant ad . . punctum R. Quia angulus VEL aequatur b pr. 18. alteri FE A aut c)LER, & rectus angulus ς pςr E L V aequalis est recto alteri ELR, latus a W'δ 'μ' ' rem EL commune est triangulis E VL, ER L, d) μγ utique aequabuntur tum rectae d) EV, ER, Pr. 2 s. l. r. tum etiam V L, L R. Sunt se) vero aequales
4-l- ε. pla erit C L, aut aequalis axi transverso B M. - Pςy Verum ob aequales E V, ER, recta FR est in ' ' 'N' ellipsi summa. inclinatarum FE, EV, dc e rum disterentia in hyperbola ; ergo summa inclinatarum in ellipsi , & earum disterentia in hyperbola aequabitur axi transverso B M.
ἰγ in Quia vidimus parallelas esse ci)CL, FR,Mς Π aut FE; patet, quod si ex centro C ellipseos aut hyperbolae asatur CL parallela inclinatae ad focum FE, ipsa ita occurret tangenti EA
in L, ut sit C L semiaxi C B aequalis.
90쪽
Pariter cum C L occurrat tangenti E A in vertice recti anguli A L V; patet, quod si extentro C ellipseos aut hyperbolae agatur quae libet recta C L inclinatae F E parallela , quae conveniat cum rangente EA in L, inde vero ex L agatur ad proximum focum V recta LV , prodibit rectus angulus ALV.
Hinc ducta ad tangentem normali E T conveniente cum axe in T , erit V Α harmonice secta in F & T. Nam cum aequentur sa) Q per V L, LR, erit b) VLad FS, ut LR ad h.nc. Pr.
Hinc datis axe transverso A B & socorum Τ a. XL distantia FV, eli psis motu continuo describe- Fig. 7.tur. In socis siquidem F & V bini figantur clavi, ipsisque alligetur filum FM V, cujus Iongitudo sit aequalis axi transverso AB. Tum ope styli M tendatur filum , eoque tenso manente , stylus circumducatur , qui motu suo describet quaesitam ellipsim AMB. Quippe ex hac genesi curvae liquet, summam inclinatarum F M, V M ad quodlibet ejus punctum , semper eandem esse , & quidem arctualetri .
axi transverso ΑΒ , quod competit I9 soli,
ellipsi. hanc Pr. COROLLARIUM R
. Simili etiam motu hyperbola describetur, du- TAM ctis axe transverso AB, 5c socorum distantia XII.
FV. In focis siquidem F & V bini figantur FcIavi, in quorum altero V sit fixa extremitas F die