장음표시 사용
121쪽
o AONTII FINEI DELPH. ergo solum differetiae ratio qua minor exceditur a maiore: quoniatii maiorem a minori subtrahere rationem,est impossibile. Id autem saeile licebit experiri si trium praecedentium exemplore, septimo, Octa,uo & nono numeris Aescriptoru terminos inuerso notaueris ordine maiorem subscribendo rationem. ex primo enim producetur subseu qualtera ex secundo subsesquioctaua ex tertio vero subsesquiuigesulara veluti subscriptae eorundem exemplorum indicant formulae.
Notandum. In quantitatum itaq; rationibus idem est multiplicare quod & ad, dere:atq; rursum ide partiri quod subtrahere. Multiplicatio enim ni hil aliud est quam dati numeri compositio secundu numeri multipli cantis unitates:&proinde nihil aliud esse videtur, et eundem numerupluries sumptum in viati componere numerum. Divisio pariter nihil aliud est u numeri diuisoris a diuidendo subtractio . quoties id fieri permittitur : Subtrahitur enim diuisor toties adiuidendo, quot sunt unitates in ipsb numero quoto. Omnis itaque multiplicatio . diuisio quaeda esse videtur: at non e contrario.Sicuti diuiso quaelibet est sub, tractio: sed non quaelibet subtractio diuiso censenda est.
De aurea quatuor proportionalium numerorum regula. cur. III
is si ptimi Euelidis. Finis regulae
quatuor proportionaliii. Regula peinetalis, cum exeps quando quartusisnoratur
ἶvivs CE AVREAE RECULAE PRAXIS, VEL O- ita re perandi ratio.ex prima parte is septimi elementorii Euclidisia rapendere Videtur: quae ita habet. Si quatuor numeri ,pportio, nates fuerint. lui ex primo & quarto si aequus est ei qui ex secundo fletertio .Hinc sit ut cum alter extremoru ignoratur, multiplicandi sint intermessis numeri adinvice: pductus inde numerus per notu extres morti diuidedus. Et versa vice altero intermedioria ignoto multiplicetur extremi & productus pernotum partiatur intermediu ut reliquus ignotus procreetur numerus. Omnis si quide numerus per altu multiis
plicatus.essicit numero: qui si per alterii multiplicatiu diuidatur. proucreat de necessitate reliquu. te inlatuor igitur numeris inuice ,ppora ationalibus datis ut qua ratione primus habet ad secundu ea osseruet tertius numerus ad ipsum quartu: si quispia eorunde numeroru fuerit ignotus, ipsum reliquoru adminiculo)in huc qui sequitur modii inaeuesigabis. Sint dati numeri A, B C.D.sicut quide A ad B sic esto C ad
ipsum D: sitq; primu alter extremoru ignotus, utpote D ultimus,&inordine quartus. Si huc agnoscere velis ducunti intermo i s. i, . 1 o. rue. diorum numerorum in reliquum, utpote . B. in C. vel j β,
122쪽
ARITH. p RACT. LIB. 1DI. coe contrario.& productu dinide per primu hoc est, per A extremorum reliquum:& ipsum quartum proportionalem obtinebis. Debent auteips numeri ita proponi vel exprimi: ut primus ti tertius re atque nomine conueniant secundus pariter cum adquisito quarto. Vt si A. verbi gratia fuerit g B ra C vero ro in hunc modii quaestio formanda est. Si a dent seu valeant aut producant 11 quot eius cemodi dabunt produae cent. aut valebunt io eis de s simile; Duc igitur idi inici vel e diuerso. producentur 11o:qua: si diuiseris per 8, fient pro quoto numero is cuipsis i a re & nomine conuenientia. ad que numeru is tale geometrica ratione io habere videntur, quales seruant ad 1l: utrobiq; enim sub sesqualtera. prgo si s vinar dati panni valeat 11 rancos io vinar eius, dem panni valebunt francos is. Aut si in s horis. data rota duodecies 3 circunducatur: in io horis eadem rota is reuolutiones absoluet. Sed
esto reliquus extremoru numerem ignotus videlicet A primus in Oru tui numerus
dine: s1tq; propositu eundem priinu in uestigare numeru. Quonia nu, meri inuicem proportionales . conuersim quoq; proportionales exta stunt per corollarita quartae selementoru Eucli. sicut igitur D ad C. ita B ad A. Disponantur itaq; numeri ordine conuerso : velut obiecta deisis. to. 11. s. i scriptio monstrat.Dein obseruetur operandi modus qui
c. B A J per regula generale nuper expressus est ducendo B in C, vel e contrario. N productvim diuidendo per ipsum De fiet enim Anuis
merus qui desiderabatur. Supposta nanq; praefata numerorii cu litoris respondentia si 11 per io multiplicetur consurget velut priusa rao: quae diuisa per is dant pro quoto numero s ad quem octonariu numerum,raea ratione obseruant. qua uad 1orna utrobiq; sesqualtera. 1 de
ergo fit ac si numerus secutius per tertiit multiplicaretur. N productus diuideretur per ipsum vitiinu. sue quartu. sed conuertenda est in hue modii ratio terminoru & ita proponenda quaestio: ut ignotus numeo rus in quartum semper incidat locu & operandi via a prςmissa geneis 4 rali non discedat regula. 4 Qubd si alter intermediorum ignoretur De secunde, numerorum utpote secundus Blitera insignitus. anteponenda est seis V. ' 'cunda ratio ipsi primaeaioc est duo posteriores numeri ante primit lae d. 1 f. s. ii. t uorsum collocandi sunt: ut idem secundus ignotus quati D, B ltu possi obtinere locu . vel ut hic annotauimus. Si enim
luerit A ad B. veluti C ad D cve supponit regula) erit igitur sicut C ad D. ita A ad ipsum B. Quibus ita praeparatis, multiplica D per A hoc
est is per 3 vel e diuerso: fient rursum a1o.quae diuide per C hoc est rot& habebis idi. in locum ipsus B reponenda. g autem ad 1a eam rursum, habet ratione. quam io ad isc videlicet subsesqualteram. Si tandem muta numerus tertius desideretur:erit & terminorum, & rationu conuerso huiues. '
123쪽
Cotopartu. Probatio te gulae ψ pso portionasiii. Documetu quando sus, stali itidek diuisione. sesemplum. Corollariunotandum.
ost NTII FI N EI DELPH. facienda prius quam per generalem opereris regula.quemadmodulupra cedentibus tertio & quarto numeris iussimus obseruari & obiecta, idetur indicare formula. Et repetitis in maiorem singu*li . s. io lorum cui lcntiam qui prius accepti sunt numeris inulal B-A. D-C. plicetur D per A N productum per B diuidatur:& proueniet C. Si enim duxeris is in 8 & proueniente inde numerum qui rursum erit 11o diviseris per ia:prouenient 1 o.Vel cum sit velut A ad B.ita C ad D & viscillim igitur per is quinti elemotoria Euclidis sicut B ad D ita A ad C. Ducitaque A in D. N productum diuide per B:& eundem C numerum obtinebis. Idem ergo facis alterutro mediorum numerorum ignoto, ac si unum extremorum duceres in reliquum,&productum diuide res per cognitum numerum intermedium. At quem is acciderit ignorari sue desiderari numerum: sic semper conuertendi atque propone
di sunt ipsi cogniti numeri. ut is qui desideratur, inultimu seu quaristum possit incidere locum di per uniuersalem regulam obtineri. queo admodum supra notauimus. e Ex praefato quatuor exemplorum di, scursu facile patet quam indissolubilis sit inter ipsos quatuor proportionales numeros fraternitas: cum illorum quouis indifferenter ignoto is trium cognitorum adminiculo generetur: sitque non solum ptii, mus ad secundum. velut tertius ad quartum; sed etiam primi ad ter tium eadem ratio quae secudi ad ipsum quartum reperiatur. Si vo
lueris autem facere periculum an optatum fueris ex hac regula comsequutus numeri uita paucis accipito. Ducito extremos numeros ad
inuicem & productum serua numerum. Idem facito de binis intermedio numeris. Nam per superius allegatam is septimi elementorum Euclidis qui factus erit sub extremis, aequus erit ei qui sub intermeadhesi si quartum debite 'obtinueris proportionalem. O T A N D V Μ est tame ubi facta veluti iussimus diuisione aliquod superfuerit resduum ipso diuisore minus illud in subtiliore te.
ducendum esse numerum &prouenientem inde numeru rursum per
ipsum primum fore diuidendum idq; toties continuandum, quousq; nihil ex diuisione relinquatur Exempli causa ii 4 librς saccari eman
tur is duodenis velis autem scire quanti ementur librae eiusdem saccari:duc is in fiet 1 os quae diuide per & habebis pro quoto numeum 16 duodenos unitate ex diuidendo remanente numero. Et quoniaunus duodenus ra denarios valere perhibetur.relictam unitatem 1 nix conuerte denarios: quos rursam diuide per & prouenient 3.Concludas igitur optatu numeru quartu continere 16 duodenos.&tres denarios. Ex quo rursum colligitur, ipsum numerum primo diuidendu, ex ductu secundi numeri in tertium, vel e contrario, generatum: in
124쪽
ARITH. PRAcr. LI s. 1I1L si subtiliore fore resoluendum numeru.quoties fuerit ipso diuisore hoc est, primo numero minor. ut per ipsum primum diuidi facile possit. o. Adde quod si quispia triu cognitorii numero . vel ipseria quilibet, pronuste uiuerit ex integris & fractionibus copositus: secteda esst euiuslibet ea,
liu numeroru reductio ad unicia fractionis genus prius , si incipias Ox bus compo, perari per regula, ea tame obseruatione ut primus & tertius eandem sortiantur denominatione.Vtpote si data rota in 4 diebus.& 4 horis Ε emplum perficiat s reuolutiones, velis aute agnoscere, quoties eade rota in rodiebus integris circunducatur: Resolue prius 4 dies in horas. per calaput sextu primi libri, fient hodie sue dies enim dii horas coprei edit quibus adde 4 horas, cOsurget hors roo pro primo numero. Et quonia
oportet numerii tertiu cu ipso primo re atq; nomine couenire: ueristito pariter ro dies in horas eruntque et O. Duc iraq; 24o,pers set raoc: quς diuide per ioo fiet pro quoto numero 11 optatus reuolutionu nu merus. & in ordine quartus. Excipimus tamen fiamones astronomicas sexagenaria partitione distributas. possunt enim numeri sub va rijs fractionum comprehendi generibus:vt infra videre licebit. OROLLARIUM NOTANDUM. a SI AUTEM BINIs NUMERIS DATIS P R1M V M Bitis, auiti volueris anteponere proportionalem: multiplicabis eum qui futurus hi.,hlest seetindus in seipsum.&productu diuides per ultimu.Vt datis binis nere lupo x numeris 9 3 in tripla ratione costitutis, ultiplicabis ρ per sese. fient '' 81 quς diuides per 3 prouenieta . Ergo Σ ad 9 eande habet ration 'qua 9 ad 3. Q ubd si binis numeris datis medium proportionale Vo 2 hisbii
lueris obtinere multiplicabis ipses datos numeros adinvice. 3c prodii medis peto,
hi quadrata accipies radice: nam ea erit optatus numerus. Dentur in 'exeptu hi duo numeri 2 3. inter quos oporteat mediu collocare proae portionale. Duces igitur Σ in 3 fiet 8i: quom quadrara radix est s.Talem igitur ratione habet fi ad 9 qua 9 ad 3. 4 Veru si duobus oblatis
numeris libuerit tertiu subnectere sportionale multiplicabis ultimu tis tertiti adidatore numeroru choc est eu qui futurus est medius in seipsum & - .hi '
ductu diuides per primu .na inde generatus numerus erit is qui desideratur. Veluti si , & 9 tibi proponatur. multiplicabis s per sese, fient
81 qus diuides per a .nascentur 3. tantus est ipse tertius & proportioonalis numerus. Nam Σ as s eandem habent rationem. quam I ad 3. - Haec operadi ratio pendet ex prima parte vigesimae propositionis stipiadimisseptimi libri elemetorti Euclidis qui ita habet. Si tres numeri cotinue proportionales fuerint qui sub extremis inuice multiplicatis generautur numerus aequalis est ei qui a medio in seipsum ducto procreatur.
125쪽
Vsus tegulae quatuor proportionaliti, per tabulam pro itiona
ta iosi dotii mitiatio nis. Exemplum .hi alter Du
ORONTII FINEI DELPH. Hinc sit vicu primus ignoratur si is qui ex medio gignitur numerus per tertiu diuidatur nascatur primus: Aut si ide numerus diuidatur p
primu tertius& vltimus generetur. Praeterea cu ipse medius ignotus est eius qui fit sub extremis quadrata radix eude medita ostedet numerii. Na qua do bini numeri inuice multiplicantur si productus p alteruillorum diuidatur nascetur reliquus. queadmodum nuper edocuimus. 4s PARS AECUNDA TERTII CAP. De proportionangis tabalurium numeroram disserenth P-HUIC RECULAE QUATUOR pROPORTIONALD , una numerorusne imponeremus nisi calculus astronomicus eandere gula passim videretur cxoptare. potissmiam in partiti sportionaliuinuenti Onc: luas ervulgata illa & pnemissam antecedenti pximo lib. proportionale tabula expeditius multo imo citius fere dicto. inueni re seu venari docebimus. Cotingit itaq;.tabulas astronomicas late-raliter. vel areatim is agredi queadmodu septimo numero quartica, pitis libri tertis annotauimus di neutro pleruq; cogressu spositi integre reperititur numeri:vnde .pportionadae sunt eorude nurnero iudis feretiae. Areales quide si lateraliter ingrediaris: tuc enim quae reda est pars Pportionalis disseretiae ipsoruare altu numeroru inter quos desideratus lxime coprehenditur numerus, secudu ratione minutorula teralibus gradibus adiacentiu ad 6o minuta uni gradui debita. Sint ioin exeptua4 secida quoru proportionata velis habere parte, in ea raratione qua se habet sue minuta adso. Inuenias itaq; primu 24 secunda, ad vertice se da paginae ipsius tabulae sportionalis ipsa vero sue minuta in I euo Nextremasi latere:offendes enim in agulo comuni ra. o i s est. Σ1 secti su tantiimodo cuti minuta ducta in secuda faciut tertiae cuiusnodi denominatione dexter in area repertus obtinet numerus. di sinister sui mo grossore igitur a a se da quartu efficiet numerue ad que 14 iecuda eam rationem habet qua clo minuta. ad minuta so Si aure libuerit. ad maiore omniu expressone inuestigare parte apis II portionale dio se doria N o tertiorii. in ea ratione qua se habet 3s minuta ad 6o: accipe dio seclida ad vertice pagins secu/ς pr memorat tabulae sportionalis N in laterati tisinistro numeroru ordine 3s minuis tardi offendes ad comune utriusq; angulti ii secuda & o tertia. Sumito rursum in eode capite ipsius secudae paginae 3 o tertia. & ad eude sitanistrii & extremale nun erorii ordine. praefata 3s minuta: comperies
enim in anstulo communi r tertia. & go quarta. .
qR xta, ad quae proportionatam ratione habet ,6 ' 373 3ς
126쪽
ARITH. p RACT. LIB. IIII. 6 1a secussa &3o tertia: virninuta 6o. ad praefata 3s minuta . e At si forsitacueis de 3s minutis . adhaereant secunda. utpote 4o: intrabis primum que numescilateraliter ipsam tabula proportionale, cum io secudis.&3s minutis. im ii' xit postmodum cit eisdem 3s minutis & 3o ter vis, uti nuper obseruasti: S colligetur praefata ii secuda tertia &3o quarta . Quibus absolutis. intrabis rursum lateraliter cu lo se dis ad caput ipsus paginae secudae occurretibus.& praefatis 4o se dis, in sinistro & descedenti latetiralius esse offerentibus ordine : na in areali concursu reperies 13 tertia &ao quarta dexter enim numerus ut semel repetitu sit. illius semper est denominationis. qua lateraltu coluncti denominatores effici uto Intra postmodum lateraliter cuso tertio, in ipsius paginae secunda frontispicio repertis,& eisdem 4o secundis in eode sinistro satere concurrentibus:& ad commune utriusq; angulum ossendes dio, o id est ac
Secunda. Tertia. Quarta.itantumodo quarta. Haec aute Omnia, si una cti
ottis, in Una Collegeris summa: resultabunt i, se, Ia. II Io cunda ti tertia.& 1o quarta optatus proportio
natis numerus. Ad que ita collectu numere io secunda &3o tertia eandem habent rationem: quam so minuta, ad 3s minuta & 4o secunda. 13 M CUM AUTEM AREATIM ALIQUAM INTRAVERI stabulam.& prscisos non offenderis numeros:tunc accipienda est pars onalis,pera
proportionalis deso minutis uni gradui lateralium numerorum reὰ 2: 'a 'f'spondentibus in ea quippe ratione qua se habet differetia ipsius oblati &proxime minoris numeri arealis . ad disserentiam duoru arealiti numeroru gatu proxime includentiu numerii, hoc est ad disserentiu proxime maioris a tui proxime minoris numeri. Vocamus ante disse Quid nume
rentia residuum numerum qui subtracto minori a PXI me ma Iori Du- ientia.
mero relinquitur: siue is suerit graduum. aut minutorum tantummotido vel minutoru& secussorti. ex solisve secundis aut tertijs. vel aliter 14 consistens. Dentur in exeptu praefata σε minuta quoru proportio natu iubearis inuenire parte: in ea quide ratione, qua habet i et minus quo introituta, ad minuta 4s igitur asprimu erit numerus 11secudus tertius auestem clo. Accipias itaq; primu sad vertice tertiae paginae ipsus tabia, plax.lae proportionalis sub quibus in eade columna inuestigato tr. areatim intrado.Quibus ad saeuia ipsius colunae ordine hoc modo sese offereti, busta, oroccurret tibi ad latus sinistru eius de pagini modo recta peris ambulaueris linea 16. quae minuta dicentur, eande habentia ratione ad 6o qua 11 ad minuta Ade igitur habes csed leuiori multo. ae exis peditiori ealesloJaes multiplicares so minuta per 11 & productum utpote, Eo secuda, diuideres per minuta H: semper enim restimcntur'
127쪽
ORONTII FI NFI DFLΡH. hiis pro quoto numero 16 minuta Esto rursum propositu invenire par, unumerinum te proportionale de Ko minutis in ea ratione qua se habet is minuta. 4 ,su: & α secunda, ad minuta a8. Inuentis ergo 18 ad caput secudae pagi eγistente, Dae ipsius tabulae proportionalis:sub ipsis is rectissime descededo os
fendes lade is, E pnecisse. a quibus. ad sinistru 3c extremit numeroruordine si recto perueneris tramite occurret tibi 33 minuta ad quae cloeande ratione obseruant.qua dis minuta ad minuta is, de secunda et . Exemplum asSint item; maioris euidetie causa. binae numeroru differetiar, utpos 16
Histerentiaria te, maior 33 inmuroru minor Vero minutoria is & secti torti M. placeat
, i hi se aute inuestigare simile parte de Ko minutis prout se habet is minuta. cise reperibi &s secunda ad ipsa 3s minuta. Occurreribus itaq; 3s minutis in fro, i 'μm tispicio tertiae paginis pius expressis tabula proportionalis sub eisderecta descendendo linea non potes adaequa te reperire 18δ : accipies igitur numerii proximo minore utpote, Is 4o, e quoru heu a dc ex treisma regione Videbis31 minuta .Quibus obseruatis aufer 18 minuta 3
4o se da a praefatis 18 minutis & se fecitdis:& relicta disserentia. eritia secundorti. H ix i4 secundis rursum sub praefatis 3s minutis praecise repertis: ostendes iquorsum in descendente lateraliti numerorum orae dine 14 quae secunda veniunt adpellanda. quibus si Α, minuta solito
more coniunxeris: resultabunt 3 a minuta dc 24 secunda pro desidera, to proportionali numero . Sunt igitur ipsa 3 a minuta &14 secunda .lota pars deminutis clor quota pars sunt is minuta &s4 secunda, de 3ς ΓΨemplum re inutis. Copera pretium tande sit proportionata assumere parte de hum in uis si v si utiS: iuxta ratione qua habet is minuta 3c 3o secunda ad minudisseret iami ta 1o 3c secunda 4 ,.Tametsi 1o. δί 4o, in trasuerso capitalium nume η ' rorii ordine reperiatur no tame eode intuitu vel in eade facie utrunq; numerum cospicere faeile est quod ad faciliore requiritur operatio, nens idcirco praefatos numeros dio.&4o, in heuo 8c extremali descen dentiu latere curabis in entos congruentis ad hoc paginae: a quibus dextram versus recta procedas via donec in eadem coluna occurrae tibi numeri.qui iuncto dextro supremi cu sinistro infimi c6ponat 1 3o id est is minuta de so secuda. In tertia itaq; pagina primemorata tabulae proportionalis e dextra regione ipso1udio. offendes inter areales numeros Is,o: e recta aute regione ipsoru 4o, sub eis deis o sese offerent 3o o: qui quide numeri nuper expresso modo coiucti, aciut minuta is δἰ 3o secuda. Vnde si ad vertice eius de coluns in qua prefatosnu 'meros 1s,o 8c go o reperisti oculos direxeris: videbis ominuta,eu que optabas numerii eius de quippe rationis adclo minuta coparatu cuius tollatia modi sui minuta &3o se da respectu et o minutoria. dc 4o secudorv.
η di facili eolligitur. tabula sportionale intra Ja esse lateraliter: is
128쪽
ARITH. PRACΤ. LI B. 111 L si quoties ipse tabulae quibus eadem proportionalis tabula ad reperiedam parte proportionale suffragatur laterali practicantur ingressit. Quod si praefatae tabulae areatim ingrediatur:&ipsa quoq; iportionalis tabula areatim intrada est. Adde u per laterale ingressum in ipsam tabula proportionale multiplicatur solumodb numeri, absit; ρducti diuisione: p areale vero introitu diuiduturnulla praecedese multiplicatione. Adeo ut *ductus ex ductu tertij in secudu numerus, nost rursum p so diuidedusmeq; secudus per teritu, vel e cotrario multiplicadus prius. ci productu diuidatur p clo. Horu videtur esse ratio
quoniadis lateraliter ingreditur so primus est numerus & ideo diuisor. per coditione ipsius regulae: du aute areatim intratur ipse numeis rus6o est in ordine tertius. Suppletur itaque diuisio. in ingressi, laterali.& in areali multiplicatio:per sola numeroru tra positione. Quonia Quia ratisti multiplicare per εο cintelligo semper de fractionibus astronomicis pii are i, soest oblatos numeros, in proximae denominationis genus laevorsum trasmutare: utpote minuta in gradus secuda in minuta tertia cosequeret in secuda & caei. Diuidere aute per clo est ipses numeros ad proxi* - ἡ me subtiliore denominatione sigillatim traducere e videlicet gradus uidelesco in minuta minuta in secuda & secuda in tertia.& cart.Solum igitur cosideradae sunt. vel lateraltu vel arealiu numerorum denominationes: queadmodum quarto.& quinto capitibus libri tertij suspicieter admonuimus. Nec mireris oportet si primus aut secudus numerus si pleturi minutoru:tertius aute, vel inuetus quartus secia loria, alteriusve geis neris.quonia minuta nihil aliud sunt.qsecudas sexagenariu collecta numeru: ipsa vero se da minuta videtur esse disgregata. De caeteris respodeter iudicassu est. Est igitur virtualis denominationis obseruaista respodetia. Reducedi tamen essent numeri veluti supra docuimus ad unica denominatione utpote primus cutertio vel secussus cum acquisito quarto:s p vulgatu usum regulae quatuor proportionaliu non aute per ipsam tabula proportionale, in talibus contingeret operari. De rutila ex quantitatum inuicem proportionalium, eis que disse,rrathue , a multiplici. O . I III.
1 1 res praestatior inuenitur regula riseipuὲ quae ad Gelestium
in motuu investigatione tantae videatur esse comoditatis: cu, iusmodi est ea . quam sex proportionaliti quantitatum adpellare solemus, ab ipso Ptolemaeo primum excogitata. Demonstrauit itaque Pholomi Ptolemaeus utrem paucis attingamus capite duodecimo libri psimi Minostrario suae magnae constructionis quam vocant Almagestu si duae linea
129쪽
quantitatu. Primus Rse lidus nici dus, de ratio nulli copolitione, inter sex proporritionales qualitates. Sex numeri Proportiona
ORONTII FINEI DELPH. recta, cuiusmodi sunt A B & A C ex eodem puncto A demittatur da tum comprehendentes angulum qui B AC N a reliquis earundem ii,
Dearu terminis, utpote B&C duae aliae rectae ii, ineae BD. N C E in easdem lineas alternatim re- δε
sectantur. in eodem sese intersecantes puncto. scilicet Fel ratio B A ad A F.coponitur ex duaὰ .
bus rationibus utpote ratione B D, ad DF, &ratione F C. ad C E. t tem quod ratio B p .ad p Α.ex duabus itide rationibus integratur lex ratione '' quidem B F ad F D. N ratione D C ad C A. Que admodu praeallegato capite geometrico discursu cofirmatur:& infra sigillatim expressinus ubi singulas taliu rationum copositiones possisibiles ac impossibiles aperuimus . Hinc orta est illa sex sportionaliuquantitatum regula. Ex praefata nanq; Ptolemaei demonstratione reis linquitur euides dabiles esses ex quantitates inuicem ita proportionatas ut ratio primae ad secudam composita sit ex rationibus tertiar ad quartam & quintae ad sextam. Porro ex hac prae ostensa rationis comis postione a utiles generantur rationum compositiones: quae una cuipsa radice sunt numero 18.ptolemaeus autem duabus tantummodo.& pis allegato loco demostratis rationum compositionibus,contenistus fuit: utpote quae suo negotio videbatur facere satis.Volumus ita,que. teras rationum combinationes modosve possibiles. inter quas,cunq; sex quantitates, eo quo nunc diximus modo proportionatas accidete, sigillatim aperirerquo ipsi clarius elucescat regula, & in eoru gratiam quibus vium eiusdem regulae sex proportionalium quanti, ratum contiMget esse necessaritum. DAT 1s i CITVR sEX Qv A N T IT A TIB vS V T AB- , ipso primo es radicali modo sumamus exordium) quarum ratio priὰ mae ad secunda composita sit ex rationibus tertiae ad quarta. & quin, tae ad sextam: ex eo primum infertur secundus modus,utpote, quod eadem ratio primae quantitatis ad secundam ex ratione tertiae ad se xtam atque ratione quintae ad quarta itidem generatur. Suscipiantur enim ad maiorem singulorum euidentiam sex numeri ita se habeteuad inuice . veluti prima & radicalis nuper allegatae rationis coposticipstsi is ponit sintq; hii iusnodi. Imiti, helides, Tertius. Varius.Quintus.Sextus, Primus igitur ad se dunu, i , α , 3 , 4 ,
merum . hoc est 1 ad di subdij, plam obtinet rationem:tertius autem ad quartum, utpoteo ad 4. subosesquitertiam:& quintus ad sextu s videlicet ad 9, subsesqualtera.Atqui ex ratione subsesquitertia, una cu subsesqualtera, subdupla ratio
130쪽
consurgit Ruemadmodum ex se do eapite huius libri. 3tosiecta iiii meroru descriptione facile manifestatur. Tertius rursum ad sextu. -- hoe est,3 ad 9 subtriplarquintus aute ad quas μ μ mq' 'l eum .s videlicet ad 4. sesqualtera videtur habere ratione. Subtripla vero, & sesqualtera subduplam smiliter ratione constituunt: veluti secunda numerorum formula mostrat. Vtrobiq; enim consurgit numerus 18, ad 363 numerum c5paratus. Tertio aute modo ratio prim g quantitatis rei tertiam. ex ratione secudae ad quartam & ratione quintae ad sextam eomponitur. Ex praemissis nanq; sex numeris clarum est primu ad tertium hoc est 1 ad 3 subtriplam obtinere rationem. secundi autem ad quartum .subdupla: & quinti ad sextum. subsesqualtera ratio coperi tur. Od si per doctrinam antecedentis se
subsesquitertia. lsubsesqualtera.
cundi capitis, subdupla & subsesqualictam
in unam composueris rationei consurget subtripla. queadmodum propria numerore videtur indicare descri 4 ptio. arto ratio eiusdem primae qualitatis ad ipsam tertia .ex biti Modia quatnis rursum integratur rationibus: ipsius nempe secundae ad sextam 8cratione quintae ad quartam .secundus enim numerus ad sextum. 1 videlicet ad 9 subquadrupla sesqualteraret: quintus antem ad quartu, id est 6 ad 4.sesi qualteram rationem obseruat. quς quidem duae rati rara, iterum subtriplam rationem
constituunt: ut ex obiectam umerorum descriptiuncula patet. ι Quinto vero modo ratio primae quantitatis ad quintam , resultat Modii, qu Hex copositione rationi eiusdem secund ad sextam.& ipsus tertit ad *M quartam .Primus nanq; numerus scilicet 1 ad quin tui . utpote 6 ratio nem habet sub sextupla. Porro inter , & 9 id est secudu ti sextum nuis meru subquadrupla sesqualteram: inter vero tertium & quartum hoc est 3 ad 4 subsesquitertiam e5stat inueniri rationem. Ipsa vero subsextupla ex eadem subquadrupla sesqualtera, &subsesquitertia ratione conflatur quoniam 1 in 3 faciunt ε, ex ductu autem s in 4, consurgut 36sextuplam ad 6 obtinentia ratione velut haec indieat formula. Sexto ratio eius de primi quantitatis, Modus se,
Subquadrupla sesqualtera. Stiboseuitertia.
ad ipsam quinta, constituitur pariter ex ratione secundae quantitatis ' μ' ad quarta.& tertiae ad ipsam sexta. Secudus etenim numerus ad quartum subduplam: tertius auto ad sextum. subtriplam rationem obse uat.qus quidem rationes smuI iunctar praefata rationem subsextupla