Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

21쪽

r. SECTIONUM CONICARuMtandas , quibus iis satisfieri posset, animum

converterunt.

Quas primo Veteres considerarunt, sunt conicie fectiones , hoc est eaς , quae ex coni per planum sectione oriuntur. Sed fieri fortasse potuit , ut eo fuerint manuducti natura ipsa

eorum problematum , quae primo norunt circulunt respuere . Nam, sicuti constat , problemata ista fuisse duplicationem cnbi , er anguli trifectiρnem 3 it4 explorata res est , utrumque horum problematum natura suo ad ςpnicas sectiqnes pertinere . Ut ut vero fuerit, problemata , quae per ea S solvuntur, vocarunt solida; quia lineae , iis inservientes , ex solido ducunt originem suam. Post conicas sectiones plures alias curvas Vetςrus excogitarunt: & problemata , quorum constructio 3i eas adhibebant, vocarunt linearia . Sed extit pre nonnulli, qui posthahitis coni sectionibus , utebantur curvis illis etiam in constructione prublematum solidorum . Verum , ut ex rappo discimus , ad id non aliud eos adegix, quam quia tunc temporia di iti erat conisectiones in pigno descria

Aere . Unde aetate nostra , qua descriptio earum curvarum in plano nullam dissicut Iatem patitur , piaculum foret, simile quidpiam moliri. Qi: primus inter Veteres In con Icariam sectionum contemplationem devenerit, non

satis liquet . Sed , si qua fides Pappo , conscripsit de iis quatuor libros Euclides , quos quum explevissct Apollonius Pergaeus , alio que totidum asi ecisset , octo conicorum librib co

22쪽

confecti. Ex his libris posteriores quatuor

dumtaxat ad abundantiorem fientiam pertianebant. Et inde factum reot, ut gra cum eorum exemplar gd nos usque non pervcnerit. Enim vero istarum rerum studiosi solos qui- tuor priores, discipling cle menta continentus,

Probabile est autem, non eoilcm te inpore libros quatuor posteriores intercidis te . Nam versionei arabicae . quare κtant, septem priorum argumento nobis esse possunt,

octavum librum fuisse primo deperditum . Ex una harum versionum in epitomen redactu excerpsit Boreliu noster libros quintum textum,st septimum , quoi latine redditoa , suisque commentariis, illustratos in lucem emisit . Sed eosdem . adhibiti et versionibu et alii , edidit quoque Edmundu Halleiust , quibus tum

quatuor priores graece latineque . cum octavum Proprio marte restitutum adjunxit .

Caeterum Apollonius, inter ipso Graecos quam plures habuit Commentatore4 . Praecipui vero fuerunt Dappus , S Lut tu , quorum prior lemmata in singulos libros , alter commentarios in dissicilior loca com scripsit.

Et istius quidem commentarii, quum in ipso

conicorum opere legerentur , mutili etiam ad nos pervenerunt. Sed Pappi lemmata nullum detrimentum insuria temporis passa sunt. Nam ea in suis collectionibus ipse Pappus inseruit, quarum etsi priores duo libri non amplius extent, extat tamen liber septimus , in quo illa Auctore suo inserta fuerunt.

23쪽

4 SECTIONUM CONICARUM hes , a quibus & scholiis illustratus , ct eos

tractus etiam in epitomen. Tum Italos coi venit, qui etsi eum postremis quatuor libris truncatum exceperint, in ejus tamen doctrina adeo profecerunt, ut non defuerit inter eos , qui libros quintum , Sc sextum propriis viri hus restituerit. Denique per omnes Europae regiones migravit, S ubique viros ingenio , doctrinaque praestantes comperit, qui illustrationi eius certatim operam navarunt. Verum, etsi Apollonius omni tempore

fuerit excultus ,& plerique ejus doctrinam

nova etiam methodo enucleatam exhibuerint; adhuc tamen talia suorum conicorum Eleme ea desiderantur, quae tironibus proficua e

se possint,& dodiis etiam non improbentur. Hanc ego provinciam exornandam mihi proposui, ex quo primum agnovi necessitatem isti ii simodi Elementorum.Sed quae in Tui commodum, S usum, PRINCEPS EXcELLENTISIMA, conscribere decrevi, audacter se spes insinuat,

posse eorum munus obire .

In iis autem conscribendis methodo utae plane singulari. Neque enim, ut passim fi ri solet, propositionibus , scholiis , ct cororulariis Te detinebo ; sed continuo , ct non interrupto sermone tuis oculis cuncta subjicIam. Non inficior, hoc pacto paulo loquaciorem me esse oportere. Sed , quando ei medebor sterilitati, quam recepta Geometrarum methodus parit; nemo opinor erit, qui laxiorem illam scribendi retionem mihi vitio vertet.

24쪽

. ELEMENTA. ς

LIBERI.

De ortu ,'Natura Sectionum

Conicarum.

Rεrum veritatem nulli al l mei us a

sequuntur , quam qui eas ab initio nascentes inspiciunt. HIne , acturi de sectioni. bus conicis , earum primo Ortum oportet Contemplemur . Possunt autem hujusmodi curvae Variis , multisque modis oriri. Sed , ut jam dictum est , placuit Veteribus , eas eruere ex sectione coni fam per planum. Unde, illo rum eXemplo, primam earum originem nos etiam ex cono deducemus.

CAP. LQua ratione oritur conus , πquot modis plano scari potes.

I. T I T origo conicarum sectIonum ex I.

cono rectius intelligatur, ostendenda est prius genesis illius solidi, quod cois nt; tum v nur appellatur . Sane Euclides in suis Elemen. tis eam universaliter non tradidit. Nam voluit oriri conum , quando rectanguli trianuli ma- ente uno crurum, circumducitur cras alte

25쪽

ε SECTIONUM CONI ARUM rum , donec redeat ad priorem locum. Primus Apollonius ad suam universaliis talem illam evexit. Enim vero docuit conum oriri, quando reva, ex sublimi, ac manenis re puncto ad circuli cireumferenIiam di. missa, eam integre percurrit . Qua ratione , praeter conum euclidaeum , quem vocavit rectum , adeptus est conum ali uin , quem υbliquum , seu scalenum appellavit.

Recta si quidem , quae sublime punctum

cum centro circuli conjungit , potest eum plano huius , tam rcctos , quam obliquos an gulos constituere . itaque, quum ei insistit ad rictos angulos, conus daeetidus est rectus, tibi vero insistit ad angulos obliquos , oblia quas . suu scalenus conus ipse vocandus. in utroque autem cono recta illa , quae coniungit sublime punctum cum centro ciriseuli , dicitur axis ipsius coni . Et scuti punctum illud sublime , quod in coni generatione manet fixum , ct immotum, vocatur tertex; iste Sc planum ipsius circuli basis nomine insignitura

Utrtimque etiam conum liquet iis is ἰ- tum augeri . si recta, quae ex sublimi puncto

ad circuli circumserentiam ducitur , producatur in serius in infinitum . sed , si eadem recta extendatur quoque superius; tinac describetur conus altet, cujus idem erit vertex , idemque pariter axis cum cono priore . Duos hosce conos, quum 1aobis usui erunt, vocabimus oppositos. Sed notetur sedulo velim, quod ut tali nomine duo coiit de

ignent ut, haud quidem Latia sit , eos eundent

26쪽

ELEMENTA verticem , euirilemque axim habere; sed necesse est q AIque , ut per eandem rectam ambo

describantur .

supersicum ι ubi ad terticem Mn pertinet . . Esto etenim contis ABC , cuius vertex Fio. D. sit puncti ini A , basis autem circulus BCD. a. Capiantur in eius superficie duo puncta P , &G , quae iungantur per rectam pG . Dico , re Etam istam esse in superficie conica , quum transit producta per verticeni A , ct cadere intra superficiem , quum non pertinet ad Veri I. Ex ipsa autem coni generatione ultro sequitur , rectam, conjungentem duo puncta tu.

permisi conicae , epe in ipsa superficie, quum productu transit per verticem , ct eddere intraticem a

Si enim fieri potest, recta FG cadat in Fio. r.

primo casu , vel intra , vel extra superficiem conicam . Et quoniam recta , quae eam superficiem describit, revolutione tua transit per

omnia puncta ejus ι transibit quoque per plinctum F . . re duarum rectarum erunt iidem termini: quod seri non potest. in secundo autem casu iungantur rectae Fici. 2. AF , AG , quae quum sint in superficie coniis

ca , eaedem productae occurrent circum se

rentiae hasis in duobus punctis B , ct C. QB

re, quum recta BC sit intra circulum , erit triangulum BAC intra conicam superficiem. Est autem tecta FG in plano trianguli BAC. Et igitur eadem recta FG intra conicam superficiem erit. III. Jam conus plano bifariam secari po- f. test, Primo nempe per verticem, S

27쪽

g SECTIONUM CONICARUM per alium a vertice locum . Quum conas se tur plano per verticem , flent in ejusfuposcis Binae lineae recta . Quotiescumque vero pia num fecans per verticem non transit , tune se ctio Dora in superficie coni carva liuea erit. Fio. g. Ut haec ostendantur , sit rursus conus ABC, qui secetur primo plano, transeunte perverticem. Et jum, si planum istud occurrat ci cum serentiae basis in punctis B , S C ; junctis tectis AB , AC , erunt istae in plano secante. Sed eaedem , quum ad verticem pertineant, sunt etiam in superficie conica . Quare erunt communes sectiones plani secantis , ct conicae superficiet: proindeque, secto cono plano perverticem , fient in ejus superfidie binae lineae

rectae.

Secetur sectindo conus ABC plano, non transeunte per verticem; sique FGH commua,nis sectio plani secantis , ct conicae superficiei. Si fieri potest, sit vel ipse, vel aliqua ejus portio recta , non curva . Et quoniam ea existit in plano secante , quod per verticem non transit; utique nec etiam ipsa pertinebit adverticem . Itaque cadet intra superficiem conicam 3 nec ideo erit communis sedi io plani secantis , ct conicae superficiei: quod est contra hypothesim. iv. IV. Quemadmodum autem , quum conus plano per verticem secatur , fiunt in ejus sustiano per perficie hi me lineae rectae a ita communis fectio ' plano,per verticem transeunte, tria

guium erit.

Fia. a. Secetur siquidem conus ABG plano, perverticem transeunteῶ sintque AB, AC binae lia

28쪽

ELEMENTA. ynem rectae, quae fiunt in ejus superficIe. Ee quoniam planum secans occurrit plano hasis in recta BC , liquet BAC triangulum esse . Est autem BAC communis sectio coni cum

plano . Itaque, quum conus secatur plano, transeunte per verticem , sectio facta in conotriangulum erit.

si planum , per quod dispescitur conus, transeat quoque per axem ς tunc recta , in qua illud occurrit plano basis , erit istius diameter at qua et proindeque triangulum per axem sectum super aliqua basis diametro semper insistet. Vicissim autem , si triangulum ex cono . sectum insistat super aliqua basis diametro , planum ejus transibit per axem . Nam aliter, ducta in eo plano recta a vertice coni ad cena. trum basis , forent hujus , & ax Is iidem termini r quod plane repugnat.

V. Planum porro conum secans , quum non transit per Verticem , vel occurrit plano

hasis , vel ei aequid istat . inum 'catur couas plano , aequissipante basi sectio cireulus fiet .

Nec alterius naturae erit, si non ipse conus

principalis , sed ejus oppositus ea plani positione secetur.

Sit enim conus ABC,& vel ipse, vel eius pila. a. Oppositus secetur plano , aequid istante planahasis BCD. Sit autem FGH communis χ-ctio coni cum plano . Dico , sectionem istam circulum esse, ejusque centrum reperiri in axe coni AK. Ducatur per axem planum aliud, laclens

triangulum BAC. Et jam communes sectiones eius

29쪽

xo SECTIONUM CONICA Ru Meius cum planis aequi distantibus , nimirum re-BC , FG , parallelae erunt inter se. Atquesta quoque, ducto per axem alio quovis plano DAΚ . parallelae erunt rectae DΚ , HL. Hinc , quurn sit . ut AK ad AL , ita BK

erunt rectae BK , CK , DK proportionales rectis FL, GL HL; adeoque,sicuti Bic, CK, DK inter se sunt a qtiales , sic etiam aequales erutae FL, GL, HL. Similiter autem ostendemus, aequales inter se esse rectas omnes , quae in sectione FGH pertinent ad punctuna L . Quare sectio ipsa FGH circulust erit , ejusque centrum erit punctum L , quod reperitur in axe coni AK. Id quum ita sit, liquet, planum basi ae-

quid istans , non tam conum secare , quam silum restituere . Nam ea portio coni, quae ad verticem pertinet , quum circuitim pro bas habeat, adhuc conus vocari debet. VI. Quod si planum secans occurrit plano basis, tunc duo quidem contingere possunt. Nam, producto plano una cum cono . vel tursus planum ex cono egreditur , vel semper jacet intra eum . in primo casu curva , quae gignitur in conica superficie , redibit iii orbem. S spatium claudet. In secundo autem cata curva , quae ibidem producitur, abibit in ii finitum cum ipso cono . Sed .plano intra conum continuo iacente, duo adhuc casus sunt distinguendi. Nam, pro, ducto plano superius , vel secatur quoque conus oppositus, vel et nequaquam occurritur. Quum Primum contingit, in utriusque coni

30쪽

ELEMENTA. II superscἰe producitur curva , quae In Infinitum extenditur. Ubi vero alterum accidit, dumtaxat in superficie coni principalis curva,in infinitum progrediens, generatur . Jam curva, quae abit in ins nitum , quum nullam aliam in adverso cono oppostam habet, vocabitur parabola . Sed, quum ei in cono opposito alia adversatur , tam ipse , quam eius adVersi dicetur perbola. Et den que curva illa , quae redit hi orbem , quaeque prodit Citur plano, utrinque ex cono egrediente , si circuli circumferentia non sit , ellipsis appellabitur. Est autem circum rentia circuli In unisico tantum casu , qui obtinet etiam in solo co-uo scalens. Agnovit hunc casum ipse coniscaleni auctor Apollonius ς & suctionem , per quant ei si Iocus, vocavit subcontrarium. Habetur vero istiusmodi sectio. quum tanteius planum, quam planum basis triangulo per axem secto noritiale est , ex quo etiam triangula similia a platiis illis abscinduntur. vII. Et sane , quod senio eoni scateni. VII. subcoistraria siu circulus , demoni fatur in hunc moduni . Coni kaleni ABC st pGH Disontraria. sectio subcontraria , sique HAC triangulum S 'per axem sectum, cui normale est, tam planum

hasis BCD , quam planum sectionis FGH . Et quoniam triangula ABC, AG p, quae ex eo per

plana ista abscinduntur , ut dictuni est, d hent esse s milia inter se , erit angulus A FG aequalis angulo ACB. Sumatur in recta FG, quae communis est

sectio planorum BACFGH,punctum aliquod poe