장음표시 사용
11쪽
ad Euclidem, cujus ratio longior videtur multis atque implicatior, redire opus habeas, sermones alunxi duos quam brevissimos, unum de proportionibus, alterum de magnitudinibus, quae in geometria considerari solent, per litte ras exprimendis . Speravi enim fore, ut hanc
viam tenens neque labore te opprimas, & pro gressus facias celeriores. In quo si erravero, quamquam ne id metuam , multorum maximorumque hominum facit auctoritas, tamen, si quid erravero, non me paenitebit ex eo, quo te prosequor, amore longe maximo erravisse. Sed jam ad rem venio , exordium hinc capiens . Uantitas quaevis quavis littera b, e &c. ex primi solet. Quod si litterae praefixum si signum se, censetur quantitas poni, & positiva dicitur; si signum
- , negari & tolli,& dicitur negativa . Quare a , --e , --b quantitates. Positivae sunt; -a,-b, - unegati Uae. Si cui litterae signum nullum praefixum sit, cem setur praefixum in. De
12쪽
De additione O subtractione. SI cui quantitati alteram velis addere , hane illi adiunges, signum nihil mutans a si subtrahere , seu demere, signum ei mutabis , quam subtrahis. Ita, si quantitati a velis addere in b , scribes a - -'; si -- e, scribes ari-e; sit --d, scribes a-d; si subtrahere,
Quod additione fit, dicitur quantitatum summa; quod, facta subtractione , remanet , differentia . Hic iam , si expressionis. forma spectetur, quantitates omnes in duo genera dispertiuntur; aliaeque simplices dicuntur, aliae compositae . Simplices suntiquae praeter signiim praefixum , seu quod praefixum , censetur, signum nullum aliud habent, uti a, b, - c&c. Compositae sunt, quae sgnum aliquod habent litteris interiectum , uti a- b, e - d Sce. Compositae non secus adduntur & subtrahuntur, ac simplices. Ita si quantitati a --b velis addere e d, scribes a b e d, signa nihil mutans; si subtrahere, mutabis signa in ea quantitate, quam subtrahis. Scribes ergo a b - c - d.
De expurgatione quantitatum compostarum .
amantitas omnis composita terminis constat, quo rum uisque praefixo signo notatur. Ita quantitas b -c --d terminiς constat a , cui prefixum censetur signum in , b, -e, d. Ad expressionis, scri-
13쪽
ro dicuntur factores , seu multiplicatores , sive etiam producti latera. Ita numerus dicetur factum, seu productum , sive rectangulum numerorum & s , quoniam multiplicando 3 per 3 sit is . Numeri ipsi g, & s dicuntur factores, seu multiplicatores, sive
latera numeri I s. Quantitas, quae per alteram multiplicatur , in communi mathematicorum sermone dicitur in eam
duci. Ubi ergo dixero a ductam in e , intelligo a multiplicatam per e . Atque haec quidem ad usum I quendi spectant. Illud ad rem pertinet. Utrovis modo multiplicaveris, sive a per b , sive b per a , idem productum fiet. Quod in exemplo numerorum 3 & s satis apparet; fit enim is, sive 3 per 3 multiplices, sive 3 per 3 . Sed iam multiplicandi modum explicemus. De modo multiplicandi.
I Ιie & simplietum quantita, tum & compositarum
ratio est habenda. Dicamus primum de simplicibus. Si quantitates duas simplices , uti a & b, multiplicare inter se velis, eas deinceps scribes nullo interiecto signo, uti ab; quo quidem exprimes nona , neque b , sed productum illud, quod fit multiplicando a per b . Erit autem productum a b positivum , eique prae-sges signum --, si quantitates, quas multiplicas, a& b, vel ambae positivae sint, vel ambae negativae.
14쪽
Quod si altera positiva fuerit, negativa altera, pr ductum ab negativum erit, eique prefigis signum- . Si ergo multiplicare velis in a per in b, sive -a- b, productum Pone S - ab; si in a per - b, sive - a per in b, productum pones - ab . Neque mirari oportet, quod - a ducta in b productumessiciat positivum; quippe, negativa ipsa cum sit, si
negative sumatur, positiva evadat necesse est. Neque illud praetereundum . Si quantitates multipli eandete numeros praefixos habeant, producto ii terarum praeponendum erit productum numerorum ,
ae tum demum signum praefigendum. Quare si multiplicare oporteat 3 a per a b, Productum pones o ab , fi3 a per - q, productum pones - Ia ab . . Producta haec , e multiplicatione quantitatum simplicium orta, sunt & ipsa, uti manifestum est , quantitates simplices; nec secus quam aliae simplices, adduntur, subtrahunturve. Multiplicantur etiam eodem modo. Quare si multiplicandum tibi sit ab
per c , pones a b c , Per - c b, pones - abe b . Adhuc de multiplicatione quantitatum simplicium . Compostarum brevior est ratio . Multiplicatur . enim quantitas quaevis composita per quamvis aliam, si finguli unius termini in omnes alterius terminos ducantur, ac producta Omnia in summam colligantur. Multiplicando igitur ab Φ ob per c - pones a b e --e e b - ab d - e d b. Quamquam pro multiplicatis habentur duae quantitates compositae , puta ab Φ e b, & c d , etiamsi i se
15쪽
se feribantur ab ebκc-d, si ve ah--c b. c a Quae scriptio aliquando est ad usum commodior. De patenatibus.
SI quantitas quaepiam , puta a, multiplicanda sit per se ipsam , idest per a ; ex his, quae hactenus diximus , scribendum erit a a. Ac si hoc ipsum a a multiplicandum sit rursum per a , scribendum erita ea . Ac si hoc ipsum a a a rursum per scribendum erit a aaa. Eiusque progressus nullus est finis. Ad vitandum ergo fastidium scribendi, pronunciandique tam saepe eamdem litteram a , mos invaluit, ut pro a a scribatur a ; pro a a a scribatur a 3 pro a aa a scribatur a &c. Hinc series essicitur, cui, ne quid ad elegantiam desit, initium ponunt a , α , a , a , , a , asi , a' , a' &c. Termini a , a , a dcc. dicuntur potestates quantitatis a. Numeri, qui supra exstant ad dexteram , dicuntur exponentes, sive indices potestatum . a diiscitur potestas prima, & teque valet, ut a; a dicitur potestas secunda, seu quadratum quantitatis apa3 potestas tertia , seu cubus; a' potestas quarta; a= potestas quinta &c. Hinc brevissima multiplicandarum potestatum ratio orta est. Etenim si duae eiusdem quantitatis potestates , puta a & a 3, multiplicandae inter se sint, id fiet scribendo semel litteram a , eique adiungendo, exponentis loco, summam duorum exponentium et, Tom. II. B de
16쪽
& 3. Haec quippe ostendet, quam saepe sit littera a in multiplicatione illa repetenda. Si ergo multiplices a per , scribes a ; si a3 per a', scribes a'; si a per asi, scribes &c. Haec adhuc de multiplicatione ; quae tibi volo in promptu esse , quo sis ad ea , quae secuntur, experiditior De divisione. DIvidere quantitatem quamvis a per quamvis best invenire, quoties b ingrediatur in a. Dicitur bdivisor ; a dividendum , Numerus , seu quantitas, quae ostendit , quoties b ingrediatur in a, dicitur quotiens. Dividatur Is per 3; erit is dividendum; 3 divisor; quotiens velo erit 3 ; nam 3 ingreditur in I 3 quinquies. Hinc patet, quotientem , si ducatur in divivisorem , aequalem fieri dividendo. Divisio sic peragitur . Infra dividendum divisor ponitur, lineola interiecta. Ad dividendum ergo apex b scribes - . Qua quidem scriptione intelligi debbet non a , neque b, sed quotiens ille, qui oritur dividendo a per b . Quotiens sic expressus, uti dicitur quantitas bfracta , seu fractio . Quantitates aliae a, b, c d Ecc., de quibus adhuc diximus, dicuntur integrae . Dividendum a , quod supra ponitur, vulgo numerator dicitur ; divisor b, qui insta, denominator. Illud ergo
17쪽
go tritum est: quotiens , ductus in denominatorem , essicit numeratorem , id est numeratori aequalis est . Quare si in fractione cum numerator, tum denominator eodem signo affecti sint, uti in his id, pquotiens politivus si oportet; nam negativus si esset, neque ductus in denominatorem -- b efficere ponset numeratorem neque ductus in denominatorem b essicere posset numeratorem a . Pari de causa erit
quotiens negativus, si a & b in fractione signa habeant diversa, putata , . His sane liquet , fractio. nes si res ipsa spectetur, nihil inter se differre; idem est enim utriusque quotiens. Nihilque pariter differunt , & ' φ .
Ae iam novum, si exprimendi ratio attendatur, quantitatum genus occurrit, idest fractionum; in quo rursum , quemadmodum additio , subtractio , multiplicatio , atque adeo divisio ipsa peragendae sint , videndum . Quod statim exsequar , si consectariola prius paucula proposuero . Sed ante moneo signo α inter duas quantitates interposito significari, eas quantitates pro aequalibus poni. Quare si scriptum inveneris' intelliges quantitates duas a --b,& e haberi pro aequalibus ; si ΔΣetu , intelliges sta- a bctionem ς aequalem poni quantitati u . Sed iam consectariola, quae dixi, exponamus. CON-
18쪽
CONSECTARIOLUM I. SI quantitas quaevis a ponatur divisa per T, sic
, quotiens erit ipsa a; namque ipsa a ducta ilia denominatorem I, essicit numeratorema. Quare nulla est quantitas, quae haberi non possit, tamquam fractio , cuius denominator si I. Si ponatur a divisa per a , sic I; erit quotiens pars dimidia quantitatis a; haec quippe bis su m-pta , idest ducta in denominatorem et, facit numera. torem a , Pari modo erit I pars tertia ; Δ pars quar-
CONSECTARIOLUM ILSI numerator fractionis per quantitatem quamlibet
multiplicetur, per eamdem multiplicabitur et quotiens. Exempli gratia . Sit fractio eiusque quotientem fac esse q. Si multiplicaveris numeratorema per i , ut fractio evadat F , multiplicabitur quoque q per l, eritque q t quotiens fractionis V . Quod
se ostendo. . Cum q sit quotiens fractionis erit bρ - Gbqt ar ; ergo qt, ductus in denominatorem b, aequalis est numeratori at; est igitur qt qu tiens
19쪽
I3tiens fractionis . Quod erat ostendendum. bQuotiens igitur, seu potius fractio ipsa quid enim est aliud fractio ipsa nisi quotiens' per quantitatem quamlibet multiplicabitur , si modo numerator tantum fractionis per eam multiplicetur . Quamquam de fractionum multiplicatione alius erit dieendi lo
SI in fractione cum numerator , tum denominator per eamdem quantitatem multiplicentur, quotiens bdem manet. Exempli gratia sit fractio I-: eius quo. otientem fac esse q. Si multiplicaveris cum numeratorem a , tum denominatorem b per l, ut si actio e
vadat erit adhuc q quotiens fractionis E. Quod .se ostendo, a Cum q st quotiens fractionis - , erit bq' a. ergo b qimat. Igitur q ductus in denominatorem , t aequalis est numeratori a t: ergo q est quotiens
fractionis Quod erat ostendendum .
Tibi ergo idem erit ρο- , quod ; idem enim
20쪽
Hinc artificium ductum est , vulgo notissimum , t educendi fractiones ad eumdem denominarorem. Habeant stactiones duae denominatores diversos, uti& dia: si in utraque seactione tum numerato
rem, tum denominatorem multiplicaveris per denominatorem fractionis alterius, illas scilicet in has conia ad b evertes: - , - , quae sane ab illis nihil disserunt ,
habentque ambae eumdem denominatorem bd. Si edicuntur fractiones ad eamdem denominationem reis duci. Sed iam quo modo in addendo , subtrahendo , multiplicando , atque etiam dividendo fractio quaeque tractari debeat, si ve cum fractione altera proponatur, sive cum quantitate integra , videamus. Quamquam de integris minus est laborandum; nulla est eis nim quantitas integra, quin per I possit dividi, tractarique tamquam fractio. Ubi ergo de quantitatibus fractis exposuero, nihil te integrae morabuntur. De additione O subtractione fractionum. FRactio stactioni addi potest, vel subtrahi duobus modis. Primum si alteram adscribas alteri, de signis nihil mutans , si vis addere; si subtrahere, sinum mutans vel numeratoris, vel denominatoris in ea fractione , quam subtrahis. Igitur fractioni addes hab