장음표시 사용
21쪽
ctionem I, scribens H L; subtrahes scribensa o d
Modum alterum sic emplico. Fractiones propositae vel habent ambae eumdem denominatorem, vel
non. Habeant primum eumdem , uti I, &T. Sih ohanc illi vis addere, numeratorem numeratori ata de , ac summam divide per b, set f; si subtrahebre, numeratorem numerptori subtrahe, ac disserentiam divide per sie S g.
oQuod si fractiones propositae diversos habeanti denominatores, uti ; eas prius ad eamdemo ddenominationem reduces, tum ea, quam modo dies xi, ratione addes, vel subtrahes. De multiplicatione fractionum. AR actionem per fractionem multiplicabis, si pones productum numeratorum divisum per productum denominatorum , verbi gratia Per ἱ- , si pones. ae o d; cuius praeceptionis haec ratio est. Fac quotientem stactionis esse q ; fiactionis o d. esse l. Illam per hanc multiplicare nihil aliud erit,
22쪽
nisi multiplicare q per l, idest ponere q t. Atqui hoe - ί siquidem fractio-o dipsum ponis ponens fractionem ' ς
nis huius ta quotiens est ipse q t. Quod sic osten-
. . ' . a . Si est quotiens fractiones - , erit b ρ a. Si est i quotiens fractionis - , erit dira e . Ergo erit bqdi a c. aIgitur qt ductus in denominatorem bd aequalis est
numeratori ae . Est ergo qt quotiens fractionis . Quod erat ostendendum . De divisone framonum . Uod in uno exemplo proponam , Valebit in mnibus. Dividenda fit fractio-per fractionem - . Multiplica numeratorem illius a per denominatorem huius d; ac rursum denominatorem illius b per huius numeratorem ci ponens Consecta erit divisio. b c Cuius praeceptionis haec ratio est. Fac quotientem fractionis esse q; fractionis
in esse l. Illam per hanc dividere nihil aliud erit,
nisi dividere q per l, idest ponere - . Atqui hoc ad tipsum ponis ponens fractionem ' ; siquidem hujus ha- a d o . cctionis quotiens est - . Quod sic ostendo. b c t
23쪽
est i quotiens fractionis - , erit di me. Ergo erit a d t c bq; ac dividendo utramque partem per terit ad - u. I itur ductus in denominatorem
b e efficit numeratorem ad; ideoque est quotiensa dfractionis . Quod erat ostendendum . b c
Ilxplieatis fractionibus restat, ut de radicibus pauca dicamus. Unaquaeque quantitas in se ducta aliam eiscit. Haec illius quadratum ς illa huius radix, seu radix secunda dicitur. Numerus 3 ductus in efficit 9. Est ergo 9 quadratum numeri 3; numerus ipse 3 r dix , seu radix secunda numeri 9 Quod s numerus 9 ducatur rursum In 3 , quo fieta , dicitur 3 radix tertia numeri 2 . Ac si hic ipse numerus 2I ducatur rursum in 3 , quo fiet 8r , discetur 3 radix quarta numeri 8 r. Hoc modo ad quintam radicem procedi potest, ad sextam , ad alias atque alias. Hie de secundistantum agam ς namque in primis exercitatiunculis hae sere solae occurrunt; ac multum tibi proderit in his te paullulum exercuisse, antequam ad alias a
Expressa quantitate quapiam per litteras saep. quaeritur eius radix' eaque interdum se prodit arti-1.m. II. C ficio Dissiligo: by Gooste
24쪽
18ficio nullo. Quantitatis a a nemo non videt radieemessis a; quantitatis a abb esse a b; fractionis egea n o. At saepe accidit, ut nullo modo se prodat; ac
tum exprimitur, scribendo quantitatem ipsam , eique imponendo signum , , quod' signum radicate a inpellatur . Quare Ua exprimit radicem quantitatisa; t radicem quantitatis a .r; μ α radicem
Ηie illud animadvertas velim. Cuiuslibet quantitatis radix secunda quidem, nam de secundis tantum loquimur sumi potest vel positive praefixo fi-gno - , vel negative praefixo signo -; utrovis enim modo sumatur, in se ducta idem facit; namque pariter & a , & - a, in se ducta , facit a a . Quare etiam radicibus per radicate signum expressis & -- praefigi potest, & - , ad hunc modum, & - . a. Post hae radicem cum dixero , eam intellige , quae radicati signo expressa sit De radicibus tractandis. HIe iam , si exprimendi ratio spectetur, novum oritur quantitatum genus, idest radicum . Quae quomodo tractentur , non longum est dicere ; sic enim tractantur, uti quantitates simplices. Quare & cuia vis
25쪽
subtrahes, scribendo a- b. Neque minus id facies, si radix radici, puta radix a radici b, addenda st , vel subtrahenda; scribes enim a. Sic radices quantitates illas, quae simplices dicuntur, per omnia imitantur; quamquam habent alium quoque multiplicationis, divisionisque modum, de quo separatim est dicendum. Atque hic illud praestat animadvertere radicem quamlibet in se duci , eiusque quadratum fieri, radicali tantum signo sublato. Itaque i/q in se ducitur, eiusque quadratum fit, Ponendo εἰ ac fit qna dratum sit --u, ponendo ν- u. Quod ipsum per se est manifestum . De radicum multiplicatione .
SIt radix quaevis, puta q, multiplicanda per quantitatem quamvis t, sive etiam Praeter quam quod multiplicare eas potes, tamquam snt quantitates simplices , ac producta sic ponere: q-qisti est etiam alia multiplicandi ratio, quae generali hoc
Propositis duabus quantitatibus, quaecumque fuerint , a, & b; si illarum quadrata a a, & bb simul multiplicaveris, quo fiet aabb; tum huius producti radicem posueris; erit haec radix aequalis producto ipsarum a & b, nempe producto a. . Et sano radix producti a abb est ab . C a
26쪽
Propositis ergo & e, has etiam multiplicare hoc modo poteris . Ambarum quadrata ιν & r tsimul multiplica, quo fiet qιρ . Tum huius producti radicem pone V qti; erit scilicet haec radix aequalis producto r g . propositis similiter με & Ut; harum quadrata .&t smul multiplica; ac producti qt radicem pone q t Erit haec radix. aequalis producto siqέ t.
Ex hac. multiplicandi ratione duo. commi a proficiscuntur Primum litteras omnes, si voles, sub radicate sgnum coniicies: deinde radicalia duo signa. d. unum rediges
i De radicum dioi ηεS It radix quaevis ,. puta v q, dividenda per quantitatem quamvis r , vel sit i dividenda per Uq , vel etiam per sit; praeterquam quod dividere eas potes. , tamquam quantitates sine simplices, ac ponere , - ,- est etiaM aliae dividendi ra-ι , qtio, quae hoc theoremate, nititur . Dividenda sit quantitas quaevis per quamvis ultus: quadratum a a divide pet huius quadratum bώ, ponens ; tum huius fractionis radicem sume; b b, bo, erit haee radix aequalis . fractioni. - - . oSit ergo. tibi dividenda . q per a. Illius quadratum Diuitia eo by GO gle
27쪽
tum ρ divide per huius quadratum it, ponens α.
Sit rursum dividenda e per Illius quadratum it divide per huius quadratum q , ponens II Erit . aequalis. fractioni a. 'τ. qSit dividenda V q per V t . Illius quadratum q divide per huius quadratum t , ponens ta
Ηoc modo & litteras omnes , si voles, sub radicate signum coniicies, & radicalia duo signa in . unum colliges. Quae duo. quidem sunt commodissi
Haec fere sunt, mi Ratia suavissime , quae te in praesens scire volo; nam quae: abditiora. sunt, explanationemque postulant longiorem , ea partim ex usu, ac per te ipse intelliges, partim e scriptoribus. petes, qui ista fusius traictaverunt ad quos tamen accedas nolim , nisi te prius in his , quae adhuc tradidi , aliquandiu exercueris . Id quod perutiliter, ut spero , & magna cum voluptate facies; si iis perlectis, quae mox de proportionibus , ac de magnitudinibus per litteras exprimendis, breviter, & summatim disseram, ad theoremata demonstrandat te conis feres. In quibus ubi satis diu, versatus. fueris, . tum vero auct ne tibi sum. ut ad aleorithmi studium rursum te reseras, & quae praetermissa a nobis sunt H
28쪽
suis quaeque locis adiungas. Eritque id laboris sane perexigui; quae enim ante perceperis, sua ipsa sponte in memoriam redibunt; & quae nova erunt, faciliora multo videbuntur , quam ii suissent ab initio proposita . Itaque algorithmos istos, qui vulgo circumseruntur, quique omnia statim congerunt, ut dicam quod sentio , non satis probo ; videntur enim obruendis ingeniis iuvenum, quam insormandis apti res . Sed iam de proportionibus, quod ante pollicitus sum, tradamus. De ProportionibIII.
I Roportio est respectus , quem habet quantitas ad
quantitatem pro eo ut illam plus minusve continet. Numerus Io bis continet numerum s. Numerus o ter continet numerum 2. Numerus I bis continet numerum 3 , de praeterea unam eius tertiam partem. Hi omnes continendi modi proportiones dicuntur. Proportio dicitur etiam ratio . Quantitas, quae eousideratur ut continens ,& primo loco poni solet, dicitur antecedens; altera consequens; ambae termini rationi S. Dicitur ratio maior minorve pro eo ut antecedens plus minusve consequentem continet. Si bis continet, ratio dicitur dupla; si ter , tripla ; si quater, quadrupla de c. Si antecedens dimidiam tantum consequentis partem continet, ratio dicitur subdu-
ola; si tertiam , subtripla ; si quartam , subquadrupla Si
29쪽
si rationes plures propositae fuerine, verbi gratia: a ad e ad e ad si ratio illa , quam habet productum omnium antecedentium ace ad productum omnium consequentium bH dicitur composita ex rationibus illis omnibus , a ad ι , c ad d, e
St. propo fitae rationes sint tantum duae , eaeque inter se aequales, ut si quis proposuerit a ad b, ac rursum a ad b ; ratio composita , quae erit utique a a ad b , , dicetur duplicata rationis a ad Quo intelligis, rationem duplicatam rationis a ad , nihil esse aliud, nisi rationem illam, quam habet quadratum a a ad quadratum b b . Quod si propositae rationes tres fuerint, eaeque inter se aequales, ut si quis proposuerit a ad b, tum rurium a ad , , tum tertio a ad ratio composita, quae sane erit a ad li=, dicetur triplicata rationis a ad h. Quo intelligis , rationem triplicatam rationisu ad b nihil esse aliud, nisi rationem illam, quam
habet cubus a ad cubum b3. Antequam ultra progredior, unum praestat unimadvertere: si quantitates duae li, e aequales fuerint, eamdem utraque proportionem habebit ad tertiam quamvis a ; ac tertia quaevis a eamdem habebit proportionem ad utramque. Et vicissim, si tertia quaeis vis a eamdem habuerit proportionem ad utramque& e; sive utraque b,& e eamdem habuerit proportionem ad a , oportebit b, & e aequales esse . Quod, vel nemine admonente, per se satis patet. De
30쪽
I Qualitas duarum rationum dicitur proportion
litas, sive analogia. Earum termini , ex ordine positi, dicuntur proportionales. Sit ratio a ad/aequalis rationi e ad d . Quantitates a, b, c, hoc Ordine positae , dicentur proportionales; idque scribendo sic exprimes a , b ::e, d; degendo autem dices: a est ad utic ad Antecedentes a , & edicuntur termini inter se homologi; nee non & consequentes b , & d. Perispe accidit, ut consequens primae rationis idem sit atque antecedens alterius, ut si quis ponata , b : : b, c . Tunc proportio continua dicitur ; ac tres illae quantitates a , b, e dicuntur continue prOportionales ; b quidem media proportionalis inter ιτ,& c; e vero tertia proportionalis Post a, de b. Quod si consequens primae rationis differt ab antecedente alterius, ut cum ponitur a , bet: c , d, proportio discreta dicitur.
Illud porro manifestum est. Si est e, d, erit etiam - α L ; & contra s est - α - , erito a b d
etiam a , b r: e, d. Sed iam theoremata duo, quae maximo usui sunt, evonamus Th. I. Si a , b:: e , d; productum extremorum a& d aequale est producto intermediorum , de e. Quod sic ostenditur . Si a, b: c, d; est sane Iam, d