장음표시 사용
31쪽
11 SECΤIONuM ro NrcARu ML,per quod agatur, tum recta MN ipsi BC prarallela , cum planum MN H aequid istans plano hasis BCD . sit autem HL communis sectio planorum FGH , MN H , qtiae perpendicularis erit utrique rectarum FG, MN; quum utrumque eorum planorum plano trianguli BACnormale sit.
Quoniam igitur rectae BC , MN Inter se . sunt parallela: erit angulus ACB aequalis angulo AN M. Sed angulo ACB aequalis est angulus AFG.Quare duo anguli A FG, AN Maequales erunt inter se et & propterea , quum sit , ut FL ad ML , ita NL ad GL ; erit rectangulum FLG aequale rectangulo MLN. Ulterius , quia sectio MN H est circulus , & diametro ejus MN ducta est perpendicularis HL ; erit quadratum ex HL aequale rectangulo MLN . Sed rectangula duo MLN, FLG ostensa sunt aequalia inter se . Quaruidem HL quadratum erit etiam aequale rectangulo FLG.
Similiter autem ostendemus , Omnem. ' alIam rectam , quae in sectione FCH perpendiculariter demittitur ipsi FG, possis rectangulum , sub ejusdem FG segnientis comprehensum. Et igitur ex notissima circuli proprietate sectio ipsa FGH circulus erit. viii. VIII. Sod autem, praeter fictionem p : -, ct subcontrariam , nulla alia circu-.ι,.is. Ium exhibeat in com . demonstratur hoc pa-ι cto. In cono ABC fiat sectio FGH . quae neque sit basi parallela , neque eidem subcon traria. Et , si fieri potest, sit ea circulus.
32쪽
FGH, BCD, ad quam per centrum circuli FGH perpendicularis demittatur F M. Tum per rectam FM , S per verticem coni agatur planum aliud , occurrens plano hasis in tecta BM . Denique per eundem verticem aliud adhuc planum ducatur , ipsi MN aequid istans, cujus communis sectio cum cono sit triangulum DAE. Quoniam igitur planum trianguli DAEductum est rectae MN aequid istanter; communes eius sectiones cum planis circulorum
BCD , FGH , hoe est rectas DE, HI , erunt tum ipsi MN , cum inter se adhuc parallelae. Unde , sicuti HI , velut diametro FG perpendicularis , hi secta est in L ; ita quoque D E bi.
secabitur in Κ. Simili ratione ostendemus, hi secari a recta BC quamcumque aliam , quae in circulo BCD ducitur ipsi MN aequi distanter . Quare recta BC erit diameter circul; BCD , & consequenter planum AB M transibit per axem ipsius coni; eritque adeo triangulum BAC ex cono sectum per axem . Ulterius, quum recta BC st diameter circuli BCD , ea non modo bifariam , verum etiam ad rectos angulos secabit aliam DE . Est
autem DE parpllela ipsi MN. O Iare huic MN
normalis erit utraque ipsarum FM , BM: Proindeque triangulum per axem sectum
BAC rectum erit ad basim BCD ; & propter Parallelas MN, HI, erit pariter rectum ad planum sectionis FCH. Denique per punctum Κ ducatur recta
Ripsi Fc parallela. Et quoniam in eadrin
33쪽
14 SECTIONUM CONICA Ru Meatione rectarum ΑΚ, AL est, tum OK ad FL, cum RK ad GL ; erit rectangulum OKR actrectangulum FLG . ut est AK quadratum actAL quadratum , Sed AK quadratum actAL quadratum, ut DK quadratum ad HL quadratum; sive etiam, propter circulos BCD, FGH , ut reseangulum BKC ad idem rectangulum FLG . Quare erit rectangulum OKR. aequale rectangulo BΚC. Hinc, quum sit, ut OR ad ΒΚ . ita CKh ad RΚ; erit angulus ΟΒΚ aequalia angulo K. sive AGL , atque adeo triangulum ABC simile erit triangulo AGF. Unde, quum triangulo per axem secto IAC rectum sit. tam planum hasis BCD . quam planum secti nis FGH ; ct ex eo insuper per plana ista abscindantur triangula similia ABC , AGF esectio FGH subcontraria erit: quod est con- ra hypothesm.
uuae curvae sectionum conicarum nomine veniunt , πquae sit earum origo.
i I, I N praecedenti capite post traditam
ενιupo,. It coni generationem , expositi sunt modi o pes, quibus plano c0nus secari potest . Et vidimus, quod sicuti, secto cono pla' '' ' no per verticem , fiunt in eius superficie bia
34쪽
ELEMENTA.nae Iineae rectae , ita , quum conus secatur plano, per verticem non transeunte, sectio orta in eadem superficie sit linea undique curva . Novimus porro, curvam istam qsse et ircumferentiam circuli, quum sectio, vel est basi aequid stani , vel eidum subcontrario ; esse v pro alterius a circumserentia circuli naturae , quum planum sepans alia ratio te ad planum b/si. inclinatur Nod hanc aliam curvam, a circuli circumferentia diversam , triplicis pilam speciei esse posse, nobis innotuit. Nam,vel in orbem redit, spatiumq;comprehendit ad iustar ipsius circulieircumserentiae; & vocavimus eam ellipsim. et extend tur in infinitum, missamque aliam
in adverso cono sibi opposit m babet; S parabsilae ei nomen imposuimu4. Vel denique abit quidem in infinitum , sed ei in opposivo
cono curva alia adversatur; ct tum ipsam , cum eju* adversam operbolae homine designa- 'imus II, Jam nomine sectionuni conicarum huius modi tres curvas Veteres intelligebant.Circuli enim circumferentia , et ii ex cono etiam no eruatur , eo tamen Vocabulo minime ab HS furi Misa.
insignita . Id vero non absque consilio factum
a Veteribus reor et nimirum, ut ea ratione cunctis indicarent, non debere circumserenistiam circuli ex cono deduci. Coni etenim genesis , ut superius vidimus , praeexistentem circulum supponit. Unde , si circuli circum c ferentia ex cono esset deducenda , iam in eam
impingeretur labem , quam Zitiosum circulum vulgus appellat.
35쪽
16 SECTIONUM CONICA Ru MQua autem ratione parabola , hypem sola, ct ellipsis ex cono trahant originem suam , jam superius innuimus . Nimirum oritur in cono parabola, quum planum , per quod dispescitur conus , jacet semper intra conum , nec superiuS productiim conum secat adversum . oritur vero operbola , quum idem planum iacet quidem continuo intra conum , sed sursum productum secat etiam conum oppositum , ubi operbolam aliam creat. Et denIque oritur ellipsis, quum planum se eans utrinque egreditur eκ cono,sed sectio nec est hasi aequid istans, nec eidem subis
allia.. Interim Euclides . & Apollon Ius In
a ossa -- eruendis curvis istis ex cono triangulum per
z' axem sectum velut adhibebant . Sed
--. rem non eadem ratione ambo eκ posuerunt.
Euclides siquidem, non aliter conum plano se cabat, quam ut uni lateram ejus trianguli ad re tis angulos occurreret. Unde , quia dumtaxat conum rectum agnovit, in quo omnia triangula per axem secta sunt i scisa , ct tuis
quales in vertice angulos habent I ex uno, Eodemque cono curvas illas omnes eruere nequi-hat, 1 ed pro unaquaque illatum peculiari quodam cono ei opuS erat. Nimirum, etsi conus euclidaeus orIatur, quando recta nouli trianguli manente uno crurum , circumducitur crus alterum, usque do- . nec ad priorem suum Iocum revertatur δ Pomsunt tamen ejus coni tres species distingui,
prout crus manens est aquale , minus , vel majus crure circumducto. Pro triplici enim hoc
36쪽
ELEMENTA.casti, triangulum , sectum ex cono plano nee axem , potest in vertice , tum rectum , tum obtusum , tum acutum angulum habere . Uniace, habita eius anguli ratione, poterit ipse corinus , modo rectangulus, modo obtusanguias. Inouo demum acutangulus appellari Ad eruendam ergo parιιbolam , Utehatur Euclides cono reclangulo. Nam in eo tria ire uritum, p2 axum sectum , habet in vertice anstu.
Iumi rectum I adeoque planum , uni ejus lateri ad rectos angui ob occurrenS, iacebit semper intra conum, nec secabit ejus oppositum. Vicissim autem,ad eruendam Θperbolam ad hi he-hat conum υbtusum utam; quia, ratione anguli obtusi, in trianguli Verticu existentis , idem planum jacebit quidum continuo intra conum, sed secabit ejus adversum . Et denique , ad deducendam euin m , in subsidium advoca haeconum acutangulum , quia , Propter a noulum acutum, existentem ua vertice trianguli prae- dictum planum rursus eX cono egredietur . IV. Haec igitur erat trium illarum curvarum euclidaea genessis ex cono . Sed novit φ-ur
Apollonius, posse illiusmodi curvas iudise i a ra
minatιm ex omni cono deduci, si planum, per quod dispescitur conta S , non ita duceretur, ut uni laterum trianguli, per axem secti, ad re- etos angulos insisteret; sed subitide, ut occuγ-
rem plano basis , aut alterius circuli parallelisu rectis , quae normalis esset ad basim eius ir/anguli. Sit itaque conus ABC, ct in eo plano per Fici eaxem fiat triangulum BAC. Secetur fleinde 'idem conu1 plano alio , Occurrente plano bais
37쪽
13 SECTIO NuM CONICARUM sis , aut alterius circuli paralleli BCD in recta DE, quae perpendicularis sit ad basim ejus tri. anguli BC; sitque DF E sectio, facta in super. ficie conica per hoc aliud planum . Ostenden. dum est , sectionem istam posse unamquamisque earum curvarum nobis exhibere .
Sit recta FG communis sectio planorum BAC , DF Ε . Hanc liquet esse posse ; vel lateisti AC parallelam a vel subinde ad illud inclinatam , ut ei lupra coni verticem occurrat; vel demum taliter ad illud annuentem , ut instaconi verticem cum eo conveniat. In primo casu sectio DF E erit parabola ; in secundo erit Θperbola , ac demum in tertio casu eadem seditio erit ellipsis . Ut haec ostendantur , ducatur per latusAC planum . quod occurrat plano circuli BCD in tecta CZ, ipsi DE parallela . Et quoniam rccta DE posita est perpendicularis actdiametrum circuli BC , erit recta CZ eidem BC sinit iter perpendicularis . Continget ergo recta CZ circumferentiam circuli BCD in puncto C. Unde ipsum quoque planum tanget conicam superficiem in latere AC ; & productu in superius , continget etiam superficiem oppositi coni, in quam latus AC, quum sursu na producitur, cadit.
Jam , quum recta FG parallela est lateri Λ C; erit planum DFE aequid istans quoque
plano contactus . Unde , sicuti cum eo conV
nire non potest , ita jacebit semper intra Conum, nec secabit ejus oppositum : proinde rici sectio DF Ε parabola erit. Quotiescumque Vero recta FG occurrit lateri AC supra verti
38쪽
ELEMENTA. I cem ; tune planum DFE etiam stipra vertieem conveniet cum plano contactus et adeoque ,
quum secet conum oppositum , scctio DFEerit h=perbola . Denique . quum rect .. FG ociscurrit lateri AC infra verticcm ; planum DF Ε
conveniet cum plano coli tactus limiliter infra verticem : proindeque , quum rursu S ex con
egrediatur , sectio DF E erit ellipsis .
V. Verum quidem est , quod in ducei - V. do plano sectionis etiam Apollonius hanc Iegem adhibuerit, ut occurreret plano basiis, aut alterius circuit paralleli in recta, quae normaliS exeoptisve
esset ad basim trianguli, per axem secti. Nihilominus ad legem ista in omnes , quae in cono fiunt, sed tiones exigi possunt; quia, quomodocumque planum , per quod dispescitur conus, occurrat plano basis , aut alterius circuli paralleli , semper exhiberi potest in cono trianguintum per axem , ad cujus hasim recta illius Occursus perpendiculariter insistat . Secetur etenim conus ABC plano aliquo. FIG. s.
occurrente plano basis , aut alterius circuli 6. 7.
paralleli BCD in recta D Ε . Jam nihil obstat,
quominus in circulo BCD talis diameter ducatur , quae ipsi DE ad rectos angulos occurrat. Satis si quidem erit, cx centro ipsius e Irriculi perpendicularem demittere super D Ε, eamque producere, usque donec utrinque circumferentiam secet. Sit igitur BC diameter ista . Et triangulum , per axem sectum , quod ei insistit, illud erit , quod qtueritur . Nam eae
ipsa constructione basi ejus BC perpendicularis est recta DE, in qua planum sectionis D FEOccurrit plano circuli BCD. B a Rais
39쪽
so SECTIONUM CONICA Ru MRatio igItur eruendi tres illas curvas exeono , quam tradidit Apollonius, nulla exceptiose laborat . Nam , sicuti per eam praefatae tres curvae possunt ex quolibet cono deduci; ita omnis sectio , quae aliquam ex iis curvis in conica superficie producit, velut ea ratione Lucta potest haberi. Unde etiam genesis earum Curvarum apolloniana, universalitate sua, non modo euclidaeam , sed omnem aliam , quae fingi excogitarique potest, vincit ac superat; quandoquidem universalissima illa, a plani intra conum positione deducta , quam posuinaus ab initio , ad ipsam reVocatur.
r. VI. Sed nolim hic reticere , quod juxta
methodum euclidaeam nec etiam ex uno , eo. δι- - - demque cono scaleno tres illae curvae erui
queant. Et si enim in cono isto triangula , per
se se a 'Maxem secta, non habeant semper aequales angu-
vertice ; sunt tamen anguli illi eiusdem
semper speciei inter se, hoc est, veI omnes recti, vel omnes obtusi, vel omnes acuti. Unde, si planum secans uni laterum trianguli , per axem secti, ad rectos angulos occurrere deberet I adhuc alio cono opus esset ad eruendam parabolam , alio ad duri vandam hyperbolam,R alio demum ad deducendam ellipsim . FIG. s. conus scalentis ABC , ex quo abscindatur plano per axem triangulum aliquod BAC. In plano hujus trianguli describatur semicirculus , cujus diameter sit recta BC . Et perspicuum est, punctum A locari in
ejus circumserentia , quum axi S coni ad aequathasis senti diametrum ς intra circumferentiam squum axis coni est minor semidiametro hasis,
40쪽
ELEMENTA. a Iae demum extra circumferentiam , quum idem axis est major eadem semidiametro . Quare ipsius trianguli angulus verticalis erit rectus in primo casu , obtusus in secundo , tandemque acutus in tertio . Haec autem quum ita sint , liquet, conum scalenum , perinde ac rectum , esse, vel rectanis gulum , vel obtusa Mulam , vel denique acu tangulum . Quotiescumque enim axis conisealeni basis suae semidiametrum adaequat, comnus erit rectangulus 3 quia quodlibet triangulum, per axem sectum , habet in vertice anguinium rectum . Ubi vero axis coni scaleni est minor semidiametro basis, conus erit obtusangu- Ius ; quia in vertice cujusque trianguli, per axem secti, reperitur angulus obtusus . Et d nique , quum axis coni scaleni est major semiis diametro hasis, conus erit acutantulus: ob acutum angulum , quem triangula, per axem secta , in veri Ice habent. VII. Recte igitur observavit Eutocius, quod in tradenda genesi earum cur arum contigerit Veteribus illud idem , quod evenit eis in ea trianguli proprietate, quod omnes anguli simul duobus rectis sint 'aequales. Nam, sicuti
proprietatem istam primo norunt in triangulo aequi latero , tum in isosceli, ac postea in scaleno : unde demum conflatum ab iis universa te theorema , omnes triangulorum species Comprehendens ς ita quoque tres illas curvas ex totidem coni rem speciebus primum erue hant i & nonnisi post tempora Apollonii, tum ex quolibet cono recto, cum etiam ex cono scaleno eas deduxerunt.