장음표시 사용
281쪽
αε, SECTIONUM CONICARUM Ponamus etenim primo , axem AB ae- qualem esse conjugato stio KL . Dico , etiam diametrum EF adaequare conjugatam suam. PR. Nam si maior , vel minor esset; foret di serentia quadratorum EF, AB major quoque, vel minor differentia quadratorum P R., Κ L. Quod plane repugnat. Ponamus secundo , axem AB majorem esse conjugato suo KL . Dico , etiam diame . - trum EF majorem esse coniugata sua PR . Nam, si aequalis . vel minor esset; foret disse. rentia quadratorum EF , AB minor disserentia quadratorum P R , Κ L . Quod quidem est
falsum Ponamus denique,axem AB minorem ense conjugato suo KL. Dico, etiam diante trum EF mmorem esse conjuglita sua PR . Nam , si aequalis , vel major esset; foret differentia quadratorum EF , AB major differentia qua- oratorum PR, KL I quum tamen ei aequalis
esse debeat. VIII. Vli I. Caeterum , ut alia quamplurima, - ,---quae locum habent in comparatione diametroia hyperbolae, tum hic, cum in sequentibus, Ση ν.. facilius prosequi valeamus ; iuvat hic ad veristere , quod locus diametrorum omnium hyperbolae per datae alicujus rectae portionem possit
exhiberi. In triangulo namque ABC , rectangulo in B , relarat hypothenusia AC eum ex duobus axibus conjugatis hyperbolae , qui
major est;& latus BC axem alterum minorem.
Extendatur porro latus istud BC in directum versus X. Et dico, portionem ejus CX con
282쪽
ELEMENTA.siderari posse veluti locum omnIum d Iametrorum hyperbolae . Primo enim, ex superius osteiasis, quael Ibet diameter, quae ad eas hyperbolas termina iatur , in quibus suos term Maos habet ax s AC, debet esse major ipso axe AC . Sed omnes reia, quae ducuntur ex puncto A ad rectam CX , maiores sunt ipsa AC . itaque poterunt
tectae istae omnes earum hyperbolaruiti diametros exhibere.
Deinde , si AE si aliqua earum diame trorum, ejus coniugata talis esse debet, ut exineessus , quo ipsius quadratum superat BC quadratum, sit aequalis excessui, quo ΑΕ quadratum superat AC quadratum . Unde facile
erit ostendere, quod debeat esse BE conjugata ipsius ΑΕ. Est enim BE quadratum aequale BC, CEquadratis una cum duplo rectanguli BCE. Quare excessus , quo BE quadratum superat BC quadratum , erit CE quadratum una cum duplo rectanguli BCE. Sed hujusmodi est etiam excessus , quo ΑΕ quadratum superae AC quadratum . Itaque differentia quadratorum ΒΕ , BC aequalis erit differentiae quadratorum AE , AC: ct propterea , sicuti BC est coniugatus axis AC , sic erit BE conjugata diametri AE. IX. Hoc iacto principiodam circa diame- ix. tros coniugatas hyperbolae plura alia facillime
licebit ostendere . Ac primo quidem ostende- νωα ea πιι
mus, quod dist rentia quadratorum,quae sunt ex axibus conjugatis , aequalis sit disserentia quadra quod 'torum, qua fiunt ex aliis duabus dia- Δ'
283쪽
aiamνενυ metris similiter conjugatis.
kio 6o unim rectae AC , BC reserunt axes' hyperbolae conjugatos, sic rectae ΑΕ, ΒΕ reserant binas ejus diametros similiter conjuga tas. Dico, differentiam quadratorum AC, BC aequalem esse differentiae quadratorum , quae sunt ex ipsis ΑΕ, ΒΕ . ob triangulum namque ABC, rectan. ulum in B , est AC quadratum aequale duo. hus quadratis AB. BC. Quare disserentia qua.dratorum AC, BC aequalis erit quadrato, quod sit ex AB. Simili ratione , ob triangulum AB Ε, re.
ctangulum in B , est AE quadratum aequale duobus quadratis AB , ΒΕ . mare differentia quadratorum ΑΕ , ΗΕ aequalis erit quadrato, quod fit ex AB. Eidem igitur AB quadrato aequalis est, tam differentia quadratorum AC , BC , quam differentia quadratorum AE , BE . Quare dinferentia quadratorum AC, BC aequalis erit disserentiae quadratorum A Ε, ΒΕ.x. X. Ostendemus deinde, quod quum axis hyperbolae major est suo coniugato , non modo i qe i. omnis alia diameter major erit conjugata sua,' sed etiam ratio axis ad suam conjugatum ma- eris quavis alia diameter habet ad conjugatam suam. FIG.6o. Jam enim clare patet, quod sicuti axis AC maior est conjugato suo BC , ita quaevis alia diameter At maior sit quoque conjugata sua BE. Sed facile erit etiam ostendere , quod AC ad BC majorem rationem habeat, quam
284쪽
Ducta siquidem per punctum B rectἀEF , ipsi AC parallela, quae convenἰat cum A B in F ; erit , ut AC ad BC, Ita pΕ ad BE. Sed, ob angulum reditam EBF , FΕ major est, quam A E ; atque adeo ΓΕ ad ΒΕ majorem rationem habet, quam AE ad BE . Quare etiam AC ad BC maiorem rationem habebit , quam AE ad ΒΕ.
Simili autem ratione ostendemus , quod si fuerit AG quaevis alia hyperbolae diameter, remotior ab axe AC ; ratio , quam habet diameter A E , axi propinquior , ad suam conjugatam ΒΕ, major sit ratione , quant hahet cliaiameter AG , ab axe remotior , ad conjugatam suam BG. XI. Ostendemus porro , quod quum perrtissima contrar/um axis Θperbolae minor es suo iugato, tunc non solam omnis alia diameter mi- ι . . nor erit conjugata sua , sed etiam ratio axis ad : '
fuam conlupatum minor erit ratione , quam
quaevis alia diameter habet ad convatam suam. FIO.6O.
Jam enim liquido patet, quod sicuti axis BC minor est suo conjugato AC , ita quaevis alia diameter ΒΕ minor sit quoque conjugata sua AE.Sed nullo etiam negotio ostendemus, quod BC ad AC minorem rationem habeat,
quam ΒΕ ad ΑΕ. Ducta si quidem per punctum E recta EF , ipsi AC parallela , quae conveniat cum AB in puncto F; erit, ut BC ad AC, ita BEad FE. Sed , ob angulum rectum EBF , FEmajor est, quam AE ; atque adeo BE ad FEminorem rationem habet , quam BE ad A E.
285쪽
SECTIONUM CONICARUM Quare etiam BC ad AC minorem rationem habebit, quam ΒΕ ad ΑΕ.
Simili autem ratione ostendemus , quod si fuerit BG, qii aevis alia hyperbolae diameter, remotior ab axe BC; ratio , quam habet diameter BE , axi propinquior , ad suam conjugatam ΑΕ, minor sit ratione, quam habet diameter BG , ab axe remotior , ad conjugatam suam AG. XII. Ulterius ex eo , quod crescentibus hyperbolae diametris , augeantur etiam ipsarum coniugatae , ultro sequitur,tam summam, quam rectangulam ex duabus operbolae di metris conjugatis , eo magis augeri, quo moris ipsae diameti i ab axilus recedunt. Sed quantum attinet ad disterentiam earundem diametrorum , ea per contrariam es minor evadit,quo magis diametri ab axibus reis
moventur; tandemque in infinita dipantia di ferentia illa promus evanescit , cdi ipsae diametri sunt inter se mutuo aequales. 'Manentibus namque omnibus, ut supra, extendatur CB usque in N, ut fiat AC aequa
lis ipsi CH . Jamque , si ostendi possit, AE
minorem esse,quam ΕΗ;erit differentia axium AC , BC major differentia diametrorum AE, BE . Id vero ostendemus In hunc modum. Jungatur AH . Et quoniam duae AC, CH sunt aequales inter se; erit angulus CAH aequalis pariter angulo CHA . Sed angulus E AH major est angulo CAH . Quare idem angulus E AH erit etiam major angulo EHAt S propterea ΑΕ minor erit, quam ΕΗ.Simili ratione ostendemus , differentiam
286쪽
l ELEMENTA. 1εν diametrorum AE , BE , axibus propinqui riim , majorem esse differentia diametrorum AG, BG,, iisdem axibus remotiorum.Quare differentia inter binas hyperbolae diametros conjugatas eo minor evadet, quo magis ipsae
diametri ab axibus removentur.
XIlI. Nolim autem hoc loco reticere,quod Tum etsi tectangulum ex binis hyperbolae diametris . conjugatis eo majus evadat, quo magis ipsae
diametri ab axibus removentur , atque adeo ad aequalitatem aecedunt; attamen parallelogrammum , circa binas hyperbola conjugatas sdiametros descriptum, sit ejusdem ubique magnitudinis, hoc es aequale femper rectangulo, Fio.6 i. quod sub ipsis axibus continetur. Sint enim AB , KL axes hyperbolae coniugati , sintque etiam EF , ΡR hinae
eius conjugatae diametri. Ducantur per Puncta E, S F tectae QS , TV, ipsi PR parallelae; tum item per puncta P , & R rectae QV . TS,
aequid istantes ipsi EF : ita , ut circa diametros conjugatas EF , P R descriptum sit parallelogrammum . TV . Dico, parallelogrammum ist ud aequale esse rectangulo, quod sub axibus AB, KL continetur. Demittatur , tum ad axem AB ordinata EG, cum ad diametrum EF ordinata AO. Et, ex superius ostensis , erit , ut EG ad AO , ita
XL ad PR; sive etiam,ita CK ad CP. Sed de missis luper CE,CP perpendicularibus ALΕΗ, EG est ad Ao in ratione composita ex EG ad AI, S ex AI ad AO ; hoc est in ratione composita ex CE ad CA, S ex EH ad CΕ . Quam iam CK ad CP rationem habebit compotatam
287쪽
Jam duae istae rationes componunt pariter rationem , quam habet ΕΗ ad GA . Quare
erit ex aequali, ut CK ad CP, ita ΕΗ ad CΑ , ct propterea recta lagulum ex CP in ΕΗ , hoc est parallelogrammum PCΕQ, erit aequale rectangulo, quod fit ex CA in CΚ. Sed parallelogrammtim QSTV est quadruplum parallelogrammi PCEQ, R rectangulum sub axibus AB, KL est quadruplum rectanguli ACK. Quare etiam parallelogrammum QSTU quale erit rectangulo sub axibus AB , KL.
XIV. Hinc vero plura deducuntur circa angulos, quos Dperbolae coniugatae diametri
aiaia.. occursu mutuo in centro consituunt.
. Nimirum primo , quod Mur anguli , fugisnufinoa. . duabus quibuslibet conjugatis diametris coa
tenti , sit ad radiam , ut est rectangulum sub axibus ad id, quod sub ipsis diametris contiis
FIO.6I. Post s en m omnibus , ut supra , sinus anguli ECP est ad radium, ut ΕΗ ud CE ; sive sitiam , ut rectangulum ex CP in ΕΗ ad rectangulum ex CP in CE . Sed rectangulum ex CP in ΕΗ ostensum est aequale rectangulo ACK: quod quidem est ad rectangulum ex CP in CE , ut rectangulum ex AB in KL ad rectangulum ex EF in PR . Qtiare erit ex aequali, ut sinus anguli ECP ad radium , ita rectangulum ex AB in KL ad tectangulum ex EF in P R. Secundo , quod sinus angulorum , ν ot fugatae diametri occursu mutuo in centro constituunt, sint reciproce, ut rectangulo, quae
288쪽
ELEMENTA. ac fiant ex ipsis diametrus conjugatis. Jam eii im ostensum est , quod sinus anguli , quem duae quaevis coniugatae diametri continent , sit ad radium , ut est recta ligulum sub axibus ad id , quod sub ipsis diametris
continetur. Quare, ex aequo perturbando, sinus anguli duarum conjugatarum erit ad sinum anguli, quem aliae duae conjugatae comprehendunt , ut est rectangulum istarum ad id , quod ex iis efficitur. Denique , quod angulus acutus , sub binis Θperbolae diametris conjugatis comprehemfus, eo minor evadat, quo magis ipsae diametri
Nam, ex superius ostensis, rectangulum, quod binae hyperbolae conjugatae diametri continent, eo majus evadit, quo magis eae diametri ab axibus recedunt. Sed ei rectangu- Io est reciproce proportionalis sinus anguinii , sub iisdeni diametris contenti. Quare per contrarium, tam snus, quam ipse angulus acu tus, ad quem sinus resertur, necesse est , ut eo minor fiat, quo magis conjugatae dia motri ab axibus removentur.
CAP. V. Parametri diametrorum hyperbolae inter se mutuo conferuntur.
. omparatIs inter se mutuo d a me. I.
289쪽
Fib.62. , να SECTIO NuM CONICARUM tros ipsarum ad invicem sonseramiis . Et primo quidem, conjugatae fuerint eae diametri , quorum parametros simul conferre oportet, facile erit, de iis parametris diiudicare. In parametris enim , quae ad duas diametros conjugatas reseruntur , istud obtinet theorema, quod ipsae diametri continuam cum eis proportionem consituant, ubi inverso urindiae inter illas collocantur. Sint enim hyperbolae AB , KL binae eius diametri conjugatae . Sit autem AD parameter unius AB, ct KI parameter alterius KL. Dico, diametros AB, KL, inverso ordine positas inter suas parametros AD, ΚΙ , continuam cum eis proportionem constituere.
Quoniam enim KL est conjugata ipsius AB, er , ut AD ad KL, ita KL ad AB. Et similiter, quoniam AB est conjugata ipsius KL, erit ut KL ad AB , ita AB ad ΚΙ. - re quatuor AD, KL, AB, Κl continue proporti
II. Hine autem plura deducuntur circa parametror, qua ad duas diametros conjugatas
Nimirum primo, quod si duae conjugatae diametri AB , KL inter se sint aequales ue etiam parametri AD , Κ I debeant esse aequales , tam inter se, quam cum diametris suis. secundo , quod si vicissim duae coniugatae diametri AB, KL sint inaequales ς parametri quoque AD , Κ I debeanti esse inaequales, tam inter se , quam cum qualibet earum diametrorum.
Tertio , quod ex diametris AB , KL ea, quae
290쪽
ELEMENTA. a 'Iquae maior est, habeat parametriim , tum ipsa, cum diametro altera minorem ἔ illa vero, quae 'minor est, parametrum habeat, etiam altera diametro majorem.
Quarto , quod quum inaequales stini diametri AB , KL , ct inaequales adeo ipsarum parametri AD, ΚΙ, summa parametrorum major sit semper summa diametrorum. Et denique, quod si capiatur disserentia , tam inter diametrum AB , ct parametrum suam AD, quam inter diametrum ΚL , ct suam parametrum ΚI; ea quidem differentia sit major, quae ad minorem diametrum , majOremque adeo parametrum refertur.
III. Ubi autem diametri non fuerint conis III. iugatae , sed ad easdem hyperbolas termina. 'tur , poterit de parametris ipsarum judicium ferri, ostenso prius hoc theoremate , quod nisiν . 6 disserentia inter quadratum alicujus diameistri , ct figuram ejus sit eadem ubique . Maneant enim omnia , ut supra . Dieci , FLO.6g. quod differentia inter quadratum diametri ΑΒ , ct figuram ejus , quae constituitur perrectangulum DAB , sit semper eadem , quo cumque in loco capiatur diameter AB. Ex superius si quidem ostensis , differentia quadratorum, quae fiunt ex diametris conjugatis AB , KL , ubique reperitur aequalis differentiae quadratorum , quae fiunt ex axi-hus; & consequenter ubique est eadem . Sed quadratum ex KL est aequale rectangulo DAB . Quare eadem pariter ubique erit di ferentia inter AB quadratum, dc rectangulum DAB IV. In