Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

11쪽

LIBER POSTERIOR PARS PRIΜA

RuM VARIABILIUM EX DATA DIFFERENTIALICUIUSVIS GRADUS RELATIONE.

INVESTIGATIO DUARVΜ VARIABILIUM

13쪽

NATURA AEQUATIONUM DIF

FERENTIALIUM QUIBUS FUNCTIONES 'DUARUM VARIABILIVM J ET ERMINANTVR IN GENERE. Problema I. . .

Si a sit funistiis quaecunque duarum variabilium

x et I , definire indolem aequatonis disserentialis qua relatio disserentialium dx , o da exprimitur.

Solutio.

14쪽

qua P, et R sint iunctiones quaecunque ipsarum

x , 3 et a. Ac primo quidem necesse est , ut haee aequatio nata sit ex differentiatione aequationis cuiuspiam finitae postquam ditarentiale per quampiam quantitatem fuerit diuisum. Dabitur ergo quidam multiplicator puta Μ , per quem formula P d x ----Rd e multiplicata fiat integrabilis; nisi enim talis multiplicator existeret , aequatio disserentialis proposita Q. Tet absurda, nihilque omnino declararet. Totum ergo negotium huc redit, Vt character assignetur , cuius ope huiusmodi aequationes differentiales absurdae nihilque significantes a realibus dignosci queant. Hunc in finem contemplemur aequationem propositam Pdx--Qθ--Rda zo tanquam realem. Sit Μmultiplicator eam reddens integrabilam , ita ut haec formula

sit verum ditarentiale cuiuspiam sunctionis trium variabilium X, F et α; quae iunctio si ponatur TV haec aequatio V m Const. futura si integrale completum aequationis propositae. Sive igitur x, siue y, siue a accipi atur constans , singulas has sormulas :

seorsim integrabiles esse oportet; unde ex natura disserentialium erit unde Diuiliam by Corale

15쪽

de per euolutionem hae tres oriuntur aequationes:

quarum si prima per P , secunda per Q et tertia per R multiplicetur, in summa omnia ditarentialia ipsius Μ se tollent, et reliqua aequatio per Μ .dierit:

quae continet characterem , aequationes disserentiales reales ab absurdis discernentem, et quoties inter quantitates P, Q et R haec conditio lacum habet, toties aequatio disserentialis proposita P d X - - - - R.z est realis. Caeterum hic meminisse oportet, huiusmodi mrmulam uncinulis inclusiam significare valorem si in dissirentiatione ipsius Q sola quantitas a ut variabilis tractetur; quod idem de ceteris est tenendum , quae ergo semper ad iunctiones fini

tas reducuntur.

Coro II. I.

2. Proposita ergo aequatione dis irentiali inter tres variabiles:

16쪽

ante omnia dispiciendum est, utrum character inventiis locum habrat, nec ne i priori casu aequatio erit resis, posteriori ero absurda et nihil plane significans , neque unquam ad talem aequationem ullius problematis solutio perducere Falet.

Coroll. I.

a. Character inuentus etiam hoc modo exprimi potest quandoquidem uncinulae non quantitates finitas afficiunt, sed solam differentiationem ad certam variabilem restringunti

. Simili modo si aequatio haec charaeterem continens per PQR diuidatur, ea hanc Prmam indueteil d. ' d. liquae etiam ita exprimi potest:

17쪽

s. Quemadmodum omnes aequationes dissi senistiales inter binas Fariabiles semper sunt reales, semperque per eas relatio certa renter ipsas variabiles definitur, ita hine discimus, rem secus 2 habere in aequationibus diis rentialibus , quae tres variabiles inuoluant, atque huiusmodi aequationes

non certam relationem inter ipsas quantitates finitas x , I a declarare, nisi quantitates P , R ita fuerint . comparatae, xv character inuentus Ioeum habeat. Ex quo intelligitur infinitas huiusmodi aequationes disserentiales inter ternas variabiles proponi posse, quibus nulla prorsus relatio finita conueniat, et quae propterea nihil plane. definiant. Pro actibulo scilicet huiusmodi aequationes Ermari possunt , nullo scopo proposito ad quem sint accommodatae statim enim ac certum quoddam problema ad aequationem dissetentialem inter ternas variabiles perducit , semper necesse est characterem assignatum ei conuenire , cum alioquin nihil omnino significaret. . Talis aequatio nihil significans est cxempli gratia zdX--X - neque pro z vlla quidem stinctio ipsarum x et cogitari potest quae isti aequationi satisfaciat; quin etiam character noster pro hoc exempla dat -x - et , quae quantitas cum non evanescat, absurditatem illius aequationis declarat. sch Disiligod by Corale

18쪽

S. Quo character inuentus secilius ad quosvis casus oblatoe accommodari queat, ex aequati e

primo euoluantur sequentes valores r

et chamster noster hac continebitur expressione rLΡ--ΜQ NRquae si evanescat, aequatio proposita erit realis, et aequationem quandam finitam agnoscet; sin autem ea ad nihilum non redigatur , aequatio proposita erit absurda, atque de eius integratione' ne cogitandum quidem erit. Ita in exemplo supra Posito erit

hinc L α - x, Μ α - I et NIT I, Vnde character - x - Σ , absurditatem indicat. Proferamus Vero etiam exemplum aequationis reali M

19쪽

quare cum hic character evanescat, aequatio haec disserentialis pro reali est habenda. Simili modo proposita hac aequatione:

Problema 2.

. Proposita aequatione differentiali inter ternas variabiles X , I , et , quae sit realis, eius integrale inuestigare , unde pateat, qualis functio una earum sit binarum reliquarum.

Solutio.

Sit aequatio differentialis proposita: P dx .F--Rda cain qua P, Q, R eiusmodi sint sanctiones ipsarum x a et a. ut character realitatis ante inuintus sa

20쪽

tisfaciat. Nisi enim ista aequatio esset realis , ridi culum foret, eius integrationem tetriare. Sumamus ergo laanc aequationem esis realem , atque dabitur relatio inter ipsas quantitates x , y et a , aequationi propositae satisfaciens; ad quam inueniendam ρο pendatur, si in aequatione integnali una variabilium puta et, constans spectetur ex eius disierentiali nihilo aequali posito nasci debere ae luationem

Vicissim ergo una variabili puta et ut constante tractata , integratio aequationis dictrentialis

quae duas tantum variabiles continet, perducet adaequationem integralem quaesitam, si modo in quantitatem constantem per integrationem ingressim illa quantitas et rite inuoluatur. EX quo hanc regulam pro integratione aequationis propositae colligimus. Consideretur una variabilium puta a vi constans, ut habeatur haec aequatio P dx Qdν o duas tantum variabiles x et I implicans ; tum eius investigetur aequatio integralis completa , quae ergo conitantem ariaitrariam C complectetur. Deinde haec constans C consideretur ut iunctio quaecunque ipsius et, atque hac et nunc etiam pro Variabili habita , aequatio integralis inuenta denuo disserentietur ; ut omnes tres x, y et a tanquam variabiles tractentur, et aequatio disserentialis resultans comparetur eum

proposita , ubi quidem functiones Diuiliges by Corale