장음표시 사용
41쪽
resolui possit. Atque etiamsi hoc eueniat, et hictores nihilo aequales statuantur, tamen aequatio non erit realis, nisi criterium supra traditum locum habeat. Ex his perspicuum est, ne eiusmodi quidem aequationes, quae quatuor suresue -variabilesia luant, plus dissicultatis habere.
r. si V sit minio quaecunque ianarum va- Nabilium x et ν, in inmuta autem integrali IVab: quantitas ' pro constante sit habita , definire huius Ermae IV dx ditarintule, si prarier .ae etiam a va--siabilis lassuma*ur
natur ista Drmula integralis Udx E , eritque Z utique .iunctio ambarum variabilium x et 1, etiamsi in ipsa integratione ν pro constante habeatur. Euidem autem est, si vicissim in differentiati me se tans sumatur, iure u V . t wareis etiam1
42쪽
si s pro coaestante habeatur; unde Q reperietur si 2rmula dae εὶ ita integretur, ut a tanquam con sans tractetur, seu erit . x g). Quocirca sorinulae Z. IV dx ditarentiale ex variabilitate virtus que X et a oriundum erit
dis. Quoniam V est functio ipsarum x et I , si ponatur ii V R dx- So , erit S ig); unde fit dZ zzzdJV dx αVdx- of S dx scilicet in Brmulae 1 S dx integratione , perinde ac Rrmulae IVda: istat quantitas iee pro variabili est
as. si V suerit iunctio homogenea ipsarum x et 3 existente numero dimensionum positoduz. R dx4-So erit RuribazηV. ideoquς β π ' Phinc Diuitiam by GOoste
43쪽
aci. Idem facilius inuenitur ex consideratione quod functio Z. zzGV dx futura sit homogenea n x dimensionum, quare posito dZ UdX-- Ο , erit
det. Problemate iam ante, et in praecedente quidem libro sum usus , neque tamen abs re streputaui , si id data opera hic tractarem, quandoqui dem hic liber in functionibus binarum pluriumue variabili uin Occupatur. Praecipuum autem negotium non in eiusmoeli aequationibus differentialibus, quales in hoc sapite integrare id ui , versatur , quod quidem breui esset absolutum, sed cum disserentiatio functionis binarum variabilium x et 3 duplices Br- mulas et in suppeditet, existente V huiusmodi functione , hoc loco eiusmodi quaestiones po- tillimum contemplabimur , quibus talis iunctio V ex data quacunque relatione harum duarum Brmularum et ig) est definienda. Relatio autem haec per aequationem inter istas formulas et binas artabiles X et γ, quam etiam ipsis functio quaesita vingredi potest , exprimitur , o cuius aequationis in-rol. III. E dola
44쪽
dole diuisio tractationis erit petenda. Problema scilicet generale , in quo soluendo illa sectio est occupata, ita se habet, ut ea binarum Variabilium x et x iunctio V inueniatur, quae fati,taciat aequationi cuicunque inter quantitates,s, V, in ex ίεὶ
propositae. Quodsi in hanc aequationem altera tantum binarum formularum ditarentiali uin vel Si ingrediatur , resolutio non est dissicilis, atque ad c sum aequalionum differentialium duas tantum variabiles inuoluentium reducitur; quando autem ambae istae formulae in aequatione proposita insunt, quaestio multo magis est ardua ac saepe numero ne resolui quidem potest , etiamsi resolutio aequationum differentiali uin duas tantum variabiles complectentium admittatur : in hoc enim negotio , quoties resolutionem ad integrationem aequationum differentialium inter duas variabiles reducere licet, proble ma pro resoluto erit habendum. Cum igitur exaequatione proposita irmula aequetur sunt tioni utcunque ex quantitatibuS x , F , V et conflatae, ex indole huius functionis, prout fuerit simplicior , et vel Ibiam formulam si vel praeter
eam unicam ex reliquis , vel etiam binas vel adeo omnes comprehendat, tractationem sequentem distribuemus. Hoc enim ordine seruato facillime apparebit , quantum adhuc praestare liceat , et quantum adhuc desideretur. Pnaeterea vero nonnulla subsidia circa transformationem binarum formularum differentialium ad alias variabiles exponenda occurrent.
45쪽
32. Quo partes , quas in hac siectione pertractari conuenit , clarius conspectui eXponantur , quoniam hae quaestiones circa functiones binarum Yaria -- hilium versantur , sint x et 3 binae variabiles , et zearum iunctio ex data quadam disserentialium relatione definienda, ita ut aequatio finita inter X, Iet a requiratur. Ponamus autem da pdX--qo .
ita ut sit recepto signandi modo p s A)et ρ ίθ;ὶ, atque ideo p et q sint formulae differentiales, quae
in relationem propositam ingrediantur. In genere ergo relatio ista erit aequatio quaecunque inter quantitates p , q , x , I et a proposita , atque haec se-etio perfecte absolueretur , si methodus constaret, ex data aequatione quacunque inter has quantitates p, ε . x , I et z eruendi aequationem inter x,s et quod autem cum in genere ne pro functionibus quidem unicae variabilis praestari possit, multo minus hic est expectandum, ex quo eos casus tantum euolui conueniet, qui resolutionem admittant. Primo autem resolutio succedit, si in aequatione proposita altera Brmularum disserentialium p vel q plane desit, ita ut aequatio vel inter p, X, I et a vel inter q, X, Iet a proponatur. Deinde aequationes, quae istas binas mrmulas differentiales p et q continent , ita ut altera debeat esse functio quaecunque alterius , commode resoluere licet. Tum igitur sequentur aequaritiones, quae praeler p et ρ Vnicam quantitatum finitarum x vel a vel o complectantur , ex quo genere
46쪽
cuiusmodi casus resolui queant videamus. ordo porro postulat, ut ad aequationes , quae praeter h: nas sormulas disserentiales p et ρ insuper binas quantitatum finitarum vel x et I , vel x et et , Vel et et, involvunt, progrediamur; ac denique de reuolutione aequationum omnes litteras p, ρ, X , F et et implicantium , agemus, subsidia transirmationis deinceps exposituri.
47쪽
QVIBUS ALTERA FORMULA DIFFERENTIALIS PER QUANTITATES FINITAs UTCUNQUE DATUR.
Duestigare indolem functionis et binarum variabiislium x et I , ut formula disserentialis, sit quantitas constans ma.
Posito ergo dam pdX Dqd , ea iunctionis aindoles quaeritur ut sit , seu da adx- ρo ;ad quam inueniendam sumatur ν pro constante, erit da madx , et integrando a m ax--Const. hi notari oportet hanc constantem utcunque inuoluere posse quantitatem I. Quare ut solutionem generalem --hibeamus erit et ax-f:F, denotantes: iunctionem quamcunque ipsius I , quae per se nullo modo determinatur , M penitus ab arbitrio nostro pendet.
48쪽
Quod etiam disserentiatio vicissim declarat, si enim huius iunctionis f:F disserentiale per of .s indicemus, erit Utique ideoque στὶ prorsus uti quaestio postulat; unde patet hoc casu alteram formulam disserentialem in , functioni
solius I aequari, cum sit qzz η . Coroll. I.
a . Si ergo eiusmodi quaeratur lanetio a binarum variabilium X et I , ut sit s: in zza, erit x zzaXHU:I , et altera sormula ditarentialis in necessario aequatur functioni ipsius a tantum.
3 s. si talis requiratur iunctio, ut sit ea necessario erit iunctio ipsius a tantum, seu quantitatem x plane non inuoluet; cum enim a variatione ipsius x nullam mutationem pati debeat, haec quantitas x quoque in eius determinationem plane non ingredietur.
16. Hinc etiam patet aequationem disserentialem da adx--qo realem esse non posse, nisi qst functio ipsius y tantum; quod etiam character supra expositus declarat , aequatione enim ad hanc formam adx--ρθ-da O reducta , ob P a ,
49쪽
asideoque realitas postulat ut sit At per hypothesin q non pendet a z, unde ob 'o; erit ill)zzo , ideoque etiam q ab x non pende:
a . Ex allatis satis patet hanc operationem,
qua iunct Onem a determinavimus veram esse integrationem, qua uti in vulgaribus integrationibus aliquid indeterminati introducitur. Hic scilicet ingressa est iunctio quaecunque ipsius a , cuius indoles per se nullo modo determinatur ; cam quoque ita concipere licet, ut destripta curua quacunque, si eius abscissae Per a indicentur, applicatae exhibeant eiusmodi functionem ipsius Neque vero opus est , ut haec curua sit regularis et aequatione quapiam contenta ἔsed curua quaecunque libero manus ductu descripta eundem praestat effectum , etiamsi sit maxime irregularis , et ex pluribus partibus diuersiarum curuarum conflata. Huiusmodi functiones irregulares appellare licet discontinuas seu nexu continuitatis destitutas; unde hoc imprimis notatu dignum occurrit, quod cum prioris generis integrationes alias functiones Praeter continuas non admittant , hic etiam functiones discontinuae calculo subiiciantur , quod pluribus insignibus Geometris adeo calculi principiis aduersari est visum. Verum integrationum in hoc secundo libro tradendarum vis praecipua in eo conmnit, quod etiam iunctionum discontinuarum sint capaces Disiligod by COOste
50쪽
paces; ea quo per hunc quasi nouum calculum filios Analysicos maxime proserri sunt censendi.
a 8. Quemadmodum deinde in xulgaribus integra- rionibus constans arbitraria ingressa , semper ex indole problematis, cuius solutio eo perduxerat, determinatur, fita etiam hic natura problematis, cuius solutio huiusmodi integratione abIbluitur, semper indolem fun- letionis arbitrariae per integrationem ingressae de- iterminabit. Ita si cordae tensae figura quaecunque inducatur , eaque subito dimittatur , ut oscillationes Peragat , Ope principiorum mechanicorum ad quodvis tempus figura , quam corda tum sit habitura , definiri potest, hocque fit eiusmodi integratione, qua iunctio quaedam arbitraria introducitur; quam autem deinceps ita determinari conuenit, ut pro ipso motus initio ipsa illa figura cordae inducta prodeat; et cum solutio debeat esse generalis, ut satisfaciat figurae cuicunque initiali , necesse est ut etiam ad eos casus pateat , quibus cordae initio figura irregularis nullo continuitatis nexu pracdita inducatur , quod fieri non posset, nisi per integrationem eiusmodi functio arbitrio nostro relicta ingrederetur , quam etiam ad figuras irregulares adaptare .liceret. Huiusmodi hinctiones arbitrarias, prouti
hic feci, eiusmodi signandi modo f: γ indicabo, unde cauendum erit ne littera f pro quantitate habeatur, quocirca ipsi ciam sumsere visum est. Simili