장음표시 사용
101쪽
ORONΥ1I FINEI DELPIA. meros O,so,so una cii velis)cu antecedentibus triphris suis lociqres odeter annotabis super ipsum diuidedunui Deru, utpote 4o supercla gradus,so supers minuta. &3o super ab secunda: nani quem ordine seruae diuidentia fractionu numeri cuiusmodi sunt 4 s 35 eundem retinent numeri sub eis dein tabula respondenter inuenti. His ita prae, paratis, subtrahe suprascriptos 4o gradus.&so minuta, atq; 3o secuda a subres podentibus numeris per tertiu caput huius libri: Si relinquentur facta subtractione gradus 1 minuta 14, & 3Σ secunda quae rursum supra notabis; deletis quoru facta est subtractio numeris. Hoc pri, mo discursu peracto, reiterabis diuisore. singulos eiusdem numeros ad proximia versus dextram traducendo genus. priori diuisore cacel. lato Rursum sub eisdem numeris 4.s 3 in eodem supremo lateraliuordine repertis suprapositos.& ex sacta subtractione relictos inuestitigabis numeros: facta semper ad potetia maiore coparatione quisu cedentiu semper videtur esse regula. Et quonia sub eis de 4 unus grasdusti 14 minuta inueniri praecise 145 possunt accipiedus est numerus proximo minor. videliceta, i a. di in eadem linea lub s&; respoderes, utpote I,3o,dc o 14. in Iulio aute eius de lineae termino sese osserentia:
qua minuta dicentur scribe la post 1 o gradus; intra lineas aequidistantes pro secusso quotς seactionis numero. Singulos ite sub diuisoribus
inuetos numeros,scilicet 1 12, 1 3o &o ue 4 suprascribito suo ordine pone to Jextrum antecedentis cum sinistro proxime sequentis ordinisa queadmodum succedens numeroru descriptio mostrat. ibus abso lutis. subtrahe singulos nuper inuentos numeros. a sui respodentibus lingulis fractionii numeris duobus simul occurretibus subtrahendarufractionii numeris in unu cos ceruatis: & remanebunt copleta subtra ctione i minutum 1 pariter secundu tertia,&4s quarta: quae tandeannotabis supra eos de subtractos Ac primum cacellatos numeros , P debita singulotu respodetia.Cosequeter renouato ut prius) diuisore. aecipito sub eis denumeris ipsius diuisoris 4 s 3: numeru, relicto nuper numero si potes aequale.osse des autem sub 4:1, o.&ineas
de linea subsit .is. sub ipsis vero tribus: o,4s. qui solito &superius expresso more coniunucta repraesentat 1 minutum. Isecundu . Is tertia &4s varata: quantus scilicet est numeὰ rus ex proxime facta subtraὰctione relictus. Scribe itaque
102쪽
ARITH. p RACT. LIB. III. sop*fatos & sub diuisoribus nuper inuetos numeros.si aper etide relictu ex proxima subtractione numeria prout singulorii ordo requirit:&la terale numeru ad lamii eiusdem lineae terminum simul occurrentem utpote is.scribito intra lineas.sub titulo secundoro. Supra scriptos autem numeros. a subrespondentibus tandem auferto numeris . & niis hil relinquetur: unde propositus fractionum numerus, per ipsum diuisorem adaequa te diuisus est. Habes igitur pro quota fractione, io grais dias is minuta.& is secunda. ii POT ERIS ETIAM ALIA VIA EUNDEM; IMO E Talium quem uis oblatum fractionum numerum . per ipsum. vel alium estiti sina, uecunq; diuisorem respondenter distribuere facta primum utriusq; Gion' agro
I L . . , s . . f nomicarii, H
ordinis diuidendi scilicet& diuis Oris numeri reductiCne, ad minimu tie tabula.
suae fractionis genus per continuatam sexagenaria multiplicatione, quemadmodum capite sexto libri primi generaliter expressimus. Reis liqua enim ad ipsam diuisionem pertinentia non aliter sunt postmoae dum absoluenda: quam pro integrorum diuisione capite quinto eius, dein libri primi declarauimus. Animaduertenda tame es: ipsius quotati numeri denominatio:quam ex secudo& tertio numero huiusce ca pilis elicere poteris. Item si velis ipsum quotum numerum ad sexagenariam fractionum rursum couertere distributionenti id facito per doctrinam praeallegati sexti capitis eius de primi libri. ipsum quotii nil,
merum & reliquos so maiores per eundem numerum so continue dici uidendo. Sed haec plus. quam saris . e Repeta inus in exemplup seis Exemplum. tum numerum graduum s minutorum, a secundorum .s tertiorii,&43 quartorum:per eundem qui prius numerum, utpote 4 gradus, sminuta , secunda diuidendum. Ex diuiden3is itaq; fractionibus. eo quem nunc expressimus modo reductis. fiunt 14s4o 8squarta. Ex diuisoris autem reductione proueniunt 14 o 3 secunda: veluti subiectae numerorum di ipsarum reductions indi.
6 Cant Iormulae, ad Ninuta. Σ o maiore singuloru5sma minutili. 2. 4 ue Peliacidationem re
Secunda. 3ictae . dia minimuNuma tegorii. a 4 Io 3 genus diuidenda.
103쪽
ORONTII FINEI Dp LPH. pr sata 14s4o 8s quarta per eadem 14 o3 secunda iuxta doctrinam quinti capitis ipsus primi libri. instar integrotii numerorii: Ac habebis s quoto numero 3 osue secunda. nam quarta diuisa per secuda.resstituunt secunda. Quod si praefata 3 osue secunda diuiseris per εo: siet ex ipsa diuisione sis minuta relictis is secundis. Rursum si fias minuta per eade Ko diuiseris:prouenient 1 o gradus reinanentibus 18 minutis. Colligentur itaq; ex propositam fractionum diuisione ro gradus.18 minuta Ac is secunda: quemadmodum per antecedentem modum coadiuuante tabula proportionali nuper offendimus es De qua butur m litis iuuentione in ei Amsi unionibus. Cup.v I.
iminomicis tractauertit & quadratς & cubicae radicis inuentiou iam inem velut forsita nimia difficile aut subticuisse.vel obscure nimis,pperamve tradidisse facile costat.Conabimur itaq;. in astronomicis fractionibus utriusque radicis inuetione facillima restituere. primb. facta singuloru generit,ppostatu si actionii, ad unicii reductione: deinde cado leuius multo p antecedente proportionaliu numerorutabula vi ipsus tabuli numerosa ramoditatu declaremus aptitudine. . .. -si'S J N T ICIT V Rcut primu adgrediamura i ii ii maius.,ue grais ad quadrata dus 3 minuta et secunda ,1 tertia & 14 quarta: quorum radicem ius,stia Haz bearis inuenire quadratam. Haec primit reducito ad minimae fractio ine tabula. nis denominatione. utpote ad quarta: hoc modo. 1 signia maius,valet clo gradus qui una cuin dis gradibus efficiunt 8s. Hos igitur sue gradusii multiplicaueris per εο sent ueloo minuta : quibus adde minuta 3 ,rerastillabiit sta . Haec rursiam si minuta ducito in clo proueniet 3o8aro secunda:quae una cum secudis 1 coiiciunt 3os 14 .Qus quide 3osa secunda iterii perso multiplicata. unacii duobus tertijs res podenter adiunctis producunt 1849 811 tertia.Tandes ea de 384948ra tertia per clo multiplicaueris, & producto iunxeris quarta a4: prae assumptus numerus ad 11o9689344 quarta reducetur. Horum itaque Ilo 9689344 quartorum, per doctrina 4
rari. quadrata extrahe rara , ili, Numerus uuaarat'. dicem: qua ossendes esse ad x quadrata.
iecta descriptio manifeὰ stat. Et quoniam operaepretium est ipsam radicem in sese multiplicatitam, praefatum quartorum integrare numerum . nulla autem fractio in seipsam ducta facit quarta ni fuerint secunda: idcirco 3331a nuper
104쪽
ARITH. PRACT. LI s. II1. sisnuentuq radicis numerus, a secundis denominationem ostinebit. Quod si contingat ita reductum numeni ab impari numero fore deis Notandum nominatum cuiusmodi sunt tertia quinta septima &c tuc ipsum nu, erum multiplicabis adhuc per clo . ut proxime succe sentis fractio, nis nomenclaturam sortiatur quae a pari semper denos ni natur numero.& bifariam facile diuiditur. Nam radix quadrata a dimidia parte eius semper denominatur numeri, in cuius denominatione propos tus fractionii co uersus est numerus. Demii si praefata 33311 secunda diuiseris per clo prouenietus minuta: relictista secundis Rursum eadesues minuta diuide per iso producentur 9 gradus: remanentibus is minutis. Cocludas igitur 1 signu 13 grassus 37 minuta 2 secuda et tertia,& a4 quarta habere pro quadrata radice 9 gradus is minuta.& 11 ser, cunda. Superest ad secundii peruenire modo: quo prias umpti.& da Modii, inueti cuiusuis ali erius fractionii numeri. q uadrata radix, per tabula pro' 2, p. ἡ
portionale inuestio at r. Repetatur itaq; nuper oblatus numerus sciliis Elarum fro
gula una cum exeplo. ad faciliore omniu intelligetiam discurramus. m. pQ Ipsum ergo numera in s baco suo disponito ordine.& proprijs singulorum generti nominibus ornato: subiectis in trasuersum l ineis aequi, distantibus futura radicem solito more recepturis. Quibus ita praepa, επe pium
ratis, inues riga inter quadratos numeros ipsius tabulae pro i ortiona- eis.
lis crassioribus lineolis separatos.& diagonalem obseruantes ordine ipsum nuper oblatu numerum, cuius quadrata cupis inuenire radice: que non potes praecisum offendere. accipies igitur numeria proximo minore in prima tabuli pagina sese osterete.utpote 1.11iquci fghii&21 gradu seu gradus si repraesentat. Debes enim ab integri, seu gradibus quoties occurrerin primaria deducere radicis denominatione. seu primu radicis colligere numerii: quoniam gradus primaria conastituunt ipsus circuli partitionem. & signa nihil aliud sunt cleo runde graduum collectiones. Scribe igitur 1 super i & ai supra M:& numelarum ad vertice. aut laeuam regionem ipsius quadrati simul occurrenistem utpote s scribito sub eisdem dis gradibus, intra lineas aequi distantes pro primo radicis numero. Subtrahe postmodum i & 11 ab 1 tias:& relinquentur 4 gradus respondenter supra notandi cacellatis prioribus numeris. Dupla tande ipsos s gradus radicis set 18 gradus:hos 4 reponito sub eisdem A gradibus . infra lineas aequid istantes. Hoc pri Exemplumnio dis eursu peracto accipe is gragus. duplatum nuper inuentae radi- 4 6. eis numerum. in sinistro lateraliti ordine: a quo versus dextram recta procedito via donec residuum offenderis numeru: iuncto quadrato in longum eiusdem columns simul occurrente numero. E recta itaque
105쪽
o ROMT1 I FINEI DELPH. regione ipsorum is in sinistro latere primae paginae, no totu resiguuoffendes numere sed proximo minorem, videlicet 4 gradus.& 3o minuta: in quorsi rectu hoc est in ea de coluna. occurret simul inter qua dratos 3 4s quae 3 minuta & 4s secuda veniat adpellada . quonia dexistiti prius inuenti numeri genus eius de semp est denominationis cu sinistro cosequeter occurretis numeri genere.& e cotrario. Adde igitur prssatos numeros solito more dextrum videlicet primi cui suo secudi ordinis fient gradus. 3 minuta, & 4s secunda: quae suὸpra relictum annotabis numerum obseruata singulorum cum suo genere respondentia . Deinde accipito numelauiarum ad verticem eiusdem columnae concurrentem, pro secunda radice. utpote is quae minuta dicentur c sunt enim eiusdem semper denominationis cum dextro numero . utpote 3o e regione 38
nuper inuento) scribenda ad dextrum ipsorum 9 grafluum . Subtra, he postmodum 4 gradus 33 minuta. &4s secunda a subresponden tibus 4 gradibus. 3 minutis & Σ secundis & relinquentura minuista & 42 secunda : quae supra notabis. deletis quorum facta est ope, ratio numeris. Duplabis tandem ipsa is minuta radicis sent 3o, sub Notaridum. eisdem is minutis infra lineas collocanda. Si autem eueniret i veipsa minuta duplata sexagenarium exuperarent numerum: pro quisbuslibet εο minutis unitatem prius duplatis gradibus adiunges, reis nouato eodem graduum numero : idem Ac de secundis ad minuta &reliquis succedentibus obseruando fractionibus. m. ibi Hai, 4 Ad tertiae consequenter deueniendo radicis inuentione, utroq; du, scis empsit. platae rudicis numerii utpote is gradus & 3o minuta, inuenito in praefato later alium numerorum ordine:& considera numeros cum respodenti quadrato in cadem columna simul occurrentes . an solito mo reconiuncti residuum possint integrare numerum. Offendes ita primit m e dextra regione ipsorum is graduum minuta, & 36 secum sale directo autem ipsorum 3 o minutorum se offerunt ue secunda , & tertia O: & quadratus in eadem columna simul occurrens D merus est a tertia, & 14 quarta. quos quidenumeros, si nuper expresso modo . & velut obiecta monstrat formula . in unum colis legeris ordinem resultabunt 3 minuta, 42 secunda . a tertia, di 24 quarta . supra residuum numerum sigillatim annotanda : prout singulorum videtur optare denominatio . Conucurrentem autem ad verticem eiusdem columnae numerum, utpo'
te ii. scribes intra lineas . sub titulo secundorum, pro tertio radicis
106쪽
12 numero. abd s nuper inuentos &supra notatos numerosia subre, pondentibus &residuis abstuletis numeris pers rius allegatum calsum. Grad. M ta. ne unda. Tertii. .iit a. l pur huius libri r uid
puthil raderii relinquetur. cIs
sumptum numerum esse quadratum & quadratam habere radicem s gradus, is minuta. N idi secundat quale per viam redum is nis sne adiumetalci ipsius tabulae proportionalis nuper inuenis i. Habes itaque in eadem coluna numeros singulos ex duplatis inra licem optatam productos δέ ipsius radicis quadratum atque simul ipsam radicem uno eodes est contextu sese offerentes. Vtrum igitur hora modorum malueris tuo relinquimus arbitrio. cubitu tuo stlora Ira Riona a renomitum rudite. Caput VII. VBICAM CALATI CUI VSCVN QV E FR Αωcticinii astronomicam numeri radice. duplici cquemadmo is dum 3c quadrata)inuenire poteris arte. In primis. facta sinis gulam fractionum ad minimum genus sui ordinis reductione. Secu nudo. 8t multo quidem faciliori via. adminiculo ipsius tabulae propor,ilonalis Quoiu omnium exemplaAum regulis simul examinabimu mihist quo singula rudioribus fiant incidiora . Ad primum siliciter acceι ghi', tis
dendo: Sint gradusa , minuta u. secunJa 3 tertia 44. quarta ar,quinsta 1 sextum:quorum omnium cubicam iubearis inuenire radice. ast otiomi.
Reducantur itaq; prim tim singula fractionum genera ad minimae g fractionis denominatione videlicet ad sexta .per doctrinam sexti catipitis libri primi. de queadmodum duodecimo numero quin ti Zc seculado sexti capitis immediate praecedetis . exemplari discursu monstra uimus:& ex ipsa reductione cosurgent 135Ma8 9sci sexta. Horum ergo per artem octaui capitis ipsus primi libri .cubicam extrahito radicem quemadmodum de integris solemus eliscere numeris. Ea auteerit ut ipsa te supputatio docebit & prcsens
numeroru indicat sor, mula ios: 1 quae secun da veniunt adpellada. Qitioni st de ratione cuis
Radix cubita. Radices triplatae.
107쪽
Notandum. Asi' stodiis iinuentedicubieam stact.
portionale. Ex su pii: viae radicis.
o sto M TII FINEI DELPH. multiplicata eu cuius est radix coponat numerum. Nulla aure fractio in se ducta rursumq; sproducta multiplicata fractione efficit sexta nisi fuerint seclida: vi ex praecedeti capite quarto videre facile est. Naseclida p sese inultiplicata faciut quarta:&rursum quarta ducta in secuda restituut sexta: ad qua sextoru denominatione. oblatu fractionureduximus numeria.Debet igitur numerus datus ad ea reduci fractio, nis denominarione quae per 3 facile diuidatur cuiusmodi sunt tertia, sexta, nona. duodecima Sc. Na radix cubica semper denominatur a tertia parte denominatoris. in que datus couersus est numerus. Di, uide tande ipsa io 9ri secuda per Ko fiet pro quoto numero is a minuista: uno tantu secudo relicto. quae quide 181 minuta si rursum per co diuiseris: pueniet 3 gradus remanetibus duobus minutis. Inseras igitur,prsassumpti numeri radice cubica esse 3 gradus 1 minuta.& 1' fecitdu. Reliquum est ut eandem cubicam fractionum astronomicarum ra 3 dicem coadiuuante tabula proportionali. inuestigare doceamus. Reu
petatur nuper assumptus numerus utpote 1 gradus ues minuta o secuis da 44 tertia et i quarta, 6 quinta Si sextum: quem numerum dispone
super abaco ad hoc praeparato. una cu suprascriptis singulorum geonerum nomenclaturis &ductis sub eodem numero lineis aequi distantibus intra quas optata locabitur radix . Accede postmodum ad priis inam tabulae paginam,& inter cubos numeros apparentioribus lineois lis sparsim distinctos, inuestiga numerum, ipso dato numero proxiumo minorem non postes enim offendere praecisum) is autem erit o. a quae solos 1 gradus repraesentabunt. Ad verticem quoque eiusdecolumnae sese Offerent 3 pro primo radicis numero: quae tres gradus significabiit. sunt enim ipsa eiusdem nominis cum 2 : gradus enim quadrate aut cubice multiplicati semper restituuDt gradus. Scribe ergo Σ supra α gradus &3 sub eisdem gradibus sed intra lineas aequi distantes aufer deinde Q. a subrespodentibus Q gradibus:& nihil relinquetur. dele igitur utrunq; numerum 2 & tripla 3 gradus: fient ρgradus quos infra lineas sub eo diadem graduu titulo ladem reponito. Ad secudum radicis veniendo numerum , inuetos cura prςfatos 2 gradus. in sinistro lateraltu ordine eiusdem primc pagitas:& ad dextra ipsorum regione inuestiga numerum residuo Jeptis scilicet praefatisa gradibus proximo minorem: quem experieris e se 14 minuta. ad
quorum verticem offendes 1 quae minuta dicentur intra lineas aequi-
distantes.pro secundo radicis numero collocanda. Scribe similiter , supra sue miniata:hic enim numerus 14 cut singula clarius intelligas squivalet ei numero qui ex ductu triu gradus in s triplatos,&rursum
ex multiplicatione producti in ipsa a minuta generatur. Duc igitur
108쪽
Ag ITH. ΡRACT. LIB. III. Dconsequenter ipsa L minuta radicis in s gradus triplatos coadiuuate
tabula sent is minuta quae rursum multiplica per ipsamet a minuta consurgent 36 secunda super 3 secunda respondenter annotanda. Acacipe rursum numerum cubum, in ea de collina cum D minutis & duobus secundis occurrentem utpote o 8: quae 8 tertia veniunt adpellanda scribendaq; super tertia 4 .repraesentant enim numere qui ex Cuabico duorum minutoria ductu producitur. Subtrahas itaq; tande praestita s4 minuta 36 secunda & 8 tertia ab eis de sue minuti saribus secundis &44 tertijs:&relinquentur 1 secuda & 36 tertia. luibus suo loco supra notatis cancellatisque prioribus numeris: triplatis ipsa 1 minutas radicis feni 6 quae sub lineis respondenternotanda sunt. Consequerer inuenim rursum praesatos 1 gradus in eadem prima tabulae pagi riviai sis na.&lateralium numerorum columna: & ad dextra ipsi ru regionem inuestigato numerii relicto nuper ex Operatione praecedenti numero proximo minore offendes ergo a secunda.seribenda super relicta a secundaria in eadem columna cocurrerem videbis unitatem pro terutio radicis numero suo loco reponen ta quae t dicetur secundo. Est autem numerus et nuper inuentus qui ex ductu triu graduu radicis in striplatos.& producti per i secundu multiplicatione consurgit. Duc ergo consequenter a minuta radicis in s gradus triplatostfientis minuta. Ite multiplica tres gradus p 6 minuta triplata: efficietur pariter is minuta.quae una cu prioribus 18 minutis faciunt 6. ipsa porro 36 nati nuta per i secundu tadem multiplicata.vertetur in 36 tertia: super rex licta 36 tertia respondeter annotanda . Ducito postmodium 1 secunda
radicis in s gradus triplatos fient s secunda.non augmentato.sed navitato tantum odo numero. Ite multiplica a minuta peris minuta triplata: prouenient 11 secunda: quae una cu antecedentibus f secundis con stituunt secunda 11. Haec tande multiplicata per i secundu . vertutur in quarta: sinpra remanentia Σi quarta itidem conscribeda. Rursum duὰ cito i secundu in ea de s minuta triplata sent stertia. quae tandem per
ipsum secundia multiplicata .vertuntur in quinta suprelicta 6 quinta, respondenter annotanda. Poteris etia unico discursu eos dea gradus. a minuta.& 1 secundum . per ipsos 9 gradus S 6 minuta, iuxta numeri decimi antecedentis quarti capitis traditione multiplicare: producen
ra. mi, steri. tertia. quati quinta. tur cirim 1 gradus , 36 minus
109쪽
ORONTII FINEI DE L pM. Diiuiti indieat formula. Accipito tandem cubum numerum, in eaadem columna cum a minutis,& uno secudo radicis occurrentem, Dpote o,r id est, i sextum. litiper relictum sextum.
dum est enim cubus nu merus, ex ipse secundo radicis cubice multipli, cato productus. Ou id si demum collecta &stuprascripta fractionu sgenera a tingulis subrespondentibus fractioniam generibus, suo ab stuleris ordine nihil relinqueturiquare propositius numerus cubus est iudicandus & ipsius cubicam radicem esse trium graduum , duorum in milioru & unius secundi quemadmodum ii per offendi naus. Adminiculo itaque primi cubi, siue numeri ex prima radice procreati, tria per arealem ingressium primo intuitu sese offerunt: utpote radix ipsa,& productus ex prima radice in triplum eiusdem, atque rursum pro dum ex ipsa radice multiplicatione. Quod ideo fit quoniam in cubicis oportet 1 emper inucntam radicem cum prioribus per triplatum simul multiplicare.& productum rursum in ipsam ducere radice. Haec igitur de fractionibus sexagenarijs vel astronomicis. sint satis:quae sit
semel exacte callueris, & secretioribus mathematicarum arcanis vix
cunque delecteris, te crede mihi eisdem vigilantius insudasse non pigebit. PlatTERTII LIBRI ARITHMs
110쪽
te vel ina quale dici: omnis enim discreta
continuave quantitas,alteri itide continus aut discretae relata quantitati ea maior, a Ut minor reperitur, vel eidem existit aequalis. Sola autem uni uoca sunt inter sese copara, Quae sint In bilia: utpote numerus numero sonus sono tempus tepori. continuum seu' magnitudo
eiusdem generis magnitudini siue continuo, queadmodum linea si, Deae. superficies superficiet, solidus olido & quae sunt eiuscemodi. nam
inter ea quae diuersorum existunt generum nulla videtur accidere co, paratio. Ratio igitur est duarum eiusdem generis adinvicem comis R, ιει, dis. paratarum quantitatum habitudo determinata Haru aute potissmu finitis reperitur inter numeros absolute consideratos: & Arithmetica ratio Ratio arith, nominatur.vel inter numeros sonoros,id est ad sonorum harmonici 'xi relatos:& Harmonica dicitur de qua alibi tractandum aut denique Harmons inter magnitudines a numero di materia seorsum abstractas:&Geo, Geometri metrica ratio venit adpellanda. At quoniam quaecunque rationes in, ter ipsos ostenduntur numeros eaedem & in singulis continuorum solent inueniri generibus e contrario autem id minime contingit cum infinita sint inter cotinua rationu discrimina. quae numeroru non pa stat m, titur natura: idcirco geometrica ratio principatu obtinere propriumove nome rationis usurpare videtur.Effigitur de Geometrica ratione ratio.