장음표시 사용
41쪽
a a SECTIONUM CONICARUM 'aeterum Apollonio , non modo uniis versalis earum curvarum genesis , sed nomina quoque , quibus eas designa mus , ferri debent accepta. Euclι des enim ab ipsis conis, unde illas eruebat, primam vocavit fectionem coni reis alteram femonem coni obtusanguli, &tertiam demum Ioctionem coni acutanguli : hi Lque nominibus ad Apollonium usqtie,cum ArisChimedes, tum alii subsecuti Geometrae curvas illas vocitarunt. Sed nominibus illis non amplius a se mutuo poterant eae curvae distingui , ubi novit Apollonius , posse unamquamque illarum ex quocumque cono deduci. Unde, iis abdicatis, operae pretium duxit Geometra summus , alia curvis illis nomina imponere , quae apta essentiis a se invicem distinguendis. Itaque , a prae incipuis ipsarum proprietatibus , quas suo loco inferius ostendemus , parabolam , hyperbolam, ellipsim eas appellavit.
De diametro lectionum conicarum , deq; ejus verticibus,
I. Uiunumque speeiel sit sectio conica , si fiat in cono triangulum illud per axem . ad quod eam apoIloniana ge- laesis exigit, dicetur diameter sectionis recta illa, quae est communia sectio eius . trianguli, ae plani secantia. Ita,
42쪽
Ita , si DFΕ sit sectio facta , in superficis Fia. s.
conica per planum, occurrenS plano basis , aut 6. 7.
circuli aequid istantis BCD in recta DE ; SBAC sit triangulum , per axem sectum . ad cujus basim BC normalis est recta DE : voea bimus diametrum se Et onis DFE rectam FG, in qua duo plana BAC , DFE sese mutuo seis
Jam vidimus praecedenti capite , rectam istam FG esse lateri AC parallelam , quum sectio DFE est parabola; et occurrere supra Ver licem coni , quum sectio DF Ε est hyperbola, ac demum illud infra coni verticem secare, quum eadem sectio DFE est ellipsis . Unde . habita diametri ratione , tres illae conicae se inctiones poterunt sequenti modo definir I. Nimirum parabola est conica sectio, In qua diameter uni laterum trianguli, per a Xem secti, est parallela. Hyperbola est sed tio conica, in qua diameter unum quidem trianguli latus infra verticem coni, Sc alterum supra verticem secat. Ac demum ellipsis est conica sectio , in qua diameter utrique laterum trianguli infra
II. Dabimus autem rectae FG nomen dia. u. Metri, quia transit velut per medium ipsius se- Currina isectionis. Ut enim ex constructione bisecat in Κrectam DΕ, ita quoque dividit hi fariam rectas tur, te iv omnes , quae ipsi DE aequid istantes, utrinque s. ad sectionem terminantur. 6. 7. Sit namque HI una istarum rectarum. Ostendendum est, eam a recta FG secari bifariam in L. Ducatur per punctum L recta MN.
43쪽
6. 7 SECTIONUM ' CONICA Ru M perinde normalis , ac est D E perpendicularis super BC.' Et quoniam, secto cono plano , transeunte pet rectas MN, Hl . oritur circulus M NH, cujus diameter est recta MN ; eadem Hl, non modo insistet ad angulos rectos super MN , sed bifariam quoque ab ipsa secabiriir . Quare etiam a refla FG bisecta erit in L.
Patet autem , eandem demonstrationem
obtinere etiam , si sectio DFE sit hyperbola,&recta HI ducta sit in eius opposita aequi distanter ipsi DL . Quocirca recta FG erit utriuiaque hyperbolae diameter , ct in utraque divi, det bifariam rectas omnes , quae ipsi DE aequi' distantes, utrinque ad sectionem terminantur. III. Sed nolim hic reticere , quod si trianagulum per axem BAC rectum fuerit plano circuli BCD ; tunc tecta illa FG , quam seis Et sonis diametram appellamus . non modo hi-fariam, v crum etiam ad angulos rectos secabit, cum rectam DE , tum alias omnes , quae ipsi DΕ a quid istantes, utrinque ad sectionem terminantur.
Ex constructicino enim ad rectam BC, quae communis est sectio duorum planorum BCD, BAC, perpendicularis est ipsa DE. Itaque , quum duo illa plana sibi mutuo ocis currunt ad rectos angulos, quemadmodum DΕ existit in uno eorum planorum BCD . ita perpendicularis erit ad planum alterum BAC. Sed recta FG . velut communis sectio planorum BAC , DFE , reperitur in plano BAC. Quare erit DE perpendicularis quoque ipsi FG : S propterea, non modo bifariam , sed
44쪽
ELEMENTA. etiam ad angulos rectos ab ea secabitur. Et quidem , quum conus est rectus, pro prietas ista diametri semper locum habet; quia in cono recto triangulum , per a tem sectum, plano basis , aut circuli aequid istantis sempee ad rectos angulos insistit. Sed longe secus seres habet in cono scaleno ; quandoquidem in eo triangulum, per axem sectum, tunc demum rectum est ad planum basis, aut circuli aequis distantis , quum perpendicularis , demissa ad planum illud ex vertice coni, est in ipso trianis guli plano. IV. Quemadmodum autem recta FG,quae communis est sectio plani secantis , Sc trianguli per axem , vocabitur in posterum diame-ier lectionis DFE ; ita punctum F, in quo eadem FG siectioni occurrit, diametri vertex appellabitur . Sed semisses earum rectarum , quae hi fariam a diametro dividuntur , quum nobis usui erunt, diametri ordinatae dicentur . Et denique coe diametri Portiones , quae vertice, ct ordinatis continentur, ubi nobis inservient, non alio, quam obsesarum nomine , distinguentur.
Quum ellipsis In orbem redeat , occuris ret ei diameter in duobus punctis ς atque adeo duo erunt vertices ipsius . Sim liter autem in hyperbola , ob aliam oppositam , quas continuo illam comitatur , duo erunt diametri vertices. Sed, quemadmodum in ellipsi diameter non majorem longitudinem habere potest , quam quae ei ab utroque vertice conceis
ditur ; sic etiam in hyperbola, ubi quaestio erie de longitudine diametri, ea lautum ipsius portio V
45쪽
16 SECTIONUM CONICARUM tio veniet , quae utroque vertice continetur. Tantum igitur in parabola , ob unicum diametri verticem , nequit ei longitudo ulla praefiniri . Verum , si intimius rem inspicere velimus , comperiemus in hac curva verticem alium in infinita a priore distantia i unde ipsa eius diameter velut in itae longitudinis erit hahenda. Neque enim alia ratione, tam in cili-psi , quam in hyperbola sortitur diameter FG
verticem alium , quam quia in utraque curVAE occurrit etiam lateri AC . At quicumque novit, reuar parallelas velut occurrentes in in i
ta disantia posse considerari ; facile intelliget,
hunc alium occursum fieri in parabola , ubi a puncto F infinite receditur . V. Et sane , tam ellipsis, quam Θperbola vertitur in parabolam , quum altero diametri vertice G in infinitum abeunte, fit ipsa diameter FG infinitae longitudinis . Neque enim punctum G in infinitum abire potest , nisi diameter FG aequid istans fiat lateri AC . Id vero quum accidit, omnino necesse est , ut sectio DF Ε evadat parabola. Nam, ut superius vidimus , parabola est conica sectio , in qua diameter uni laterum trianguli,per axem secti, est parallela. Hine considerari poterit paralola, tam ut ellipsis , quam ut perbola , cujus diameter sic infinitae longitudinis. Et vel hac sola consideratione poterunt parabolae proprietates omnes ex iis derivari , quae sive ad ellipsim , sive ad hyperbolam pertinent . Nimirum , si sedulo Perpendatur , quid in ea , de qua agitur , pr prietate infinita diametri longitudo mutet,
46쪽
ELEMEN TR. a VPlane vero non patitur ratio Elemento. rum , ut in demonstrairdis parabolae propri tatibus haec methodus usurpetur. Sed , ubi propriis suis rationibus proprietates illae sunt comprobatae ue volupe erit, easdem hac alia methodo rursus experiri. Hinc In nostris hisce
Elementis parabola post ellipsim , & hyperbolam semper sub contemplationem veniet , ut scilicet eius accidentia ex proprietatibus ellipsis , & hyperbolae eruere etiam valeamus. VI. Quemadmodum autem ellipsis vertiis VI.
tur in parabolam , quum altero diametri verti- : ' ee G in infinitum abeunte , fit diameter ipsa 'η infinitae longitudinis , & consequenter parallela lateri AC ; sic eadem ellipsis transit in cir- gCulum , quum abeunte in infinitum puncto Κ, 7'in quo rectae duae FG , BC sibi mutuo occurrunt , evadit diameter FG parallela ipsi BC. Nam in isto casu una cum puncto Κ abi. hit etiam in infinitum recta DE , quae communis est sectio plani secantis cum plano basis. Unde , quum duo ista plana conveniant inter se in infinita di stantia , ipsa quoque evadent parallela . Hinc secabitur conus plano , aequi- distante basi i Sc propterea , ex superius Osten. sis , ipsa sectio circulus erit. Id quum ita si, poterἰt Hrculus velut Deetes quaedam eiissis habrei. Et revera,prout ex cono oritur , est prima infinitarum variationum, quas in eo subit ellipsis. Sicuti enim, secto cono plano , tequid istante basi , producitur circulus δ sic . inclinato paululum plano
versus basim, fit statim Ioeus ellipsi, cuius, pro infinitia inclinationibus diversis plani secantis,
47쪽
13 SECTIO NuM CONICA Ru Minfinita quoque diversitas ex lat. Ultima autem infinitarum variationum,' quas in cono patitur ellipsis , parabola est , ut quae contingit, quum planum secans non amplius egreditur ex cono. Sed parabola est etiam prima ex infinitis variationibus , quibus in cono subjacet hyperbola ; quippe quae confestim eam subsequuntur . Quumque demum hyperbola desinat in lincam rectam; haec quoque velut ultima hyperbolarum poterit considerari.
VII. Inter Im linea recta , quae ex cono erui
tur , quandoque es simp&x ω unica , quand
que vero geminata . Ad eam quippe eruendam, semper plano , per verticem transeunte , opus est. Sed,ubi planum istud contingit superficiem conicam; recta erit simplex, ac unica. Ubi Vero eam partitur, & secat, recta non simplex, sed geminata orietur. Et ne aliquid praetereamus , quod scita sit dignum , notetur hie velim, quod sicuti recta illa simplex , quae oritur per planum, cOnicam superficiem contingens , habenda est velut . ultima infinitarum variationum , quas in cono subit hyperbola ; ita recta illa geminata , quae gignitur , secando conum plano per Verticem , considerari poterit velut hy
Perbola,cuius diameter sit nullius prorsus longitudinis . Jam enIm v Id Imus suserius , quod quum diameter hyperbolae fit infinitae longitudinis. hyperbola ipsa vertatur in parabolam , & ejus opposita abeat in infinitum , nec amplius ex
48쪽
ELEMENTA tur in infinitum , ct prorsus e uescat; tunc binae Byperbola Opposita accedent ad se mutuo, vertentur in re t duas , se invicem decvj fantes in vertice coni ; quum non alia ratione abire possit in nihilum diameter hyperbolae. quam plano sectionis per coni verticem transis
VIII. Caeterum, priusquam huic capiti s- VIILnem imponamus, juvat advertere, quod sicuti hyperbolarum oppositarum eadem est diameis seue eadνm ter , sic in utraque hyperbola eadem quoque sit positio earum rectarum , oua diametri ordina-
Monuimus namque superius , quod recta FIO. 6. FG bifariam dividit, non solum eas omnes, quae in hyperbola DF E ducuntur aequid ista nister ipsi DΕ ς verum etiam quotquot in hyperbola opposita eidem DE sunt parallelae . Quare , non modo FG erit diameter utriusque hyperbolae , sed ordinatae , quae pertinent ad hanc diametrum , erunt in utraquc hyperbola parallelelae rectae DE. Clarius autem constabit veritas hujus rei, si in cono opposito plano , aequid istantehasi ipsius com principalis , circulus fiat; tum quaeratur triangulum per axem , quod dirigat sectionem, factam in illo cono. Etenim, quum oriatur triangulum istud , producendo latera trianguli BAC , quod in cono princi
pali dirigit sectionem DFE , liquido patebit,
eandem esse diametrum hyperbolarum oppositarum , ct eandem esse pariter in utraque positionem ordinatarum.
49쪽
C A P. IU. uuae sis natura ellipsis relate ad
I. stensa genesi sectionum conicarum S sequitur , ut propriam cujusque naturam relate ad diametrum definiamus . Primo igitur in ellipsi , si binae ad diametrum ordinata ducantur, erunt earum quadrata inter se , ut rectangula , quae sub correspondentibus diametri portionibus, ab utroque vertice sumptis, continentur . Fiat enim in cono ABC sectio elliptica DFΕ , dc ad diametrum ejus FG, quae utrique laterum trianguli , per axem secti, infra coniverticem occurrit , ducantur duae ordinatae
DΚ , HL . Ostendendum est , DK quadratum esse ad HL quadratum , ut est rectangulum FKG ad rectangulum FLG.
In eodem cono fiant etiam circuli duo
BCD, MN H per plana, basi aequid istantia . Et quoniam corum diametris BC , MN insistunt ad rectos angulos rectae DΚ , HL ; erunt istarum quadrata aequalia rectangulis ΒΚ C, MLN . Quare erit, ut DK quadratum ad HL quadratum, ita rectangulum BKC ad rectangulum MLN . Jam ratio hortim rectanstulorum componitur ex ΒΚ ad ML , ex CK ad NL ; sive
50쪽
nem , quam habet rectangulum FΚG ad rectangulum FLG . Itaque erit ex aequali, ut DK quadratum ad HL quadratum, ita rectanis gulum FΚG ad rectangulum FLG . II. Hinc, si ex vertice F ducatur recta Fo, Π. ordinatis parallela , quae sit talis Iongitudinis, ut quadratum unius ordinatae DK sit ad te ctangulum ei correspondens FKG, veluti est ipsa FO ad diametrum FGI erit quadratum FIG. 7. cujusvis alterius ordinatae HL ad rectat gulum FLG , quod illi correspondet, similiter ut FO ad FG. Ostensum est enim , DK quadratum esse ad HL quadratum , ut est rectangulum FΚGad rectangulum FLG . Quare erit permutanis do, ut DK quadratum ad rectangulum FKG, ita HL quadratum ad rectangulum FLG. Ponitur autem, DK quadratum esse ad rectangulum FΚG , ut est FO ad FG . Et igitur ex aequali HL quadratum ad rectangulum FLGerit etiam , ut FO ad FG . Recta ista FO diametri parameter deinceps appellabitur ὁ Sc rectangulum , sub ipsa , ct diametro contentum , diametri figura dicetur . Εjus autem habita ratione , perspicuum est , id quidem ellipsi contingere , ut quadratum cujusvis ordinata sit ad rectangulum, quod sub correspondentibus diametri portioni-hus, ab utroque vertice sumptis, continetur, in eadem illa ratione , quam parameter ad diametram habet.
III. Maneat jam parameter FO ord Inatis III. diametri Parallela, in qua utique positione