장음표시 사용
41쪽
Si ergo hoe rectangulum feeeris, tum diviseris per et, expressam habebis magnitudinem trianguli A B C. Stealtitudo A T in a . Basis B C ra , . Erit rectangulunimab; ac triangulum ABCi l. Quod si hoc triangulum cum altero D E F Fig. 3. comparare velis, cuius altitudo D c; basis EF m d ; habebis sane triangulum A BC irriangulum D E - - . Quare cum sit - ad -, uti a b ad ed; diuic facile traducentur theoremata illa, quae supra in rectangulis explicavimus. De magnitudinibus proportionalibus exprimendis. magnitudines quatuor proportionales sint, at primam expresseris per a , secundam per b, tertiam per e ; quartam exprimes per productum secundae Ses e tertiae divisum per primam s nempe - . Et est sanebe a
Si magnitudines tres fuerint continue proportionales ; primam autem expresseris per a , secundam per b; tertiam exprimes per quadratum secun-
Quod si e tribus primam expresteris per a , ter E a tiam
42쪽
t tiam per e; secundam , idest mediam proportionalem exprimes per radicem illius producti , quod fit multiplicando primam per tertiam; nempe ac ἀ, Eit sane a, ac :: ac , ς ,
Atqui scire convenit, quae proportiones in geometria, quibusque in locis occurrant; quod si nescias; frustra erit, quo modo per litteras exprimendae sint, cognovisse . Ne id autem aliunde tibi petendum sit, digrediar paululum, ac praecipuos quos dam sontes monstrabo , unde proportiones in geome tria. ducuntur sere Omnes.
De Aurar rectilineis semilibus ia
dicentur similes , si duas habeant conditiones: pri- . mum si anguli unius aequales sint angulis alterius, singuli singulis, ut si aequales sint A &a, B CS e &c.: deinde si latera , aequales angulos comis
prehendentia , sint pro potiionalia; ut si sit AB ad B C ut a ad b e ; & B G ad C D , uti ad&c. Harum conditionum si alterutra absit, figurarum similitudo nulla erit. Q tamquam triangula hoc habent proprium , ut si una adsit, altera abesse non possit ;quod statim ostendam , si duo theoremata Prius PO suero, tamquam lemmata . LEm Disitiroc b o uli
43쪽
parallela ad B C , secansque latera Α Β , A C in D& E . Dico esse AD , DB:: AE,EC. Ut id demonstretur, ducantur rectae E B , D C.
Duo triangula D E R, DE C. erunt sane aequalia , ut quae super eadem .hasi D E constituta sunt, interque eassem parallelas DE, BC; quare eadem erit tri anguli A D E ad utrumlibet ratio . Atqui ratio trianguli A DE ad triangulum. DBE est ratio basis Α D ad basim. D B; quippe ambo haec triangula aequalem habent altitudinem . ac pari de causa ratio. triangit lx A D E ad triangulum DC E est ratio basis
Α E ad basim E C : ergo ratio AD ad D B eadem est, quae Α L ad. E C ; estque A D, D B:: A E , E C..
44쪽
in Η. His positis eum sit BFαD A , sitque angulus B aequalis angulo A DE, & angulus BFH aequalis angulo Α , erunt triangula A D E, F B H omnino aequalia e BF DA, & BHαDE. Atqui
est B A , BC:: B F, B H ex coroll. Lem. I. , ergo B Α , B C:: D A , DE. ine. d. Scholion. Constat iam , si in triangulo ABC -ς. D Ε, parallela ad B C , si eansque latera AB; AC in D&Ε, esse duo triangula ABC, A DE plane similia , namque & habent angulos singulos singulis aequales, ut patet; &latera circa aequales angulos proportionalia esse , esuperioribus lemmatis satis liquet.
angula; sintque, anguli aequales Α &P, B&χ, C& R. Dico ea esse similia . Ut id demonstretur, sumatur in A B tractus Λ V α P λ; ducaturque V T parallela ad B C , secansque A C in T . Cum sit A Um PQ ,& angulus A aequalis angulo P ς & angulus A v T aequalis angulo B , idest angulo Q ; erit triangulum A V T per omnia aequale triangulo PQ R. Atqui triangulum. AUT simile plane est triangulo ABC; ergo etiam triangulum P Q R. e. d. EO
45쪽
SInt triangula duo ABC, Pse; habeantque latera lateribus proportionalia ; sit A B, B C :: P Q , Q R , & B C, C A:: R., R P . Dico ea esse s mi
Ut id demonstretur , sumatur in AZ tractus A v m P Q , ducaturque u T , parallela ad B C, se-eansque AC in T. Cum sit AB, BC::Αv, VT; neque minus sit A B, BCPQ , Q R; sit autem A V m P Q erit sane etiam v T - Q R ; quod mR- nisestum per se est. Pari ratione ostendetur ATMPR. Erit igitur triangulum AVT aequale per omnia triangulo P Q R . Atqui triangulum AVT smile plane est triangulo ABC; ergo etiam triangulum P Q R. 4e. d.
THEOREΜA III. SInt triangula duo ABC, P λ; fitque angulus
A aequalis angulo P; ac praeterea sit A B, AC:: P in P R. Dico triangula ABC, P Q R esse similia . Ut id demonstretur, sumatur in A B tractus A V m P Q , ducaturque V T , parallela ad B C , se eansque AC in T. Cum sit AB, AC r: AV, AT; sique etiam AB. AC. : P P R ; erit A v, ' T:: PR, PR. Eit autem Avm P E ergo etiam ATMPR; quod minifestum per se est. Erit igitur triangulum A v T aequale Hr omnia triangulo P Q R. Atqui tri
46쪽
angulum AVT simile plane est triangulo AB C; ergo etiam triangulum PAR . e. d. Atque haec quidem sunt capita , unde propo tiones in geometria oriuntur prope omnes. Ad denominandi rationem revertor
De industria in eaptandis denominationibus adbιbenda. ΡRaeterea , quae adhue diximus , quaeque in ponem dis denominationibus servari oportet, erit etiam inisdustria , haud sane magna , adhibenda , sed tamen non nulla ; cuius rei exempla duo afferam , quae &idipsum ostendent, & posthac etiam usui erunt. Exemplum I. Sit triangulum rectangulum AB C.
cathetum AB denominaveris a; cathetum ACb; . hypothenuis denominationem sic erues. Erit sane catheti A B quadratum maa; catheti AC rabb. Igitur summa a a --bb aequabit quadratum hypotenusiae BC. Erit ergo hypotenula B C a -- ob . Quod si hypotenulam BC expresseris per cathetum ΑΒ per b ; catheti alterius A C denomina. tionem sic erues . Si hypotenuis quadrato a a demispseris eatheti ΑΒ quadratum, id est, erit sanoa a b b quadratum catheti alterius Α C. Erit edigo cathetus ipse AC a a-D O . Exemplum II. Sit tibi exprimenda aequalitas a
47쪽
Ies . Fac ergo ponas ΑΤ m a , T P b, ΒΗ m e , ae tum demum H v α - ; expressam iam habebis
proportionalitatem illam, nec non & triangulorum smilitudinem, & angulorum Α , B aequalitatem. De theorematum demonseratione.
IIII, , quae hactenus dicta sunt, iam te arbitror,
Ratia ornatissime, satis instructum esse ad geometriae theoremata quamplurima , nec non & problemata pertractanda ; quamquam , si me audies , non prius problemata attinges, quam te paululum in Theorematis exercueris. Quare de his primum dicam. Theorema est propositio, quae demonstrari possu- Iat; eaque vel in aequalitate duarum quantitatum con-sstit, vel in eo certe , quod ad aequalitatem quamdam spectat, de qua si constet, etiam de theorematis veritate constet. Id, quod in exemplis, quae post afferam , satis apparebit. Omne igitur studium eo referetur , ut de duarum quantitatum aequalitate perinquiratur ; quod facile erit, si quantitates illae , do quarum aequalitate agitur, fuerint rite denominatae; II. F nam
48쪽
nam denominatio ipsa, an illae aequales sint, an quid differant, facile ostendet, & quantum differant. Id
que etiam exempla illustrabunt Exemplis autem utar non reconditioribus & longe petitis, sed iis, e quibus pro postiones perdiscas geometris familiarissimas , maximeque necessarias. Ne inque demonstrationes in singulis theorematis absolvam; sed inchoabo, quas deinde absolves ipse . Neque breviores consectabor ut praeceptores plerique iaciunt; qui, brevitatis laudem paulo nimium studentes , eis legantias ex omni parte conquirunt .. Quos ego quidem laudare malim, quam sequi; nam, quod res ipsa me docuit , his , qui primum ad haec studia ingrediuntur, exercitatio Ientior longiorque plus pro dest, quam elegans sestinatio Sed iam ad theoremata, quae tibi exemplo erunt, veniamus. In quibus legendis ne quando haereas , iam nun moneo , me, ubi scripsero verbi gra-
tia ΑΒ, intelligere quadratum lineae AB; ae si 'scripsero A B κ C D intelligere rectangulum ex A Bducta in CD. Quod si numerum quempiam praefixero , intelliges quadratum , vel resangulum per eum numerum multiplicandum esse.