Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero .. Volumen tertium, in quo methodus inueniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cuiusuis gradus pertractatur. Vna cum appe

21쪽

ctiones P et Q sponte prodibunt, at iunctio R eum

ea quantitate , qua elementum da afficitur, collata determinabit rationem, qua quantitas z in illam litteram C ingreditur, sicque obtinebitur aequatio integralis quaesita , quae simul erit completa, cum semper in illa litterae C pars quaedam constans vere arbitraria relinquatur, cum haec determinatio ex disserentiali ipsius C sit petenda.

3. Reducitur ergo integratio huiusmodi aequationum disserentialium tres variabiles continentium ad integrationem aequationum disserentialium inter duas tantum Variabiles , quae ergo quoties licet per methodos in superiori libro traditas, est instituenda.

s. Haec ergo integratio tribus modis institui potest prout primo vel a vel F vel x tanquam conis stans spectatur. Semper autem necesse est , ut eadem aequatio integralis resultet, siquidem aequatio differentialis suerit realis.

ro. Quodsi haec methodus tentetur in aequatione disserentiali impossibili, determinatio illius constantis C non ita succedet, ut eani Variabilem, quae pro constante est habita, solam inuoluat; atque etiam ex hoc criterium realitatis peti poterit. B a Sch Dissiligod by Corale

22쪽

- Ir. Quo haec operatio facilius intelligatur, periculum ficiamus primo in aequatione impossibili hac

deberet ergo esse XIX-Darzzλ - D Ia - , quod est absurdum. Deinde in aequatione realia da I H πὶ -o X- ares a a)-- da x operatio exposita ita instituatur. Sumatur a constans ut sit adx F- α) da x s)z o stu di m

23쪽

sumto etiam ' variabili, disseruiatiatio praebet

quae expressio cum forma proposita collata praebet D o, ideoque dCzzo et C sit constans vera . ita ut integrale sit

Huiusmodi igitur exempla aliquot euoluamus.

Exemplum I.

sumatur igitur a constans, et aequatio prodibit dx audia lino x--αὶ - o seu α oculus integrale est

24쪽

statuatur ergo ubi natura functionis Z ex disserentiatione debet erui. Fit autem dxίν - - a)ΦΟίX--αὶ - da xq-ν-haz) m dZ a qua si proposita austratur, relinquitur axdΣ-dZ hinc Z zz--C , ita Vt aequatio integralis completa sit x- - Σ) F. - Σὶ zz- C seu xa ψα Cquae quidem ex ipse proposita

facile elicitur , cum bina membra iuncta sit integrabilia.

Exemplum 2.

25쪽

ex cuius comparationa cum proposita fit dZIzo et Z C, ita ut aequatio integralis completa sit: - n seu ar nax sb--nc z. Quod si aequatio integralis pOaatur

hae constantes ita debeat esse comparatae ut sit A e -- B b C a osicque constans arbitraria concinnius inducitur.

Corollari um.

I . Haec ergo aequatio integrabilis redditur, si diuidatur per ccc z- a x ) , atque ob eandem rationem etiam hi diuisores: a1 - b a s et b x - eν 'idem praestant. iVi enim integralis hi diu libres constantem inter se tenent rationem. Namque si erit

26쪽

Exemplum I.

eritque

culus integrale est Ang. tang. z Ang. tang- s: nquae per collectionem horum angulorum abit in :Ang tane α f: z. Statuatur ergo α Z ; haecque aequatio disserentietur sumtis omnibus tribus xi r et avariabilibus , ac prodibit

cum igitur ex aequatione proposita sitta visa Flay bd zz- - Φλκα- ί laint ferit Diuitigod by Gorale

27쪽

I erit scista substitutione

quae in hanc formam reducitur:

At oberit

Necesse ergo est ut etiam LL

ipsius a tantum, quae Vocetur Σ, ut sit Verum ex sola sorma functionis Z negotium confici oportet; quod ita expediri potest. Cum sit

hinc Ialoris ope quantitates x et Il ex aequatione disserentiali eliduntur , sitque i

c quae

28쪽

quae simplicissima sorma statim colligitur ex aequatione

Corollarium.

13. Cum aequationis propositae integrale completiun sit --Xz- et a X in F αὶ seu ex huius disserentiatione etiam ipsa aequatio propo sita resultarc deprehenditur. Vnde paret aciluatio

Scholion.

15. Ex hoc exemplo intelligitur , determinationem functionis per integrationcm illatae interdum haud exiguis difficultatibus esse obnoxiam ; siquidem hic functionem Z non sine ambagibus clicuimus. Verum et hic ita inuestigatio multo facilius institui potuisset; statim enim atque inuenimus

hanc ipsam expressionem concinniorem cuisset. Nempe cu .n sit erit

, ideoque

reddere li-Relicta Disitired by Coos e

29쪽

Reli sta ergo suhistione Z statim ponatur et sumtis disserentialibus per se liquebit, fieri αzo, ideoque Σα Const. Adhuc facilius hoc problema

resoluitur, si etiam sumto ' constante eius integrale quaeratur, tum cnim simili modo peruenitur ad huiusmodi aequationem S PD IMI - Y.s: ν et qdare cum haec expressio aeque osse delieat functio ipsius et atque ipsius a , necesse est , ut ea sit constans ; eritque propterea aequatio integralis completa - x et di zzza X- F- et .

Exemplum 6.

II. Huius aeqvationis diserentiassis reastis i

30쪽

quae per e multiplicata praebet integrale

φ dx quantitatem Σ ut constantem tractari, esseque ita ut sit

-- Σ. Quodsi iam hanc aequationem differentiare velimus sumta ctiam e variabili , difficultas hic occurrit ,

quomodo quantitatis D dx disserentiale ex variabilitate ipsus et oriundum definiri debeat. Hic ex principiis repeti debet si fuerit dV S dxia Tri , Bre Diqiligod by Corale