Hyacinthi Christophori, J. C. Naepolitani. De constructione æquationum. Libellus

101쪽

lis Postmodii in Asymptotis LI, P describatur hyperbola NQ, quae cum parabolam in puncto secet, si ex eo ad axim ordinatam ducatur, crithae evera radix proposita aequationis Rursus ducatur ex puncto I versus alteram parabolae partem perpendicularis adaxim 1Κs q. expuncto cete quid istans eidem axi H parabola para- metro aequalis Demum Asymptotis IA, describatur exis puncta opposita hyperbola HGE, quoniam haec similiter parabolam in duobus punctis , G secat, si cx eis ad axim ordinatae EC, GF ducantur, erunt ejusdem aequationis falsa radices Demonstratio ita se habet. Quia, inventa est erit per parabolam ;portio axis Oxo ex qua si auferatur Ixoo , supereri M I p. Rursus quia per hyperboIam, rectangulum ex I in L M, hoc est aequale est rectangulo ex Io in N; si multiplicetur I in N,

scilicet , - παπι 'ρ, vel xi p. Praeterea quia EG, sive GF inventa est erit similiter propter parabolam , portio axis AC, sive AF quae si auferatur ex portione ALM p,

ielinquetur CL, sive F M- . Demum quia rectangulum exluc in KI, nimirum a est aequale

102쪽

.ectangulo ex EC in CP, sive ex GF in P sit du- , habebitur Ux

nimirui catur in P - M a , hoc est p - o a' , O di x H q. E. D. Expli: catis jam radicibus propositae aequationis ;demonstratur veritas conditioni requisit: , quod scilicet ad hoc ut proposita aequatio unicam contineat veram radicem, reliqua falsas, vera aequales , oporteat solidum T I in non minus esse solido , aliter si minus fuerit, unicam veram, reliquas imaginaria continebiti,

104쪽

An Explic CoNsTRu C T. Q 'niam cognita quantitas tertii termini proposita aequationis literais designata, aequalis fuit posita portioni axis parabolae AI, si haec ita in Risecetur, ut IR reliquae I A sit dupla, ducta ordinata RS , erit per parabolam parametro unitater repraesentante ac proinde productum

ex IR in I S, scilicet. in , ψ solidum designabit. Rursus quia perdoctrinam de Maximis deducitur factum ex F in in id maximum esse solidorum omnium , quae ex hac quantitatis notae divisione formari possiunt quia soli dure hoc per productum e II in denotatur sequitur maximum esse omnium , quae X Or dinatis ad parabolae axim ductis , ipsius axis segmento , ab ordinata infra verticem intercepto, concipiuntur maximiani nempe solidorum omnium , eodem quo supra modo designatorum, ac proinde ad hoc ut hyperbola HGE , quae expuncto H describitur , secet parabolam in duobus punctis, alterum supra , alterum instari nimi-ν-., rui in E requiritur , ut productum ex Illii RS, hoc est solidum ex mina majus sit ut .mo termino propositae aequationis, scilicet solido , sive i, hoc est produeto ex I in H;

nam si minus orct, hyperboles, neque tangeret ,' neque secaret parabolam δε radices falsae eva- , is, derent imaginariae si vero aequale , hyperbola parabolam in punet S contingeret δε falsae radices aequales inter se fierent. Superest nunc demonstrandum veram aequati

vis radicem No esse aequalem duabus falsis CE,

105쪽

ADDITAMsNTu M. 7 FG simili sumptis, quod , defeetus secundi termini satis indicat.

Positis E a x, FG MI , σῖγα, reliquis, ut supra , Quia propter hyperbolam, rectangulum ex EC in C aequale est rei tangulo ex Icin ΚΗ ,

Quia similiter rei tangulum ex FI in FG aequale est eidem rectangulo exes in KH, hoc est Ista ag, sive an a 'ρ' habebitur an Fix πα - , scilicet an ip MI faeta divisione per x x , fiet is MI Ix Rursus quia rectangulum e I in P aequale est rectangulo ex lo in O , tertia invenietur aequatio et x ast hoc est pet M a' , proinde erit. -- A' - , idest in xim v - - , divisa aequatione per a. - ha bebitur a M - x , ac propterea et At M J ΦJA . v deleta communi quantitate ' , supererit Z - zmae Jx, sive et Mox in , citerum facta divisione per et O , abcbitur r, scilicct MX I hoc est O aequalis EC insimul cumGF. Q. E. D. Eadem ratione construi poterit aequatio tertiae formulae, Fpx q, de tribus explicabilis radicibus, converso tamen ordine, duabus scilicet veris in una falsa, veris aequali , vel una falsa duabus imaginariis, atque ex constructio, ne demonstratio est manifesta , ex qua etiam patet, parabolae hyperbolae intersectione construi

106쪽

problema de anguli, sive arcus circuli sectione intre partes aequales , posito circuli semidiametrozia, sive unitati pro parabolae parametro B axis portione an subtensa dati arcus osci sive IΚ, quaesiti a x. Eadem similiter ratione construetur arquatiora unica tantum falsa radice explicabilis. Inuciatis enim duabus aequationibus , Io a ad

M qad hyperbolam , si describatur pro constructione parabola ABC , cujus parameter a sive unitas , axis supra verticem ad Eproducatur, ita ut AE siilao , postea duacta EF ad AE per pendiculari, si agatur ex Fiunetore-cta FG ae, a parat εlela axi , atque di

Asymptotis FE

describatur , erit ordinata BH ducta cxiiicto intersectionis parabo lae,& hyperbolae, falsa radix propositae aequationis. Demum si construenda proponatur aequatio in px de unica tantum vera radice explicabilis, exposita methodo invenientur aequationes ' pca a ad parabolam , Lar o s

d hyperbolam , e quibus construcilio facillime

107쪽

AG,& paralicta , BC ab axi distans quantitate Rursus, Asymptotis CB, I de . scribatur expuncto H, hyperbola HFM, positis BIΚM 4 ἘH o a , si je AD parabolae parametro, quoniam haec curva in puncto F parabolam secat si ex eo ad BC axi parabola parallelam, orthogonalis C fuerit ducta, erit propositae aequationis vera radix, quod ita

demonstratur.

Quia FC est NC , sive I posita MD, eriti , sive CEMx Rursus quia propter parabolae proprietatem apud Pappum demonstratam,est a BC, habebitur per hyperbolam ρ ' i ii , hoc est A: par nimirum

108쪽

thodum aequationibus in x o ad parabolam , de x M a hyperbolam , ejus constructio pari facilitate habebitur. Describatur parabola NAB , cujus axis AS,

parameter AD, sive a unitati aequalis, ducaturque ex punctora distante ab axi per I , reetali axi parallela in aeqtialis p pio ducatur posteas usque ad ita ut K sit aequalis &ducta ex puncto recta bina a , diametro, vel axi parallela, asymptotis RI, IK ex puncto H describatur hyperbola HGE, quae parabolam in duobus punctis G, E secare poterit , ex quibus , si ad RIaxi paratulam fuerint ductae orthogonales GF EC, erunt proposita aequationis vera radices, quae si aequales inter se fuerint, descripta byperbola

109쪽

parabolam tanget, si vero imaginariae , neque tanget, neque secabit. Rursus ducatur ex altera parte TX aequalis ,

distans similiter ab axe per i p, pro sucatur SX in L ita ut XL sit aequalis, , postmodum , dueta ex puncto L recta LM axi, vel diametro parallela o a , describatur per iunctum , Asymptotis LX, XO, opposita hyperbola NQ. quoniam parabola ab hac curva in puncto iecatur, si ex eo orthogonalis O fuerit ducti, erit illa aequationis falsa radix, quod ita demonstratur. Quoia EC , vel GF est a x , erit Z , vel Frura H p; similiter quia propter parabolam,RC, vel RFest zo si haec ab RI auferatur,

supererit portio C , vel FI os -- Demum quia propter hyperbolam , rei tangulum ex EC in I, vel ex GF in I aequale est recta naulo ex Icin ΚΗ , erit θ - - α ar,

est D ' L; si igitur ex O auferatur TXma,

110쪽

agat o a' , hoc est I x is e E. D. Atque haec de cubicis' aequationibus dicta sufficiant, progrediamur nunc ad constructionem aequationum quatuor graduum Proponatur aequatio secundo carens termino qx f. Assumpta a pro unitates, erit X qκ' a 'rxis a Posita deinde aequali utrique parti potestate 'r' habebitur,' O 'r' , hoc est sad parabolam , ρκ' a 'r in ago a 'r cistilicet r a V m se ad hyperbolam i Rursus proponatur aequatio omnibus constans terminis ' o x lix' -- rc f. Transmutetur haecina: --px Ioaqx --ayrxl f , posita, ut supra a pro unitate. Addatur deinde utrique parti quadratum CX hoc est ut pars aequationis x Ix quadratum constituat, eritque igitur