장음표시 사용
111쪽
i. i' principalis habenda consideratio. e Omnes itaq; ad inuicem compaὰ 3
malas magia ratae magnitudines, quarum Vtranq; communis aliqua magnitudo ' seu pars metitur quota communicantes siue commensurabiles atques si . . A rationales esse dicuntur:& quae inter ipsas reperitur habitudo. rationalis itide vocitastur.Cuiusmodi sunt omnes numeri a binario in infini
tum comprehensi quos in uniuersum metitur unitas, certa inter sese rationem vel habitudinem obtinentes: omnes item cotinuae & ad n meros relatae magnitudines quarum ratio vel habitudo determinatis Incommuni es primitur numeris. Quae autem sub communem alicuius magnitu. tiush iihi, dinis seu partis quotae mensuram non cadunt. incommunicares. aut gnitu Mi incommensurabiles irrationales quoque magnitudines adpellantur: arrationalis inter quas contingens rario vel habitudo irrationalis surdaveres si risi ' dente icitur, vi pote quae nullo potes exprimi numero, & propter dicitur, ea , tum ips naturae, tum nobis relinquitur ignota . Quemadmoudum euenire solet inter radices non quadratorum. aut minime civibicorum numerorum, & ipsos cum inuicem comparantur numeros:
inter quoque diagonium,& latus cuiusuis quadrati geometrici & quet italaissi. similis videntur esse dispositionis. Omnis ergo arithmetica ratio. 4
videtur esse rationalis : geometrica vero . rationalem εἰ irrationaulem perscrutatur magnitudinum habitudinem. Singulae quoque rautiones eidem generi continuorum accidentes . utpote lineis. acetaedunt & reliquis omnibus continuorum generibus , utpote supersis ciebus. atque solidis: at de numeris secu; es iudicandum.Nunc ita,que. de rationali magnitudinum habitudine utcunque tractabimus:
postea irrationali m sno loco discutere nitemur. e Communicatium rigitur magnitudinum ratio. quae rationcilis vocatur habitudo aut aris qualitatis aut inaequalitatis nomenclaturam adipiscitur. Aequalita, Ratio aequa tis quoties duarum inuicem tequalium magnitudinum fit compara, 1, ὴ , i . tio. Inaequalitatis Vero cum vel maior magnitudo minori comparaanaequa irai tur & maioris inaequalitaris ratio dicitur: ast chm minor ad maiore Mitioisi. refertur magnitudinem: & ratio minoris inaequalitatis adpellatur. Vtraque rursum. maioris videlicet & minoris inaequalitatis ratio.
in quinque species principaliter subdistribuitur: tres quidem simpli,ces. quae sunt multiplex. superparticularis. & superpartiens: & duas compostas. quas multiplicem superparticularem , & multiplieem suis Ratio inusi perpartientem adpellare solemus. Multiplex itaq; maioris inaequa. nupis ' litatis ratio dicitur.eum maior magnitudo minorem pluries quam semel adaequa te comprehendit: quod si bis acciderit Jupla: si ter triplar Ratio supere, si quater quadrupla.& ita deinceps nominatur. Superparticularis auar m ηἰς tem ratio fit quoties maior magnitudo continet minorem semel, α
112쪽
ARITA. p RACT. LI s. n 1 parte insuper eiusde minoris quotam: quae si fuerit .hu iusmodi ratio sesqualtera: ista sesquitertia si aute luerit sesquiquarta,&sic in infinitu adpellada est. suppartiesvero ratio dici solet cu maior magni Ratio sepertudo minore itide semel copreliedit di aliqua praeterea ipsus minori p ς'
parte no quotam . quae quide ratio partim a numeratore partim quoq; δ denominatore eius de partis no quotae, peculiarem sortitur nomeniciaturam. Nam si fuerint psius minoris . eadem ratio superbipartatiens tertias dicetur: si supertripartiens quartas: si vero G. super quadripartiens quintas:& deinceps ita pro earunde partium varieta
te peculiariter nuncupabitur. Multiplex deinde ratio superparticula, Multiplauris efficitur quoties magnitudo maior pluries qu)m semel ipsam mi norem comprehendit. N partem eiusdem minoris quotam: unde paristim a multiplici partim etia a superparticulari ratione ex quibus consurgiC denominatur utpote si maior comparatam magnitudinu bi contineat ipsam minorem.&ta eiusde . tune huiusmodi ratio dupla sesqualtera diceturis ter miripla sequitertia di si quater di quaesdrupla sesquiquarta tisicin infinitu venit adpellanda. Multiplex tandem superpartiens ratio nominatur cia ipsa maior magnitudo minorem pluries itidem continet. & partem insuper eius de non quotam: quae rursum partim a multiplici, partim quoq; a superpartiete ratio, ne cex quibus componitur nomen obtinebit. Vt si maior minorem bis comprehendat magnitudinem di 2 eiusde minoris, eiuscemodi ratio dupla superbipartiens tertias vocabitur:si ter me , tripla superis triparties quartas:s quater &s quadrupla superquadriparties quin tas:&sic consequenter de similibus pro varia multiplicis di superpar
tientis occurrete rationis dispositione. 45species autem minoris inaris qualitatis eaedem sunt ac inter eosdem solent euenire terminos, Cum notis rima.
praememoratis speciebus maioris inaequalitatis: Variato solummodo ii xit terminorii ordine coparando videlicet minorem magnitudinem ipsi
maiori iuncta huiusmodi syllaba sub .set itaque submultiplex subsu,
perparticularis subsuperpartiens:&ita de reliquis tam simplicibus. etiam compositis rationum speciebus queadmodum ex prcedictis colisa ligere haud difficile est. Ad quorum omnium maiorem elucidatior ianem. N in particulare singulorum exemplum. sequentem ordinaui, bus de vitiimus numerorum descriptionem: iuxta qua species tum rationis multitiplicis tum superparticularis atq; superpartientis sunt annotatae: n5 quidem omnes sed pro ipsus descriptionis capacitate quam potes splures optaueris)quantumlibet libere continuare verticales &supreae mos infimis aut laeuos dextris & extremalibus pro columnarum, seu linearum respondentia componedo numeros.Cum igitur inferiores
113쪽
ORONTII FINEI DELPH. superioribus columnatim coparaueris numeros, maioris inaequalita, tig rationes habebis: si vero ijdem superiores inferioribus coparetur, minoris inaequalitatis rationes verso videbis ordine.
1. 3 ee, tripla petiis artiens restitas
Iu HIS. AD FACILIOREM SUCCEDENTIUM IN TED, ligentiam praelibatis de proportionibus cosequenter disseramus Pro Proportio portio est duaru pluri timve rationυ aut disserentiarum inuice copa, ni diffinitio sit uilitudo. in teibues ad minus terminis crastituta. Omnes iram Pi,ptii id. discreta cotinuaeve quantitates inter quas ea de ratio vel aequalis distinatio MN, serentia reperitur. proportionales esse dicuntur. Proportionum alia arithmetica alia geometrica alia vero harmonica nucupatur. Aricla, lamellea metica proportio qua progressione adpellanta est co paratoria inuicev ppitio, numeroru eade obseruata differentia: ut inter hos numeros s.6 4. naqueadmodum octonarius. senariu binario superat:ita senarius .eode Dissdientia. binario quaternariu excedit. Disserentia igitur adpellamus excessum. quo maior quantitas minore superat vel quo minor vincitur a maio ri Geometrica vero portio est accidet tu inter coparatas inuicema
hi tidine, furionii similitudo Velitri si dupla duplae aut tripla tripis, vel alia ququis rario simili csparetur.Vtpote si dicamus queadmodu 2 ad 4 ita 6 ad 3: vel qua ratione habent 1 ad 9, eande seruat 9 ad 3 &Harmonica 3 ad unitate .Harmonica tande proportio est. qus nec in differentiam. p pQxtio, in f, iotitistini litudine consistit: sed efficitur, cum tribus oblatis terminis qua ratione habet maximus ad minimia eande obseruat differentia maximi supra mediti, ad differentia medij supra minimii. Vt inter hos videtur accidere numeros ue,4 3. 13a quem adu ., 4 , 3imodum senarius ad ternariu dupla obtinet ratione: ita & binariues dis retia senarii &quaternaris ad viai, coxollaria. tale quae est eius de quaternari; supra ternariu disserentia. e I linc suis cile patet. arithmetica proportionem a geometrica: & harmonicu ab utraque discrepare. At quoniam geometrica proportio sola intercat teras peculiari nomine proportionis venit adpellanda ea dem quoq; caeterae nuper exprella proportiones, nostro negotio parti conferre
114쪽
Αst ΙΤΗ. PRACT. LIB. 11 I r. videtur: idcirco reliquis nuc consulto praetermissis de sola geometri ea
proportione tractabimus. i. , PROPORTIO ITA VE CEOMETRICA, VEL CONὰ propolim tinua. aut discontinua reperitur. Continua diximus euenire propora tacitimi, 'tione: quoties propositis quotlibet eius de generis quatitatibus omniuantecedentiu ad proxime consequetes, eade obseruatur rationis habitudo.Vt queadmodu se habet prima ad secunda. ita secuti ad tertia & tertia ad quarta.& deinceps quantumlibet: in huc quippe modum.
ut prima antecedentis tantum do ultima verb consequentis. funga AB CD tur officio.Vt in magnitudinibus sicut A ad B ita p. a3 C. &l l C ad D.vel innumeris quemadmoJhm se habent a ad 4, eo, i dem modo& ad . atq; 1 ad unitatem: ubiq; enim dupla patio continuatur. ε Constat igitur continua proportione in Corollariu
tribus ad minus terminis tore constituta. t te genere diuersa.
non posse continua proportione ligari. Adde quod continue proportionaliu quantitatu aeque multiplicia aut submultisplicia continua pariter obseruant inter sese proportione. Et e diuerso. qualitates quaru aeque multiplicia aut submultiplicia colitinua proportione ligantumcontinue proportionalia diceda sunt. Pro positis nanq; rursum numeris 8 4 1 1. si tripli verbi gratia singulo,rum accipiantur numeri utpote 14 11 6 3: hi similiter dupla inter sese ratione obtinebunt. Eade quoque rationu similitudo seruabitur. inter submultiplices: ueadmodii ex praefatis numeris elicere saeith potes.
per conuersam terminorum C paratione. Ide etia iudicabis de singu is eorunde cotinue proportionalita differentus suo lautes ordine coisparatis: velut obiecta numeroru descriptio mon
, 3 strat. Qua enim ratione habet 1 ad 9 & 9 ad 3. y atq; 3 ad iteam retinent 18 ad 6 atque s ad a cna utrobiq; tripla atqui is est disserentia primi ad secundia: , autem ip sus secundi ad tertium:&di eiusdem terti3 ad ultimum. ii et DIS CONTINUA VERO PROPORTIO C p O M E 1 Ria vca dicitur:cum propositis quatuor pluribusve qualitatibus prima ad distotilium secunda eam habet ratione, qua tertia ad quarta. & quinta ad sextar& consequeter ita pro datam quantitatu multitudine.eo quippe moado.ut consequens primae rationis non fiat antecedes proxime succedentis secundae rationis: neq; similiter consequens ipsus secunda itertiae rationis efficiatur antecedes: ut in continuis diximus euenire pro portionibus. sed omnes impari numero distributar. antecedetes tantsi modo nominetur: sub pari autem cadentes ordine. consequentes. Vt
exempli causa , scut E magnitudo ad F magnitudinem ita G ad
115쪽
H.vel in numeris queadmodiim a1 ad s. ita s ad utrobiq; pso enim sesqualtera ratio comperitur. Hinc sequitur discon stinuam proportione quatuor ad minus requirere terminos. lati inter quantitates genere diuersas indifferenter inuenis . ri:propter consequetis primae rationis ab antecedente secuis 4dae discontinuatione. Possumus itaq; dicere sicut E ad F ita 6 aad 4: aut queadmodhm 11 ad 8 sic CadH. Omniu praeterea quantitatu discontinua proportione dispositaru aeque reui, tiplicia aut submultiplicia primae & secundar. cuaeque multiplicibus tertiae & quartae,& reliquis ii occurrat: eade ratione proportionatur. Et vice versa quotlibet quantitates quarti aeque multiplicia primae dc secudae cuaeque multiplicibus tertiae & quartae & Caereris occurretibus, ea de ratione fuerint proportionata sunt inter sese dis tinue sporistionales.Queinadmodu obiecta numeroru descriptio mosti attin qua
prius acceptorii numeroru II, 8, 3,
Di repo PRAEDICTIs OMNIBVs, PER CONTRARIAM 1atio q*qη singulorsi interpretatione colligitur quatitatu neq; continue neq; disi continue proportionaliu diffinitio. Quo nia si prima quantitatu mauiorem aut minore ratione habuerit ad secundaci tertia obtineat ad qliarta luaiusmodi comparatio.siue rationum habitudo dispi oportio nominatur.& ipsae quo litates dis proportionales, vel improportiona, era odis, les adpellatur. Disproportionaliti itaque quatitatu aque multiplicia propo ' aut submultiplicia prim & secu is maiore minoremve rarione obtunebul uaeque multiplicia vel submultiplicia tertiae & quartae. Quod si aeque multiplicia aut submultiplicia primae 5t secudae magnitudi, Dis maiore aut minore obtineant inter sese ratione.q aeque multipli,eia vel submultiplicia tertiae &quartae: insertur versa vice. propos, ias quantitates esse disproportionales. uorum exempla dare superis suum existimamus: utpote quae per cotrariam proportionalium ha biis dinem elici vel facile pollunt. I SV PER EST TANDEM, pΑvCVLA DE PROPOR. tionii speciebus. in medium adducere quae nihil aliud esse videntur. variae rerminorii acceptiones. inserendive modi ex continua aut dis Continua proportione defluisti ad faciliore intelligentia quinti Memetorum Euclidis una cu praedictis rationu& proportionu descriptioniphi uecta buS.haud paru conducentes. Elia primis itaq; sese offert permutata
116쪽
ratio.Dicitur aute ratio permutata cu antecedes primae c5paratur ad antecedens secundae rationis tanu ad consequens.&c6sequens ipsius primae tanq antecedes ad consequens eius de secundae: id est cu uter a σὴ terminus primae rationisiit antecedes &vreri
t ' I terminus secundae vertitur in o Meium conseis
- . γ quentis.Vtii A ad B suerit, sicut C ad Di ex eo inferamus ergo sicut A ad C.ita B ad D. Co
uersa vero ratio est antecedentiu in consequentia.&c5sequentium in antecedentia transmutatio. Utpote si fuerit ea de ratio A ad B. quae Cad D: S a contraria terminora acceptione cocludamus. igitur sicut Bad A ita D ad C. In permutata ergo. atque conuersa ratione tam antecedentia quam etiam consequentia. secundum substantiam manent eadem. Conuersio autem rationis, quam euersam rationem itidem nuncupamus, est comparatio cuiuslibet antecedentis ad disseretiam qua idem antecedens suum excedit consequens Quemadmodum sia, s 4 c dixerimus,si AB ad B eam habet ratione. An I A cD 1, c quam CD ad Drergo AB ad A disserentia,
erit veluti C D ad differentiam C E1h au
tem A excessus A B . super ipsum B : & C disserentia.qua C D superat ipsum D.
Est & alia rationucoparatio quae coposita seu coniuncta ratio dieitur.Coposita ratio est acceptio cuiuslibet antecedetis, una cu seque te proprio ad ipsum consequens. Veluti si eadest ratio A ad B, qua 11 3 4 ε C ad D. in hunc modia intulerimus igitur
Au A B co e D sicut A s coposita ad B. ita CD posita ad
ipsum D. queadmodum obiei hi supra liis
teras indicat numeri. Huic eotraria est disiuncta seu diuisa ratio. Est enim coparatio disserentiam cuiuslibet antecedetis supra suu conseques ad ipsum coseques. utpote si tota AB ad B ea obseruet ratione quam tota C D ad D, inferatur ex eo: igiturqueadmodum A ad B ita C ad D.Patet itaq; in euersa coposita atq; diuisa ratione terminos eos de secudia substatiam minime remanere: ta re etsi nihil sumatur extrinsecu. Aequa tande ratio nominatur quoities duobus quatitatum ordinibus aequali multitudine distributis.ea.demq; rationu sportione colligatis prima alterutrius ordinis se baisbet ad eius de ordinis ultimu .veluti prima reliqui ordinis ad ultimam eiusdem:aut si velis. per medioru subtractione. extremorii ratio eadeutrobiq; reperitur. Erepli gratia .sint primi ordinis quantitates A s C: secundi vero D, E F: sintque Α Β & D E sesqualtera.B vero & EF duapla:vel AB. & Ε F dupla . BC autem atque DE sesqualtera rationis HJ.
Conuersa ra ustisio rationis aut suosa latio,
117쪽
tiolusi in una compositio, qualiter sa cienda Exemplum ptimum de
multipliciurationum additione.
habitudine,pportionati. Si fuerit igiturΑ cad B sicut Dad Ε.&B ad C velut Ε ad F: vel A ad B sicut E ad F. & B ad C veluti D ad Ei & substimatur ergo sicut A ad C ita Dad p. praedictas sex rationu acceptiones speciesve proportionu demostrat Euclides quinto geometricorum elementorum: as quem si plu ra desideres confugere poteris. Hς enim sunt principaliores,&nostro suscepto negotio satis utcunque facientes rationum atque proportionum diffisitiones:quare de his nunc esto satis
De agitiose atque subtraRione duarum quarumcunque ratio russi aginuicem: seu ge pro luilione irationis, ex duabus quibusvis rationibus inuicem msltiplicatis acii diti Ceseruia. Cap. 1 I. O N PARVUM VIDET UR ADFERRE I v V A. 1men js qui circa magna Ptolema structione qua vocatst Alma gestu)aliave secretiora mathematicam documeta se rapiuscule versantur, in proptu cognoscere : quamam ratio ex duabus quibusvis oblatis & inuice adiunctis, mutuόve si abtractis seu multiplicatis ad inuiee aut diuisis quantitatu rationibus componatur. potissimum quum per regulam sex proportionalium magnitudinum, ab eode Ptolomeo subtiliter excogitata. & a nobis in proximia claurius elucidandam, opera pretium sit easdem sex quantitates inuicem proportionales, ad quaternarium reducere numerum: dc in usum illius
conuertere regialae quae tribus oblatis iumeris, quartum docet inuenire proportionalem, quemadmodum proximo capite. ipsam quatuor proportionalium exprimendo regula, sigillatim manifestum efficie
mus. In primis itaque.generatam ex duabus quibuscunque ratio, χnibus inuicem adiunctis seu multiplicatis d ceamus inuenire ratioὰnem sitque haec generalis & semper obseruanda regula . Propositis duabus quibusvis quantitaturationibus . in una rationem coponenis dis gucito primum terminu unius in primu alterius terminu :&pro duetiam facito primu terminum consurgentis inde rationis. Deinde multiplicato secundu alterutrius terminia per terminum secundu reli,
qt productumq; statuatur secundus eius de positae rationis terminus. Na hoc modo consurgente ex duabus propositis ratione habe bis ab eo semper denominanda numero, qui ex utriusq; propositarurationii inter sese multiplicatis denominatoribus coponetur. Sint 3 primum in exemptu duae rationes multiplices. A quidem ad B dupla.& C ad D tripla: ex quarti compositione; resultante cogaris habere ratitionem. Duc igitur A in C, aut e contrario : &sat E numerus, quem
118쪽
subscribito.pro primo ipsus producendς
rationis termino. Deinde multiplicato Bin D vel e diuersor &consurgat numerusi pro se do eius de productae rationis termino collocandus. Cocludas ita .ratione A ad B una curatione C ad D: efficere ratione E ad F. Atqui ratio A ad B dupla C aute ad D tripla suscepta est igitur si multiplicaueris 1 ipsus duplae rationis denomi natorem per 3 denominatorem ipsus triplae; seni s denominator eiusdem copostae rationis.quapropter g ad F sextirpia dicetur habere raationem ex additione duplae cum tripla constituta. Ex his facile patet. ex duabus rationibus Θuplis generari quadruplam: ex duabus autem triplis. nocuplam ex binis vero quadruplis sedecuplam.& caetera. 4 e Dentur rursum in exeptu, duae rationes superparticulares, utpote C See D euad H sesqualtera & Κ ad L sesquitertia.Duc igitur C in Κ & fisi Mette Ii in L.&consumat N. Erit itaq; M primus perparticula
terminus, N aute secundus ipsi DS compos addendis.
stae rationis M. N:qua dupla esse constat. si enim ita denominator sesqualterae rautionis ducatur in 1 e denominatorem sesquitertiar per doctrinam undeeimi numeri sexti eap. libri secitdi: sent 1. a quibus dupla ratio deis nominatur. Hinc relinquitur euidens curnam diapente cosonantia Cesia14m iuncta cum diatessaron diapason consonantiam quam duplam sole, notandum. mus adpellare componant: nam diapente in sesqualtera, diatessaron vero in sesquitertia ratione consistit. Colligitur etiam ex praedictis. duas rationes sesqualteram duplam sesquiquartam efficere rationemes duas vero sesquitertias coponere superseptupartietem nonas. pro, Exemplum
ponantur iterum in maiorem ungulorum euidentiam duae superpars hianti stipEi,
tientes inuice addendae rationes: scilicet C ad P superbipartiens ter, partientium tias, & Q ad R supertripartiens quaristas. Duco itaq; primu. O in Q. & fit sprimus terminus:deinde P in R. essiscitur T secundus terminus copositae rationis S ad T. qum est dupla superudecupartiens duodecimas.s enim duxeris 1 l denominatore superbi, partientis tertias in 1-ὰ quibus supertripartiens quartas denominatur: prouenient a quae productae rationis denominatione osten dunt. Sequitur ergo .duas superbipartientes tertias, dupla superseptu cestia, .
partientem nonas coponere rationem. Duas vero supertripartientes
quartas reddere tripla sesquis decimam. Item ex sesqualtera cum su perbipartiςnte tertias duplam sesqualteram cofici rationem. Atq; exH. h.
Sunibipartiens tertias. Supertriparties quartas.
119쪽
ORONTII FINEI DELPH. sesquitertia &supertripartiente quartas, consurgere duplam sesquia
tertiam. probabis etia quoties duae rationes minoris ince qualitatis. inuice coponuntur: semper generari ratione utraque minore. velut ex
praeas sumptis exemplis elicere haud difficile potes: vertendo primos cuiuslibet rationis terminos in secundos.& e diuerso ta simul addendaru rationu .cl etiam earu quae ex eis de productae seu compositae sunt. Demi CVM AvTEM RATIONEM A RATIONE SVBTRΑ-s here, aut ratione per alia diuidere fuerit operaepretio ratione intelliis scia diuisioci gas velim no omne indisserenter a qualibet:sed minore tantum amasi ori) ut differentiae ratio qua maior ipsam minorem videtur excede Resus, i , re rationc innotescat:in huc facito modia. Collocato minore & sub,
3ςU trahenda ratione.s tib ipsa maiore a qua videlicet subtractio facteda est.aut diuidente sub diuid eda. ducito postmodu primu superioris raestionis terminii in secundu terminu inferioris & subtrahedae rationis N productu futurae seu relictae aut generator rationis facito primum rei minia. ducito consequeter secundu eius de superioris rationis terminum,in primu ipsius inferioris productumq; statuatur secundus ter, minus eius de relictae seu generatae rationis. Haec aute ex huiuscem di subtractione generata ratio ab eo semper venit denominanda nu, mero.qui ex giuisione denominatoris ipsius maioris rationis p deno i minatorε minoris di subtrahedi rationis generatur. Demus exem, ii sui. plia in multiplicibus: sitq; A ad B ratio triplara qua dupla ratione quae est C ad D iubeamur auferre. Ordinatis itaq;. veluti Duc diximus,leris minis, duco A in D: & si E. primus ipsus reli
ctae rationis terminus. Duco rursum B in C: Acconsurgit F. secudus eiusde rationis terminus.
Tande quonia triplar denominator est ternarius.& ipsius duplae binarius:sis dividantur per L prouenient i , id est . unum & dimidium uae sesqualteri rationis denominatore os edunt. Cocludendu igitur. upla ratione a tripla subducta relinquere sesqualtera: aut si velis tri
i. plam rationem ipsit in duplam sesqualtera superare. 4 Osseranturtur a
Aloin, de sum in exemplum duae rationes superparticulares: utpote G ad Hses,
cita altera & K ad L sesquitertia ab eadem sesqualtera ratione tolle sa. R epositis igitur suo ordine terminis; ducatur in pri mi, C in riti sat M. Rursum H per Κ multiplicetur: ljtq; productu N. Aio itaque ratione C ad H ratione ipsius K ad L hoc est, sesqualtera ipsam sesquitertia ea quae est M ad N ratione superare:qua sesquioctaua esse relinquitur manifestu. Quonia si 1 sesqualterae denominator, per 1 denominatore sesquitertiae diuidatur, per doctrinam septimi
120쪽
ARITH. PRACT. LIB. IIII. Meapitis antecedetis secudi libri proueniet quibus sesquioctauaratio denominatur. quod etiam praemisi cum literis videtur indies res numeri De caeteris ide. 4 At si superpartiente, a superpartiente velis ia . L. auferre rationem non aliter operaberis. Exempli causa es o C ad p ra perpartientitio supertripartiens quartas: aqua ratio ad R superbipartiens ter, hy' Auptri in quartas i Od 4. P j tia S, subducida sit. Duc itaque O in R.
Superbiparties tertias. l .s .R. M sducatur Si deinde P in a & fiat T . eiques in ma ', Quale igitur rationem habebit s ad
T eadem ratione supertripartiens quartas hoc est O ad P, superat suis perbipartientem tertias quae est ipsius O ad Rrea autem erit sesquiuiis gesma. Nam si id supertripartientis quartas denominator, diu id autur per i l denominatorem ipsius superbipartientis tertias:fient pro
quoto numero 1 a quibus relicta seu generata ratio venit denominanda. De quibuscunq; similibus idem habeto iudicium siue simpli
ces inter sese rationes aut superparticulares atque superpartietes itiisdem inter sese.vel superparticulares aut superpartietes a simplicibus, sue superparticulares a superpartientibus auferendae proponantur. 1ο Hinc sequitur si multiplicem a ratione multiplici vel si aperparticu Coiolla M. larem a superparticulari, aut superpartientem a superpartiente celus: dem tame denominationis)subduxeris:prouenire seu generari ratiorinem aequalitatis Vtpote si duplam a dupla, sesqualteram a sesqualteis ra superbipartiente tertias a superbipartiente tertias, aut eius cemodi rationem auferre iubearis:tuncque ratio cuius antecedens maius est, venit alteri suprascribenda. quemadmodum subiectae in maiore omisnium elucidationem videntur indieare descriptiones.
sequitur etiam duplam a quadrupla ratione subductam; relinquetire duplam. Si vero sesqualtera ab ipsa dupla subducatur generabitue sesquitertia & s ab eadem ratione dupla dematur sesquitertia. relin quetur versa vice sesqualtera Item superbipartientem tertias a tripla ratione sublatam producere superquadripartientem quintas : quem admodum sesquitertia .a supertripartiete quartas ablata .relinquit suisti perquintupartietem sedecimas. Quod si minore 3t subtrahenda su Notandum. prascripseris ratione inuerso scilicet ordine obseruaueras primissam
numerorum alternatim factam multiplicationem: conuersa etiam rationis comparatio producetur utpote,minoris inaequalitatis. ut que,
admodum minor 3c suprascripta ratio praecedit ipsimi maiorem: ita primus qui producetur numerus. minor erit secundo. Monstrabitur