Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

31쪽

Tet dae I J. Iam nostro casu est

Quocirca quantitatis dae disserentiale plenum ex variabilitate utriusque x et a oriundum est dx- se μ' xx dxcui aequari debet alterius partis

Turbat Nero adhuc formula integralis iaqua a pro constante habetur: reduci autem potest

ad priorem se ' dae , si ponatur

prodit enim sola x pro variabili habita. dictreatiando

C a ita

32쪽

ita ut sit

Z erit

quae transit in hanc formam

33쪽

23 siquidem in integrali se quantita, et pro col statuu habeatur.

Corollarium.

IS. Aequatio ergo proposita integrabilis redditur, si multiplicetur per e ; ac tum integrale cli ipsa aequatio, quam inuenimus.

I9. Exem Hum hin imprimis est notatu dignum , qu λs in eius solutione quaedam artificia suiu in subsidium 'in ata , quibu5 in praecedetit ibit,

non erat opus. Pcr mrmulam autem se dae integrale non satis determinatum videtur. Cum enim in ea a co. stanS ponatur, constans per integrationem introduccnda per net non desinitur, siquidem lex

non praescribitur stcundum quam integrale fe capi oporteat virum ita ut evanesciat fusto X O , an alio quocunque. modo ' Dubium autem hoc di-Iuetur , si aequationem inuentam per a diuidamus,

vi formula integralis sit se ' ubi cum sit euidens est ea exprimi functionem quandam ipsius ἱέ ac si pouatur p , fore aequationem nostram integralem p eo Const. neque Diuitiam by Corale

34쪽

et φneque hic amplius conditio illa , qua in Drmula integrali quantitas a pro constante sit habenda , Io- cum habet, sed integrale perinde determinatur , a si aequatio duas tantum variabiles contineret. Hanc circumstantiam si perpendissemus, plenum ditaren- fetiale Brmulae dx , ex variabilitate utriusque x et a nullam dissicultatem peperisset. Postquam enim peruenimus ad aequationem

ubi cum in formulam integralem etiam variabilitas ipsius a sit inducta, si ea disserentietur sumtis omnibus x ,st et a variabilibus orietur:

quae reducitur ad hanc formam:

35쪽

Scholion 2.

ao. Idem integrale prodiisset, si loco Σ altera reliquarum x .es 3 pro constante sitisset assumta; ubi in genere notari conuenit, si huiusmodi aequa

sumta a constante tractare licuerit, etiam resoluti nem, quaecunque trium variabilium pro constante assumatur , siaccedere debere etiamsi id quandoque minus perspiciatur. Ita in aequatione proposita si νpro constante habeatur , resbluenda erit haec aequatio rcta XX--κα- ν - α di x ' - ' xx It)α quae per x multiplicata cum in hanc formam' abeat x dx--x in xxΦzz- Izzda

secile patet eam simpliciorem reddi ponendo X a

36쪽

eui cum satisSciat q-, statuatur q-; -- ha biturque

Cum nunc sit

nde aequatio nostra integralis erit

euius dictrentiale , si etiam a pro variabili habeatur, eum aequatione Proposita comIraratum illabit ut ante f:s Const. Ceterum eum in his exemplis variabiles ivbique eundem dimensionum numerum impiant, methodum seneruem huiusmodi aequationes tractandi

37쪽

a r. si in aequatione dita entiali miniones P. Q, R sherint homogenem ipserum s et x eiusdem numeri dimensiomam; eius , integrationem , si quidem tu i realis, inuestigare.

sit m numerus vimensionum quas ternae -

quae aequatio realis en nequit, nisi formula disse rentialis binas variabiles p et q inuoluens per st fuerit integrabilis; quod eueniet si fuerit:

38쪽

Quoties ergo hic character locum habet, nostra aequatio erit resis, eiusque integrato erit , . ubi tantum opus est ut loco litterarum. p et g υ- lorea assumti et restituantur.

ast. Ita in nostro primo exemplo ra. cum sit PTV a; Q x--a; Rzzar ' erit

39쪽

qui denominator est sp ρ--r pq p τ' unde haec fractio resoluitur in has duas i '

ex quo integrale a laetarithmis ad numeros perduectum oritur

40쪽

Scholion.

6. Cum igitur aequationes di rentiales tres variabi s inuolumes . nullam habeam dissicultatem sibi propriam , quoniam taruin res utio, siquidem suerint reales, semper ad aequationes dictrentiales duarum variabilium redisci potest; hine argumentum linius non prosequor. Quod enim ad eiusmodi a quationes disserentiales trium variabilium attinet, in quibus ipsi disserenti lia ad plures Omensiones iacendunt. inuti est , ὲNP--- -'--2M ri 2Vωπα

de iis generatim tenendum est, nisi per radicis extractionem ad Bemam e .

Pda: -- Q dr . R de amo reduci queant, eas stmper esse absurdas. Quomod cunque enim aequatio integralis esset comparata, ex ea valor ipsius a ita definiri posset, ut x aequetur iunctioni binarum variabilium x et o , unde sorte da pdx--qdνέ neqiae hae variabiis ullo minis a is penderent. Hic ergo . valor pdx--qQ loco in aequatione disserentiali substitutus, it satisfacere deberet, ut omnes termini 2 mutuo destruerent, quod autem fieri non possit, si ' ex ae- qua-Diuitigod by Gorale