Opere di Francesco Maria Cavazzoni Zanotti. Tomo primo nono

31쪽

23 vero si huius aequalitatis pars utraque multiplicetur tum per b, tum per d , manebit aequalitas , exsistetque a d m. b c . ine. d. Id ipsum si trasseras ad quantitates tres continue proportionales, ut si propositum sit a, b r: b, c; invenies productum extremarum a & e aequale esse quadrato mediae b. Quippe erit ae α bb. Th. II. Si duo producta sunt aequalia be tu; eorum latera sunt reciproce proportionalia: idest latus quodvis is primi est ad latus quodvis i secundi ,

ut latus alterum ti secundi ad latus alterum e primi . Quod sic ostenditur. Cum sit bera tu; si huius aequalitatis pars utraque dividatur tum per l, tum per e, manebit aequalitas, exsistetque Ier

go erit b , t: : u, c . ine. d. Quod si alterum e productis quadratum sit, ut si proponatur bb tu, satis patet, lare t , : 2b, π, ideoque latera i , b, ti hoc ordine sumpta, esse continue proportionalia. Ex his duobus theorematis certissimam habes proportionalitatis notam , tum in quatuor quantitatibus , si productum extremarum aequale si producto intermediarum , tum in tribus, si productum primae& tertiae aequale sit quadrato secundae. Quae nota si absit, proportionalitas nulla erit.

32쪽

De modis quibusdam argumentanδ . SI quantitates quatuor, certo ordine positae , pr portionales sunt, proportionales quoque erunt , si aliter disponantur ; modo id ratione fiat. Hinc aliquot argumentandi modos invexerunt geometrae, quos etiam propriis nominibus distinxerunt. Primum . Si a, b ::c , d, recte colliges: b, a:: d, e , qui argumentandi modus dicitur invertendo; neque minus: a , c : : b, d, qui modus dicitur alternando.

Etenim eum sit a , b :: c , d, ideoque ad α be; ex his, quae paulo anto docui , licebit colligere b, a :: d, qneque minus: a , c b.

Denique si a , b: re, d , recte colliges, summama --b esse ad b , ut est summa e d ad 4 , nempe

a b ,b: re d, d. Nam cum a contineat b toties , quoties e continet d; si ad a adiungas unumb , ut fiat summa a b ; atque ad e addas unum d , ni fiat summa c--d, summa illa prosecto continebit b toties, quoties bπc continebit di eritque a- b, b r: e d . d. Et q ioniam ponendo br: e, potuit etiam invertendo poni: b , a :: d , e , idcirco licebit etiam

colligere : a b , ar: c d , c . inii alterutro ex his modis colligit, argumentari dicitur componendo . Tertio . Summae ac differentiae par ratio est. Quare si b:: e , d, recte colliges a - bib: re d. dς itemque a-b , a d ἰc , e. Qui argumentandi modu

dicitur dividendo. Est

33쪽

2 Est etiam alius argumentandi modus , quem VO cant ex aequo . Hunc sic explico. Sint series duae

Α , C, E &c., B, D , F &c. Sic semper procedentes, ut si A ad B , uti C ad D; & C ad I, uti E ad F&c. Recte colliges, esse primam A ad postremam ut est prima B ad postremam F, nempe A , E:: B , F . Etenim cum si ratio eadem inter A & B, quae inter C & D, & inter E & F &c. , erit sane eadem inter primam Α & primam B, quae inter postremam E & postremam F; eritque Α, B::Ε, F; & alternando A , Ε:: B, F. Iisdem positis recte etiam colliges, esse summam

omnium antecedentium A --C E &c. ad summam omnium consequentium B --D--F &c., ut est unum quodvis antecedens ad suum consequens , puta Ead F: omnino esse AH-C--E, BH-D- Fr: E, F.

Quod ostendere longius est , quam dissicilius. Ac primum cum sit A, B:: C, D, erit alternando A, C:: B, D; eritque pari ratione C , E :: D , F &e. Hoc posito cum sit A , C :: B , D; erit componendo Α- C, C::B--D, D; atque alternando ΑΜ-C, B D'. C, D. Cum sit ergo ratio C ad Deadem , quae E ad F, erit Α- C, B D:: E, F ; atque hic rursum alternando habebis iam A -- C ,

F; unde alternando prodibit illud, quod quaeritur: Λ -- C -- E , B q. D -- F: . E , F.

34쪽

Quaedam notanda .

MUlta sunt, eaque notatu digna , quae ad simplu

ces proportiones spectant , atque ab omni certo quantitatis genere abstractas. Horum p ucula attingam. I. Sint quantitates quatuor proportionales a , e , d ; nempe a, b z: c , d. Erit quarta d aequalis producto secundae & tertiae c, diviso per primam a. Nam cum sit a, b :: d , erit a d - be. Ac si utramque partem dividas per a , manebit aequalitas, , , e

II. Sint quantitates tres a, b, e continue pro portionales; nempe a, b r: b, e. Erit tertia c aequa qualis quadrato secundae b, diviso per primam a . Nam cum sit a , b : :b-, erit a e - bb . Ac si uintramque partem dividas per a , manebit aequalitas,

eritque a

III. Sint quantitates tres continue proportiona les a , c; nempe a, b : b, e. Erit secunda b aequalis radici illius producti , quod fit multiplicando primam a per tertiam c. Nam cum sit a, b :: b, c, erit b, i ae . Ac si utriusque partis radicem ponas b de a e , manebit utique aequalitas, eritqueb α ac . IV. Ratio a ad si tum a , tum b per eam. dem quantitatem t vel multiplicentur, vel dividantur,. manet eadem. Etenim est at, bi: a, b, neque

35쪽

bque minus L a, b; quippe est , in utroque ,

productum extremorum aequale producto intermedio

rum .

V. Si quantitates quatuor proportionales sint a , . b, c, d; nempe a, b ::c,d; proportionales quoque erunt ipsarum I otestates, si modo eiusdem gradus sint, eodemque sumantur ordine. Itaque erit a a, b b: :cc,dd, neque minus', b r: , d . Etenim cum sita, b::e, d, erit a drab e . Ac si utriusque partis quadratum effeceris, habebis a d m b e , unde , d ; si cubum , habebis d3 αzb Hunis de a , ι :: c , da . VI. Sint quantitates quatuor propoportionalesa, b: e,d; tum aliae cuatuor e , b ; si illae per has deinceps multiplicentur, producta quoquo erunt proportionalia ,. erit scilicet a e , b D: eg , db; ostendam enim esse ae db bfeg in hunc modum. Cum sit a , b::e, d, erit ad ra be . Cum sit e,fr: g, b, erit ebrati . Ergo erit a d e b b en , vel, quod eodem redit, aedb - bfς g. VII. Sit a, b Sit etiam i, cz: b, a, b, ti Irecte colliges, esse a,u::t,d, quae dici. tur argumentatio ex aequalitate perturbata . Etenim cum sit a , b : re .d , erit a d m. b c ; ac cum sit l, e :: b, ti, erit etiam t u b c . Erit ergo a d et tu ,& a , u zz t, d . De

36쪽

De inagnitudinibus , qua ingeometria considerantur, per litteras e rimendis ,

OΜnis geometria , quod tute scis, Ratia ornatissime , in magnitudinibus dimetiendis versantur; neque eas modo, ut singulae in se sunt , considerat ;sed connexiones etiam , quas inter se habent, copulationesque varias studiosissime consectatur, ut alias ex aliis colligens eo tandem perveniat, quo Vult . Ex illis autem connexionibus, copulat on busque, si paulo acrius inspectentur, nulla est , quae non ad additionem , aut subtractionem, aut omnino ad eorum aliquid, quae in algorithmo traduntur, referri possit. Persuasum est igitur multis, si magnitudines quaedam primae quibusvis litteris, ut libuerit, denominentur, magnitudines alias denominari sic posse atque exprimi, ut nexus etiam , quos vel ipsae inter se, vel cum primis illis habent, exprimantur. Si id recte fiat, geometricas res multo facilius per Calculos tractari posse confidunt, quam quomodo si veteribus tractabantur. Itaque mos a Cartesio prosectus universas iam scholas pervasit. . Videndum est nobis igitur , quemadmodum ma- agnitudines illae , quas geometrae contemplantur , nec non & earum partes nexusque omnes per litteras

possint exprimi ; quae quidem doctrina latissime patet, sed satis erit summa capita attigi sse . Quod antequam facio , illud moneo : ubi scriptum inveneris

A B m , sive CD m eH-b, seu quid simile , intelli

37쪽

ligas volo , magnitudinem A B denominari a , magnitudinem CD denominari e -- b. Quo fiet noria. ses obscurior, sed scriptio brevior. De magnitudinibus earumque partibus exprimendis.

JBi magnitudinem quampiam per a expresseris; si aliam ipsit aequalem velis pomere , hanc quoque pera exprimes; si duplam, per a a; si triplam, per 3 a . Quod si, partem illius dimidiam. velis ponere ,

nanc exprimes per - si terciam per- &c.

Iam vero magnitudinem posueris e duabus , pluribusve coalescentem , earum vero, e quibus coalescit, unam per a expresseris , alteram per tertiam per c. totam , quae ex his coalescit, exprimes per summam a --b -c . Quod si magnitudinem diviseris in partes plures, . puta tres, eamque , quam divisam habes , denomin veris a; ac partem unam seceris b, partem alterame, erit tibi pars reliqua denominanda a-b c., Atque haec quidem reconditum nihil habent.. De rectangulis exprimendis .

DE scriptio rectanguli multiplicationem quamdam . continet, quam sic explico . Sit rectangulum A C , cujus latera AB, BC. Si linea Α B. sibii

38쪽

perpetuo parallela, procedere intelligatur per totam B C; ea certe videbitur toties repeti, quot sunt e- .lementa lineae BC , quotcumque demum ea sint,&qualiacumque ; videbitur ergo multiplicari per lineam B C. kt quoniam in illo incessu conficiet utique spatium rectanguli A C ; idcirco illius multiplicationis productum censebitur esse rectangulum ipsum A C. Igitur si latus Α B denominaveris a , latus B Crectangulum ipsum AC denominandum tibi erit abi ex multiplicatione scilicet a per b. Et quoniam sumi potest A B pro altitudine, sumpta B C pro basi; idcirco passim dicitur rectangulum exprimi multiplicando altitudinem per basim . Hinc statim theoremata exsistunt nonnulla, quae in geometria praecipua habentur; neque praetermittenda. Sint duo rectangula A C, D F. Illius altitudo A Bia. Basis B Cm b. Alterius altitudo D Eme. Bass E F l. Ex his , quae modo dixi, erit sane rectangulum AC:α ab . Rectangulum DF i. ed. His positis siestatuo. Primum. Ratio rectanguli A C ad rectangulum D F est composita e duabus rationibus: altitudinis

A B ad altitudinem D E , & basis BC ad basim E F;

nam est utique ratio ab ad c d composita e duabus rationibus a ad e , & b ad d. Secundo. Si duo rectangula A C, D F sint magnitudine aequalia , erunt altitudines & bases inter se reciproce proportionales; & vicissim . Nam utique, si sit a b - e d , erit a , e : :d , b . Et vicissim si st

39쪽

Tertio. Si altitudines amborum rectangulorum aequales inter se fuerint, erunt rectangula ipsa inter se , uti bases; ac si bases aequales fuerint, erunt rectangula ipsa inter se, uti altitudines. Etenim si altitudines a snt aequales, erit utraque a; e-xitque rectangulum unum m a rectangulum alterum m. a d . Est autem a b ad a d , uti b ad/, idest uti basis ad basim Pari modo si bales , α snt aequales, erit utraque 'bῖ eritque rectanguium unum ab , rectangulum alterum eb. Est autem abad e b , uti a ad e, idest viti altitudo ad altitudi

nem .

De quadrato. Non est dubium , quin, quae de rectangulo comis' muniter diis a sunt, ea in quadratum quoque conveniant . Sed quoniam quadratum ambo latera A B,& BC habet aequalia, ideoque eodem modo denominanda; hoc illi erit proprium . Quomodocumque latus unum expresseris; si expressionem hanc in seduxeris, magnitudinem quadrati expressam habebis. Fac latus B Cma; Fig. 2.9 erit magnitudo quadrati

Quo illud etiam facile intelligitur. Quomodocumque magnitudo quadrati expressa fuerit, exprimetur latus per huius expressi cnis radicem . Magni ludo quadrati sit inaa; latus erit m a. Magnitudo quadrati sit mat; latus erit zzz at, nempe ealia . II. E nea,

40쪽

nea , quae in se ducta Efficit magnitudinem a r.

Iam vero si quadratum suerit aequale rectang Io , puta a a mcd, erit sane c, atra , d; nempe latus quadrati a medium proportionale inter latera rectanguli e de d. Et contra , si fuerit Iatus quadratia medium proportionale inter latera rectanguli e & d, nempe a : : a, d ; erit procul dubio quadratum aequale rectangulo , idest aa cd. Atque haec ex ith quae supra diximus, manifesta satis sunt. De parallelogrammis exprimendis .

SIt parallelogrammum AC; basis BC; altitudo B T. Fig. 3. Non est dubium , quin parallelogram-mum AC magnitudine aequale sit rectangulo TC. Si hoc ergo ex pretaris, multiplicando altitudinem B T per basim B C, eo ipso expressam habebis magnitudinem parallelogrammi A C . Sit parallelogramis mi altitudo TB M a, basis BC α ι . Erit tibi para telogrammum ipsum AC m ab . Atque huc facile theoremata illa transseruntur, quae paulo aute in rectangulis demon stravi mus. De triangulis exprimendis is

do AT. Non est dubium, quin si rectangulum fiat, multiplicando altitudinem AT per basim BC, huius rectanguli dimidia pars sit triangulum ipsum AB C.