장음표시 사용
71쪽
riri n' est ad quadratum ordinatae FE, ut quadr
dratum aequale quadrato C O una cum rectari .
' ' ' gulo DEO. Pariter cum AT secta bifariam scin in Ε, & non bifariam in F, erit A E iis , is, quadratum aequale sdin quadrato FE una cum
R. s. l. a. rectangulo ΑFT, Hoc autem posito, sic ostenditur propositio. Quia est H O parallela lateri AE trianguli ACE, erit se in C E ad Co, ut i, a. n. A E ad Ho , & quadratum CE ad quadratum Co, ut fὶ quadratum A E ad quadrarum HO . sive ut quadratum A E ad sa) r lx mr ctangulum Ap T; igitur convertendo h) qu - dratum C E erit ad reliquum reelangulum m. r. pr. DEO, ut quadrarum A E ad reliquum quadratum FE , & i) invertendo , rectangulum s fibi. τ DEO erit ad C E quadratum, ut quadratum iis, l, s. F E ad A E quadratum , & denique perm σέ. . rundo, rectangulum DEO erit ad FE quadra. tum , ut quadratum C E ad A E quadratum , ut ut quadratum Co ad Ho quadratum . .
72쪽
In quavis hyperbola F Ο Μ quadrata rectarum T a. Ix. FE, Κ S, quae ordinantur diametro secundariae Do , sunt ut rectangulum D Eo ad aliud D SO.
quadratum , ut quadratum C O ad quadra-- tum H O. Sed in eadem quoque ratione est rectangulum DSO ad bὶ quadratum K Sue e ιγ mego rectangulum DEO erit ad quadratum FE eanssi e , ut rectangulum DSO ad quadrarum KS, a pes & dὶ invertendo , quadratum FE ad rectan-pr. H. Ls.
gulum DEO, ut quadratum K S ad rectam xl τgulum DSO, & permutando e) quadratum FE ad quadratum KS, ut rectangulum D Eo s. P ad rectangulum DSO. ye
Quia ut in diametro primigenia , ita & in qualibet secundaria quadrata ordinatarum sunt ;ut rectangula abscissarum ἰ patet , ea omnia quae circa paramutrum & tangentem ostensa sunt relate ad diametrum primigcniam , etiam habere locum in qualibet secundaria . Si ergo. fiat, ut rectangulum D E Ο ad quadratum ordinatae FE , ita Do ad quartam proportion Iem OL, haec erit fὶ parameter diametri se- is percundariae D O. Rursus si ex termino K cuius-ς vis ordinatae Κ S ducatur tangcns Κ Τ, con ' veniens cum diametro D o in T ; rectae C S, CO, CT erunt sa) continue proportio
73쪽
rie. i. est ad quadratum ordinatae FE, ut quadratum C O ad quadratum H Ο,
QVoniam D O blsariam saὶ secta est in C ,
aratum aequale quadrato C O una cum rectan .gulo DEO. Pariter cum AT secta bifariamst in E, & non bifariam in F, erit A E quadratum aequale sd quadrato p E una cum rectangulo AF T. Hoc autem posito, sic ostenditur propositio, Cirta est H O parallela lateri A E trianguli ACE, erit se in C E ad Co, ut A E ad Ho , & quadratum CE ad quadrarum Co, ut f) quadratum A E ad quadratum H O, sive ut quadratum A E ad fg ) r,ctangulum Ap T; igitur convertendo h) uu dratum C E erit ad reliquum rectangulum DEO, ut quadratum A E ad reliquum quadratum F E , & i) invertendo , rectangulum DEO erit ad C E quadratum, ut quadrarum FE ad A E quadratum, & denique perta tando, rectangulum D Eo erit ad FE quadrarum , ut quadratum CE ad A E quadratum , ut ut quadratum Co ad Ho quadratum . .
74쪽
In quavis hyperbola F Ο M quadrata rectarum Τ a. Ix. F Ε, Κ S, quae ordinantur diametro secunda- Fig. 1.riae DO , sunt ut rectangulum D Eo ad
aliud D S O. REctangulum D E Ο est saὶ ad ordinatae F E taὶ per
quadratum, ut quadratum C o ad quadra tum H O. Sed in eadem quoque ratione est rectangulum DSO ad bὶ quadratum K S, e ι mego rectangulum DEO erit ad quadratum FEe e), ut rectangulum DSO ad quadrammΚS, . hi m& dὶ invertendo , quadratum FE ad rectan-pr. H. i. .
E ad quadratum K S, ut rectangulum DEO l. 1 ad rectangulum D S O . - , N. GΙ. .
Quia ut in diametro primigenia , ita & in qualibet secundaria quadrata ordinatarum sunt, ut rectangula abscissarum ; patet , ea omnia quae circa parametrum 8c tangentem ostensa sunt relate ad diametrum primigcniam , etiam habere locum in qualibet secundaria . Si ergo. fiat, ut rectangulum DEO ad quadratum. ordinatae FE , ita Do ad quartam proportion Iem ΟL; haec erit f) parameter diametri s f percundariae D O. Rursus si ex termino K cujusvis Ordinatae ΚS ducatur tangens ΚΤ, conveniens cum diametro Do in Ti rectae CS,
75쪽
T. h. IX. Si diametro secundariae Do ordinetur quae i- s. a. bet recta F E, ipsique per centrum C agatur parallela Bb, quae sit aequalis tangenti ΗΡ, & bifariam secta eodem in centro C ; erit Bb diameter conjugata alterius D O.
. me Uadratum Co est sa) ad quadratum pr. 48- I O H , ut rectangulum D E O ad quadra- giletium FE. Sed etiam DO est sbin ad OL , ut 49. rectangulum D Eo ad quadratum FES ergo . . quadratum Co erit sc ad quadratum OH, j. 2I ut Do ad O L. Sed quia DO, H P hilariam d) per sunt d) sectae in C. & O, quadratum DO P ad quadratum H P, ut quadratum Co ad quadratum OH; ergo quadratum DO erit ad quadratum H P , ut Do ad OL, ideoque M per DO, H P, OL erunt te in continue proporti ΦUM P nales, & H P seu sf) Bb media inter DO, ID De& OL , erit diameter g) conjugata alte-
' hyper Quia quadratum C O est sh ad quadratum py- 63 OH, ut rectangulum DEO ad ordinatae F E i P quadratum , estque OH ipsi CB si) aequalis,h-ης P ' etiam quadratum semidiametri transverta Coerit ad quadratum semidiametri conjugatae C B, ut rectangulum DEO ad ordinatae FE qu
76쪽
Se fmpromatis principalibus ellipseos ct 0-
perbola relate ad varias diametros
conjugatas. . ., P Rosos ITI. LI.
Si recta AT , quae ellipsim aut hyperbolam ran T,,. Ig. git in puncto Α, occurrat diametro conjuga Fig. 4. s. tae E D in H 3 ducta A F huic diametro ordinata, erit CD quadratum aequale rectan-j, gula H C F.
A I L S, quadratum CL erit sa) ad quadra- sa p tum C D, ut rectangulum L M S ad ordinatae eor. pr.so. M A quadrarum . Atqui rectangulum LMSaequatur b in alteii T M C; ergo & quadratum ι per CL erit ad quadratum CD, ut rectangulum si TMC ad quadratum M Α, sive in ratione sc) .a piscomposita ex ratione T M ad MA seu T C cor a mad d) CH , & ex ratione M C ad M A mistu se) MC ad CF. Sed etiam rectangulum pr. q.
dem composita ratione , ergo quadrarum C L f) peterit ad quadratum CD, ut rectangulum TC Mad aliud H CF . Sed quadratum CL aequatur Ri' 'rectangulo . T CM ; ergo & CD quadratum r) aequale erit rectangulo F CF. . --
erunt continue proportionales. COROLLARIUM II.
Quia C D quadratum aequatur si) rectangu- ἰ prila H CF, utique dempto in Gipsi , & addito h-
77쪽
in hyperbola C F quadrato, ibi dictaentia hie a per summa quadratorum CD, C F aequabitur saὶ
Si quoque ex B ducta B Κ tangente , ordianetur B G diametro E D, etiam C D quadra- ι, - uarn aequale erit bὶ rectangulo KCG; er ohime pr.& rectangulum H CF aequabitur KCG , & CG Per cor. - erit ad CF, ut CH ad CK.
Ti,. Ix. si ex verticibus A & B diametrorum conjugatant rarum AI, BR agantur diametro tertiae E Dordinatae A F, B G 3 quadratum C G aequale erit rectangulo H FC. AGantur A H , B Κ tangentes curvam in Α & B , quae in punctis Η , Κ conve- perniant cum ED. Quia sunt parallelae id) ΑΗ, mr- 3- ρο- C Η , angulus A H F eὶ aequabimr BC Ga c. 3 pej Verum ob parallelas AF, BG, etiam angulus W-17-l.r- AFH aequatur f) alteri BG C; ergo triangu-
eor. . pr. eadem C G ad C F , atque C G quadratum 1 - aequabit n) rectangulo H FC.
isi per Hinc quadratum C G in ellipsi aequabitur o diistrentiae, de in hyperbola summae quadrat
78쪽
Quia C G quadratum aequale est sa) in eIIipsi disserentiae quadratorum C D , C F , sive b rectangulo EFD, si utrumque auseratur ab eodem C D quadrato , reliquum res ingruium t c ὶ E G D aequale erit reliquo quadrato CF,
Quia in hyperbola est CG quadratum seciu Ie sa in summae quadratorum CD, CF, ablato utrinque C D quadrato, reliquum se in rectangulum E G D aequabitur reliquo quadrato C F.
COROLLARIUM IRHine in utraque curva erit C F ad B G, ut C D ad C L. Quippe rectangulum E GDest D ad quadratum B G, ut quadratum C D ad quadratum CL . Sed CF quadratum aequale aὶ est rectangulo EG Di ergo CF quadratum erit quoque ad BG quadratum , ut quadratum CD ad quadratum CL, & CF erit
Denique in ellipsi summa quadratorum CF, CG aequabitur quadrato CD. Nam , quia CG quadratum aequale est ) rectangulo EFD, V peraddito utrinque quadrato CF, summa quadra- r. R. torum C F , C G aequabitur summae quadrati
79쪽
T a. u. Si ab iisdem verticibus A & B diametrorum Fig. . s. conjugatarum AI, BR Ordinentur quoque A M, BN diametro tertiar LSq, summa in ellipsi, & differentia in hyperbola quadratorum C M, CN aequabitur quadrato CL.
DUcta in ellipsi ordinata RV quae erit parallela ipsi BN, erit C v ad CN, ut
a, per si R C ad C B ; ergo cum sint aequales RC, Pr. q. t GCB, etiam aequabuntur C V, CN. Sed sum- b Pςrma quadratorum C M, CV aequatur b qu ' P ' citato CL- ergo & summa quadratorum C M, CN aequalis erit quadrato CL. In hyperbola vero cum sit S L diameter conjugata hyperbolae pqr D B, erit sc) C M quadratum aequale sumanae ς' ' Π' quadratorum CL, CN, unde utrinque ablato quadrato C N, differentia quadratorum C M,C N aequalis erit quadrato C L.
T a. IX. Si recta AT ellipsim aut hyperbolam tangens yl. 4 F. in puncto A, occurrat diametris conjugatis in T & H ; rectangulum H AT aequale critquadrato semidiametri CB, quae conjugata est alterius AC, auctae ex contactu ad comtrum C.
R Ectangulum HF C est ad rectangulum
H A T in ratione sdὶ composita ex ratio Id. L et 'ne H FadHA & ex ratione F C ad A T. Verum ob parallelas Α F, T C, ratio H p ad ., per H A est se in aequalis rationi F C ad A T; ergo i l si ctanguIum H FC erit ad rectangulum H A T ρ''' 'in ratione duplicata H F ad ΗΑ, sive ut qu -
80쪽
c) ad quadratum CB, ut quadratum H F ad Pr- 3 nuadratum H A; ergo & rectangulum H FC pe.M. l. ε. erit ad d) rectangulum H A T, ut quadratum d pra CG ad quadratum CB . Atqui reetiingulum py H FC aequatur se) CG quadrato I ergo & re- ., perctangulum H AT aequale erit C B quadrato. N. v
Si diametri ED, LS fuerint axes coniugatiἷ Τλη. IX. sumna in ellipsi , & differentia in hyperbola is 6. Scquadratorum ex semidiametris conjugatis G Α, TAs. X. CB aequatur ubique summae aut differentiae in g, quadratorum ex semiaxibus conjugatis, C L,
EX punctis A &B aganturAM, BN, atque
Α F, B G, quarum primae sint perpendiculares sive ordinatae axi transverso LS, reliquae vero conjugato axi E D. Quia in ellipu quadratum CL aequale est f) quadratis C M , CN, sive isa preetiam g quadratis A F, BG, & C D qu P '-.dratum aequatur h) quadratis C F, C G, ut ' pi. ι . G que duo quadrata CL , C D aequabuntur qua- h P πtuor quadratis simul A F, CF, BG, CG. Sed , quatuor haec quadrata aequantur si in duobus ἐν per quadratis AC, CB; ergo duo quadrata CL, Pr s CD aequalia erunt duobus AC, CB- . HIn hyperbola vero cum sit quadratum AC hin aequale quadratis simul CM, MA, & mr quadratum CB quadratis simul si) CG, G B, F, etiam excessus quadratorum C A, C B aequal1S . M. erit excessui, quo summa quadratorum C M, MA differt a summa quadratorum C G, G B, Verum C M madratum aequatur 'πὶ quadram fm2 per