장음표시 사용
51쪽
as SECTIO UM CONICA RuM semper ea intelligi debet . Jungatur alia eius extremitas Ο cum vertice altero G per rectam Go , cui occurrat in it ordinata quaevis DK. Et quadratum ordinatae hujus DK aequale et iecorrespondenti rectangulo FΚR.
Nam rectangulum FKR est ad rectangu Ium FKG,ut KR ad I G. Sed ΚR est ad KG, ut FO ad FG , sive etiam , ut DK quadratum ad rectangulum FKG. Itaque erit ex sequa-Ii , ut rectangulum FKR ad rectangulum FΚG , ita DK quadratum ad idem rectangulum FKG i & propterea DK quadratum , &tectangulum FER *qualia erunt inter se.
Perspicuum est autem,rectangulum FSRminus esse rectangulo OF Κ . Quare quadratum ordinatae DΚ ab eodem rediangulo ΟΙ Κpariter deficiet. Hinc sortita est hujusmodi conica sectio nomen ellipsis; quia in ea quadratum cujusvis ordinata a rectangulo , quod fit ex parametro in abscissam correspondςntem, continuo deficit. Desectus vero est rectangulum aliud, quod insistens eidem abscissae, est smile , smiliterque positum et , quod diametri figuram constituit. Nam, ducta RS, ipsi FG parallela, erit relate ad quadratum ipsius DK rectangulum OSR istiusmodi desectus i quod quidem ipsi RS, seu FK ins stit;&est simile , smiliterque positum et , quod fit ex Fo in FG aquum sit circa diagonalem illius. IV. Caeteriim ratio , quam habet in ellipsi parameter ad diametrum , potes per rems , is cono dumt faelli negotio de iri. Positis enim omnibus ut supra, si ducatur ex vertice coni
52쪽
ELEMENTA. 3 3A recta AX, ipsi FG parallela . qtlar conveniat cum BC, producta, in X δ erit, ut parameter Fo ad diametrum FG , ita rectangulum B XC qad AX quadratum. Nam rectangulum ΒΚC , vel ei aequato quadratum ex DK , est ad rectangulum FΚGIn ratione composita ex BK ad FK , & ex CK
que erit DK quadratum ad rectangulum FKGin ratione composita ex B X ad AX, Sc ex CX ad A X. Jam duae istae rationes componunt paria ter rationem , quam habet rectangulum BXCad AX quadratum . Et igitur erit ex aequali, ut rectangu Ium BXC ad A X quadratum , ita DK quadratum ad rectangulum FKG. Sed DK quadratum est ad rectangulum FKG , ut FO ad FG . Quare erit rursus ex aequali, ut
FO ad FG, ita rectangulum BXC ad A X qua
V. Atque hInc modo facile erit , fedro ex V. cono triangulo per axem, eruere, ope ejus, ellipsim ex ipue cono , in qua parameter ad diame- uo . i. trum datam habeat rationem. Sit enim BAC triangulum, per axem sectum , cujus ope ellipsis eκ cono est eruenda.Dueatur in plano ejus p '' '' orecta AX,quae conveniat cum BC, producta, ita
quidem in X , ut rectangulum BXC ad A X quadratum sit in data illa ratione. Et quaelibet ellipsis, quae per triangulum BAC subinde
eruitur ex cono, ut diameter ejus parallela
fiat ipsi AX , quaesitae conditionem adimplebit. Tom.I. C Ne-
53쪽
34 SECTIONUM CONICARuMNeque veto dissicile erit , adhibito triangulo BAC talem ex cono ellipsim eruere,quae diametrum habeat , rectae A X parallelam. Duiscatur si quidem in plano ejus trianguli recta
quaevis FG , aequid istans ipsi AX , ct conveniens cum BC in Κ . Agatur postea per punctum istud K in plano circuli BCD tecta DE. eidem BC perpendicularis . Et planum , transiens per rectas FG, DΕ , ellipsim, quam quaerimus , in cono producet. Hinc etiam, si ellipsim,ex cono eruendam statem esse oporteat, ut data siu in ea, tam ratio parametri ad diametrum . quam ipsius diametri singitudo ii ii vetur problema, si . ducta, ut prius, recta A X ea lege, ut rectangulum B XC ad A X quadratum sit in data ratione gagatur deinde ita quidem FG, ut non modo sit parallela ipsi AX, sed etiam, ut portio ejus, trianguli lateribus comprehensa , datam diamine tri longitudinem adaequet. ni uis .. SVdiod sim loricim illud probi Maseia
vendum, nimirum ad ducendam in plano trian- rectam illam A X; nec etiam magno mentis
em D . ι.ε acumine opus est. Abscindatur enim ex trian-
guli latere uno AC portio C M, quae ad ipsum Fio. AC datam illam rationem obtineat. Agatur
postea per punctum M recta MN , ipsi BC parallela , quae conveniat in N cum circumferentia circuli,triangulum ambientis . Et punctum istud N determinabit positionem ipsuis A X. Est namque , propter circulum , rectangulum B XC aequale rectangulo AXN . Sectrectangulum AX N est ad A X quadratum , ut NX ad A X , sive etiam , ut CM ad AC. Qu
54쪽
E L E M E N T A. re ipsum quoque rectangulum B XC ad Axquadratum erit, ut CM ad AC : S propterea quum CM sit ad AC in data ratione ς crit pariter in eadem data ratione rectangulum B XC ad A X quadratum. Quum data ratio est minoris ad maius, recta illa A X semper duci potest . Nam eo in casu punctum M cadit inter alia duo A , ct C; adeoque recta MN, quae ipsi BC aequidistanter ducitur , circuli circumferentiae semper.
occurrit. Vicissim autem , quum data ratio est muris ad miniis, non semper duci poterit meta illa A X. Nam tunc punctum M cadit ad partem alteram ipsius A ς adeoque fieri quandoque potest , ut recta MN circuli circumferentiam non secet. Unde etiam, secto ex cono triangulo per axem, semper licebit, ope eius, eruere ellipsim ex ipso cono , in qua Parameter ad diametrum datam habeat rationem , qtiotiescumque data ratio est minoris ad majus . Sed, si vicissim ratio data fuerit majoris ad minus , fieri quandoque potest, ut sit omnino impossibile, adhibito eo triangulo , optatam ex cono ellipsi m
VII. Nullo etiam negotio, per redras, iucono ductas , determinari potest Mapnitudo, Fia T. quam diametri figura Bahet in empsi Manentibus namque omnibus, ut supra, lucantur e XUtroque diametri vertice rectae FR , GS , ipsi BC paralleIae , quae cum lateribus' trianguli conveniant in punctis R , & S . Et rectanguium, sub his rectis comprehensum, diametri fi- guram adaequabit.
55쪽
aε SECTIONUM e NICARUM Nam rectangulum BKC , vel ei aequato quadratum ex DK , rectangulum FKGIi ratione composita ex ΒΚ ad FK , S ex CK
ad GK . Sed ΒΚ est ad FK , ut GS ad FG aitemque CK est ad CK, ut FR ad FG. Itaque erit DΚ quadratum ad rectangulum FΚGin ratione composita ex Gs ad FG . & ex FRad FG.
Et quoniam duae istae rationes com p nunt quoque rationem , quam habet rectan.
.ulum sub ipsis FR , GS ad FG quadra m
erit ex aequali , ut DK quadratum ad rectanis sulum FΚG, ita rectangulum ex FR in CS ad FG quadratum . Unde, sicuti DK quadratum est ad rectangulum FKG, ut FO ad FGὴ sic erit rursus ex aequali, ut FO ad FG , ita rectangulum ex FR in CS ad FG quadratum. Jam, assumpta communi altitudine FG. ut est FO ad FG , ita est rectangulum ex Folia FG ad idem FG quadratum . Et igitur rectangulum ex FR in GS aequale erit rectania gulo ex Fo in FG . Sed figura diametri conis nituitur per rectangulum ex FO in FG.Quare aliud illud rectangulum eκ FR in GS aequale erit praefatae diametri figurM . Vur. VIII. Ex eo autem, quod rectangulum, sub ipsis FR, GSadaequet diametri figuram,
o quae constituitur per rectangulum ex Fo in FG , plura nobis derivantur theoremata, quo t- i m . rum 0pe , ςtiam Asimetr longitudine,
di iri pocili parametςr ejus ἰn cono. Flo. 3. Nimirum primo Fo erit ad FR, ut eliBX ad A X . Nam, quum rectangulum ex FR
56쪽
ΛX . Nam , ob eandem eorum rectangulorum
aequalitatem , erit, uti FO ad GS , ita FR ad FG.Sed FR est ad FG in eadem ratione,quam habet CX ad AX . Quare erit ex aequali , ut FO ad GS, ita CX ad A X. ι Tettio Fo erit ad AF , ut est rectanguintum C A X ad rectiligulum B AX . Nam FO ad AF rationem habet compositam eκ FO ad FR , R ex FR ad Ap ; sive etiam ex BX ad AX , & ex BC ad AB . Sed duae istae rationes componunt quoque rationem , quam habet recta lagulum CB X ad rectangulum B AX. Itaque erit ex aequali , ut FO ad AF, ita rectangulum CBX ad reclanguIum B AX . Denique Fo erit ad AG , ut est reaangulum BCX ad rectangulum CAX . Nam Foad AG rationem habet compositam ex FO ad Gs . & ex GS ad AG ; sive etiam eκ CX ad ΑX , & ex BC ad AC . Sed duae istae rationes
componunt quoque rationem , quam habet rectangulum BCX ad rectangulum CAX. -- re erit eκ aequali, ut FO ad AG , ita rectangulum BCX ad rectangulum CAX.
IX. Unoquoque horum theorematum dein Ix. terminabitur parameteν in cono, eritim diametri longitudine non eognita . Sed determina- ενιβmptis setionem omnium simplicissimam suppetit nobis ipsa illa proprietas , unde ea fluunt theorema ta . Fiat enim angulus FRU aequalis angulo BFG. Et portio FU, abscissa ex diametro per FIO. 8. C a xς'
57쪽
at SECTIONUM CUNICA RuM rectam RV, erit quaesita parametri longitudo.
Nam, ob aequalitatem eorum angulorum,
erit, ut FR ad FU , ita FG ad GS . Unde rectangulum ex FR in CS aequale erit rectat gulo ex FV in FG. Jam vero rectangulum ex FR in GS adaequat diametri figuram . Quare eidem figurae erit etiam aequale rectanguintum ex FV in FG ἔ adeoque , quemadmodum unum ejus latus FG est ipsa diameter, ita latus alterum FV diametri parametrum adaequabit. X. . X. adem problema de determinanda parametro in cono, nulla Babita ratione longitu- motri Arim dinis diametri , potest etiam resolvi in hunc
modum. Ioue iam , Ex vertice coiit A ducatur, tum recta
ΑΚ, perpendicularis ipsi BC , cum recta AH, FIG. 8. perpendicularis diametro FG . Abscindatur deinde ex priore ΑΚ portio AI, aequalis alteri AH . Et recta MN , ducta per punctum I aeri quid istanter ipsi BC , longitudinem parametri exhibebit. Demissa etenim super A X perpendiculari BL , erit AK ad BL in ratione composita ex
AK ad AI,&ex AI, seu AH ad B L. Sed - AK est ad AI , ut BC ad MN , itemque AH est ad BL , ut AF ad AB , sive, ut FR ad BC. Itaque erit AK ad B L in ratione composita cκFR ad BC , & ex BC ad MN proindeque.
quum duae istae nationes componant pariter rationem, quam habet FR ad MN i erit ex aequali , ut AK ad BL , ita FR ad MN. Et quoniam AK est ad BL, ut A 1 ad BX , sive etiam, ut FG ad GS 3 erit rursus exaequa
58쪽
ELEMENTA. 3 sequali, ut FR ad MN , ita FG ad Gs. Undeiectangulum ex FR in GS aequale erit rectanis gulo ex MN in FG . Sed rectangulum ex FRin GS adaequat diametri figuram . Quarc eiisdem figurae erit etiam aequale rectangulum ex MN iii FG : ct propterea, sicuti umitu dualat .is FG cst ipsa diameter , ita latus alterum Mu diametri parametrum exhibebit.
CAP. Reud hyperbolae relate ad diametrum accidat, o enditur.
. D Llipsi est valde affinis hyperbola.Nam I. E. in illa quoque, si binae ad diametrum
or tuata ducantur,erunt earum quadrata inter diameιram
se, ut rectangula , quae sub correspondentitus
diιmetri portionibus , ab utroque vertice sumptis , continentur. Fiat etenim in cono ABC sectio hypem Fio. 6hohea DFE , S ad diametrum ejus FG , quae trianguli, per axem secti , unum quidem latus infla coni verticem , alterum supra verticem secat , ducantur duae ordinatae DK , HL. Ostendendum est. DK quadratum esse ad HL quadratum , ut eth rectangulum FΚG ad re- tangulum FLG . , In eodem cono fiant etiam circuli duo BCD, MN H per plana, basi aequi distantia. Eeqstoniam eorum diametris BC . MN insistune . ad rectos angulos rectae DK, HL ; erunt ista-
59쪽
σο sp CTIONUM CONI ARuM rum quadrata aequalia rectangulis ΒΚC MLN . Quare erit, ut DK quadratum ad HL quadratum , ita rectangulum BKC ad rectan. gulum MLN. lJam ratio horum rectangulorum compo
duae istae rationes componunt pariter rationem , quam habet rectangulum FKG ad tectangulum FLG . Itaque erit eX aequali, ut DK quadratum ad HL quadratum, ita recta a-gulum FΚG ad rectangulum FLG. , Perspicuum est autem , eandem demors rationem obtinere quoque , si binae illae ot-dinatae ducantur in hyperbola opposta 3 vel si una ex iis ducatur in hyperbola prit:-cipali, Si altera in ejus adversa . Unde, scuti eadem est utriusque hyperbolae diameter, Si eadem positio suarum ordinatarum ; sic relate ad diametrum eadem quoque erit utriata
i. II. In utraque et Iam hyperbola, si ex vertice F ducatur recta Fo , ordinatis paralitia. bibena κλη- quae sit talis longitudinis, ut quadratum unius ordinatae DK sit ad rectangulum ei correspon- .dens FRG , velut est ipsa FO ad diamettum νιψ' ζ' FG - erit quadratum cujusvis alterius ordinatae HL ad rectangulum FLG, quod illi com Mespondet, similiter , ut FO ad FG. Ostensum est enim , DK quadratum esu, ad HL 'quadratum , ut est rectangulum FRGad rectangulum FLG. Quare erit permutan- .do, ut DR quadratum ad rectangulum FRG.
ita HL quadratum ad rectangulum FLG. PS-
60쪽
x L Ε M E N T A. 4tnItur autem, DK quadratum esse ad rectangu Ium FΚG , ut eit FO ad FG. Et igitur exaequali HL quadratum ad rectangulum FLGerit etiam , ut FO ad FG. Recta i sta Fo etiam in huperboIa d a.
metri parameter appellabitur; & rectangulum, sub ipsa . Si diametro contentum , hic quoque diametri Marra dicetur. Eius autem hahirutatione , perspicuum est , id quidem utrique hyperbolae contingere , ut quadratum cujus vis ordinatae sit ad reinvalum , quo ub cor νespondentibus diametri portionibus, ab utroque vertice fumptis, continetur, in eadem illa ratione, quam parameter ad diametrum habet. III. Maneat jam FO , ordinatis diametti m.
parallela , in qua utique positione semner ea Fru et tintelligi debet . Jungatur alsa nus extremitas Mia --γo cum vertice altero G per rectam GO , eui occurrat in R ordinata quaevis DK . Et qua- Fici. dratum ordinatae huius DK aequale erit correspondenti rectangulo FKR. Nam rectangulum FKR est ad rectangu
ut FO ad FG , sive etiam , ut DΚ quadratum ad rectangulum FKG . Itaque erit ex aequali. ut rectangulum FKR ad rectangulum FΚG, ita DΚ quadratum ad idem rectangulum FKGi & propterea DR quadlatum , & rectangulum FKR aequalia erunt inter se. Perspicuum est autem , rectangulum PKR maius esse rectangulo OFΚ . Quare quadratum ordinatae DK idem rectangulum DFΚ pariter excedet. Hine sortita est hujus modi conica sectio nomen ιπσυορ ,quia in ga