장음표시 사용
11쪽
xvii.li. eiusde vi. el. Eu. quadrat' ipsius e h.est aequalis eiquod fit sub i h. li iurectangulo quod a iam ostensa aequale est ei qlfit sub g L f h.rectangulo quadratus igit ipsius e h. aequalis est ei quod fit sub g L f h. rectagulo.At per constructione s naxis Iatus est rectum parabols d e Latm ad idem latus rectum ab M signo paraboles de Le h.structim deducit. Ergo si a parabola recti rectanguliin coni ad ipsius paraboles axem structim acta ceciderit & reliqua ut supra quod oportebat demonstrare.
Si a recti rectagulit coni parabola sit ad ipsi' paraboles axem structim deducta
cadens extra latus rectu erit quadras
t tum structim deductae ei aequale resctangulo quod fit sub recto latere ais V ea axis portioeque structim deduς cte atq; paraboles fastigio adiacet. Sit igit in rectans gulo recto con a b c d. paraboled e f. cuius axis fgre a d. signo strinctim acta sit dg.secans axem paraboles super g.signo.Et latus rectum eiusdem parabolae sit e h. qi per diuinitione sexta consterminae axis particulae s h.semper est squale. Hic quom obiter est notandum Q apud priscos geometras utram duarii e h. f g. recti lateris appellatione inuenit habere,ea potissima, Vtputo, rauoe quia sunt aequales. sed iam a digressione hac reuertendo ad institutu. Sit ab axe coni triangulus a b c.Dico itam cist quasdratus ipsius d g. sit aequalis rectangulo quod fit sub g s.fh. Intelligamus ita per e h. aliquod planum basi ipsi' coni a b c α
12쪽
parallelum secare eundem consi huius igit plani & trianguli a b c. ab axe coni c5munis sectio i h h. parallela est a c. subtenssae rectanguli trianguli a b c.Eiusdem dentin plani at inflexae seu conicae superficiei comunis sectio cst. i e h. circul' per quartum postulatu. Igit per propositione Xxxi. lib. iii. elemen.Et angulus i e k.rectus est. Et quia per diffinitionem sexta e h. ipsi i h h ad rectos existit angulos, ergo per corolariu octauae prosPositiois li. vi. ele.Eu.e h. media est proportionalis inter i h. h kAt e h. per dissinitione recti lateris,aequalis est ipsi s h ergo. f h. mediasportionalis est inter i h. h h. igitur per quartu conicum elementu quod fit sub a g. g c.rectangulu squale est ei quod fit sub g L f h. rectangulo sed ei quod fit sub a g.g c. rectangulo, aequalis est quadratus ipsius d g. Est enim a d c. circumferentia semicirculi ec per rpositione Xxxi. li. iii. ele. Eu. angui' a d c. res cstus est re per consuuctione d g. ipsi a c. ad rectos angulos, it quadratus ipsius d g. aequalis est ei quod fit sub g faxe paraboles θc recto latere fh.Sed ordinatim acta d g. per constructionere livpothesim in axem paraboles d e fcadit extra rectum Iastus s h. it. Si a recti re stagulit coni parabola ad eius axem
structim acta ceciderit extra latus rectum erit quadratu,&relis qua ut supra quod oportuit demonstrasse.
A recti rectangulit coni parabola
quarumlibet duarum structim actas rum quadratis ratio cst ut ratio eara quae sunt ipsis conterminae axis porationii. Sit igitur recti rectangulimconi parabol a b c d. cui' axis a e fg.in que structim actae sint b e. d g. dico igitur ψ ratio quadrati b e. ad d g.
quadratu,sit sicut e a. ad a g. Sit ergo Iatus rectum a L paraboles a b e d.Et quia per quin tu aut sextu conicum elementu,quadratus ipsius h e.qqua
lis est ei Q fit sub f a e.rectareulois
13쪽
digiter quadratus ipsius d g. aequatur ei quae sit sub g a. a Lareιolae rectangulae,sea per prima propositione li.Vi.el.Eu.rectangulu sub f a. a e. ad rectangulam areolam sub g a Cratione has het qua a e. ad a g. haec nam rectangula sub eade sunt altitus dine quae est a flatus rectum paraboles per constructione seu ex hypothesi.Ergo eisdem rectangulis aequalia quadrata ipsas rum h e. d g.rationem habent qua a e. ad a g. Igitur a recti resctangulim coni parabola dc reliqua ut supra quod oportebat
Data quae in cono recto θc rectangulo fit parabola eiusm axe
dato paraboles rectum latus dare. Sit ergo data recti rectanguli coniparabole ab c. cuius axis a d. vertexa.& ad axem a d. atq; ad datum in eo signu a. per propositione xxxiii. li. ele.Eu. constituat angulus rectiline'd a c. recti dimidio aequalis. θί ac. sescet parabolen a b e. in c. puncto a qad axem a d. ordinatim agatur c d. 5c quia in triangulo a e d,angulus a derectus est,ec e a d recti dimidius ex hypothesi, ergo per propossitione xxxii. li. I. eled u. angui' quom a e d. recti dimidius est. Quonia trianguli rectilinei tres interiores anguli duobus sunt rectis aequales. I scelis ergo est triangulus a e d. per proposistione vi.eiusdem primi lib. ele.Eu.Et quia e d. structim deducta ad a d. axem aequalis existit ipsi a d. Per dissinitione igit sextam seu recti in parabola lateris c d. seu aequalss a d.rectum est lare datae paraboles a b c.Data igit quae in cono recto ec rectangusio sit parabola 5c reliqua ut supra quod oportebat essicere.
Data recti rectangulit coni parabola eiusq; axe dato ipsum conum rectu ocrectangulu dare. Sit ergo data recti rectIgulimconi parabola a b. cuius axis a c. atm per elementu conicu octauum, rectum detur parabolae a b.latus in Q b c. ti per propo
14쪽
axi ad a. signu rectus construae angulus c ad . cuius planu recta
sit ad ipsius paraboles a b c. planu. Sit etia a d. recta linea squas iis ipsi a c. et conexa c d. ipsa ad
hilariam secet in e.& a d. in partes a .pducat V scp ad s. sic Q a Laequalis sit ipsi a e. atq; ad a c. parallelus agat fg. 6c d c. in parte c. producta incidat in f g. superg.signo. Et quoniam per costrusctione fg. acta est ad a c.igit persec Unda propositione li. vi. et . Eu.d c. adeg. est ut d a.ad a Est autem d a.dupla ipsius a figie dc d c.dupla est ipsius c g. Et saper propositione xlvii. lib.i. ele. Eu. quadra u ipsius d c. dupluest ad ipsi' ac. quadratu ergo ratio ipsius d e. quadrati ad ipsi'
a c. quadratu est ut d c. ad c g. Et quonia per corolariu .ppositiosnis xx. lib. vi. He. Eu. Similes rectilineae figurae ad inuicem in dupla sunt ratione,similis rationis latem. Igit ratio d c. ad c g. dupla est rationis ipsius d e. ad c a. Igit per dissinitione duplicatae rationis a c. seu aequalis bc.media proportionalis existit ined c. Sc c g. Et quia per constructione angulus h e d. rectus est. atm per corolariu Ppositionis viii. li. vi. el.Eu. angulus d b g.resctus est per imaginatione videlicet c5nexis d b. b g. Igiur per ὐpositione xxxi. li.iii. ele.d g diuidue secta in h, ct cetro h insteruallo aute d h. scriptus circulus d b g. ibit per b signu.Consiuncta deinde fh.Et quia angulus ad frectus est,atcp d Laequas lis ipsi fg. ergo Zc anguli ad h. recti sunt,et utera; duom angusioru qui sueer fg. sunt basi rectanguli trianguli t lig.dimidius est recti git partilis triaguli f h g. rixo fh. latere,ato eode parσticulari triagulo fh g. circumducto donec eo redeat unde mos ueri coeperat,ipse conu describet rectum re rectangulu per prinia diffinitione, cuius quide coiit basis est circulus db g. Ipse
dem l triangui' fg h.circvactione sua paulatim seu succesuus
15쪽
secabit parabolen a b. in omnibus suis punctis. Quod aute clasculus db g. basis existat coni circumactioe fg h. trianguli cons cetus liquet ex eo,quonia circulus db g. erectus cst, ad planutrianguli d f g.quia per constructione planu abc. erectum est ad planu trianguli d fg.Ex hypothesi aute angulus a e b.rcet' eu igitur b c.recta linea erigit ad planu trianguli d fg. per diffunitione tertiam ii. xi. et . Eu. planu ad planu rectu est&c.At Pla
nu 'rculis: isper b c. rectam, late per propositione
xum eiusde Ii.xi. ele. planu circuli d b g. rectu est ad planu ui anguli d t g. ergo idem circulus db g basis est coni,que partilis triangulus rectangulus fg h. sua circumactione descripsit. Igit d b g. conus datus cst dc rectus rectangulus Q in cuius conica Iuperficie parabole a b. data describit. Data ergo coni rectans gula Parabola, datur ξc conus in cui' conica superficie, eadem parabole describit quod demonstrasse oportuit.
A parabola recti rectangulim coni duabus structim dediictiscatis atq; inter ipsas axis segmento dato totus eiusde parabos Ies axis dabit. Sit ergo data p araboIe a b c. a qua structim decuetae B e. c d. at inter eas axis segmentu d e dentur dico v tostus paraboles aXis a e d. detur.Et quos nia per septimis elementum conicu rastio quadrati cd. ad quadratu ipsius b eest sicut d a ad a e. dirimendo igitur exscessiis quadrati ipsius e d sua ipsius b equadrato ad eiusdem b e. quadratu erit sicut d e ad e a. At ex hypothesi in hae
proportione tribus datis terminis ,quar. tuS terminus a e axis portio datur. Tos tus igitur axis a e d. paraboles a b c. da
tur. Ergo a parabole recti rectanguli , coni duabus ordinatim deductis datis. :reIiqua ut supra quod oportuit des imonstrare. Elemen.
16쪽
Data recta linea ad quam structim actae in parabola possunt aptam describere in dato plano parabola. Recta linea ad qua ordinatim deductae possunt alio nomine lat' parabolae rectu discit,per dissinitione texta. Pari ratione parabole ibi si ad deseris hendu proponitur ea est, ius in rectum rectangulum m conum incidit. Ad qua igitur structim actae possunt recta & data lineast a b. Et ipla a b. in quotlibet aequales secet partes a c.c d.d h. atin earu cuilibet squalis ad a b. in directu adiiciat b e. at in h. signo ipsi a e. ad rectos excitetur angulos b squae in partes fininfinitu sit .pducta,atin ipsa a e. diuidue secta i uper d.& d. censtro spacio autem a d. semicirculus scribat a s e. secans bc perspendicularem in s.signo.Rursus ipsi b e. aequalis adnangat e mcit tota a e g.qiis iteru bifaria secetur h. signo,quo centro,ato interual Io a h. Rursus semicirculus scribat alg. dispestes perpendiculare h ssust i. signo,aim in huc modu quotlibet ipsi e g. aequales indirectum adiiciant at semicirculi scribantur secantes perpendiculare b Lin singulis punctis vltra L punctum. a c d b is e
17쪽
Praeterea alia quaedam recta linea in subiecto assiimat plano ..h l in n. aequalis ipsi a b. existens, sim in partem n. infinita ha3 .hens partes h l. l m. m n.numero ec magnitudine aequales ipsis a c. cd. db partiis. Et sic deinceps in infinitu quotlibet assum; ptis partibus aequalibus atm per signa i mn, realia deinde coιmitantia signa ipsi h l m n. rectae perpendiculares agant, qUae in utramin parte ipsius k l m n. sint quoq; in infinitu raroductς. oc perpendiculari per t. actae utrinq; duae aequales ipsi h f. auferant sintq; l o.l p. Sic quom perpendiculari per m. ductae duae
rectae demantur aequales hinc quide m q. inde vero m r. sic, Vt
Vtrao ipsaru m q. m r. sit aequalis ipsi h i. perpediculari. Id fiat quousin libeat,& eisdem punctis,uelut o q p r.eX Vtrao parte ipsius k i m n. per rectas lineas iugatis descriptam esse qtis proponit parabola sic constabit.Esto igit k i m n. recta linea aequas lis ipsi a b. lateri recto dato.Et quia per constructione a se. semicirculus et 2 rpositione xxx l. li. iii. ele.Eu. angulus a se.rectus est,imaginatis videlicet seu per imaginatione ductis duabus rectis lineis a f se. igit a corolariu propositiois Viii.li. Vi.eorumdem ele. b fest media proportionalis inter ab.& he.Est autem
k n. aequalis ipsi a b. recto lateri dato & I o. aequalis ipsi b L perpendiculari oc k I. ipsi h e. aequalis. Igitur utraq; ipsaru l o. i p. media proportionalis existit inter k n. 5c k l. Igitur per propossitione xvii. lib. vi. ele. qae fit sublin. k l. parallelogrammis resctangulu aequale est ei quod fit ex l o. aut ex I p. quadrato. Persimila dentin argumentatione probabitur quod fit sub h n. k mrectangulu esse aequale.quadrato ipsius m q. seu aequalis rectae lineae m r. haud aliter idem ostendemus de reliquis perpendicularibus per puncta ipsius k n. productae actis. Igitur per couerssionem quinti aut sexti elementi conici inflexa linea q o k p r. conica est sectio quae parabole dicitur quaein in conu cadit rectilrectangulumq; qualem dato recto latere, nonu elementu conis cum docet costruere. Data igitur recta linea a b. seu aequali k n.
ad qua structim actae t o. l p.m q. m r. & reliquae structim actae possunt in dato plano descripta est parabola qo h p r,qst opors tuit effecisse. Obiter notandu est,quod quanto partes ipsius k n
18쪽
recti lateris arctiores assumunt,t1to verius proposita paraboIescribetur. Veru quaeuis recta linea iugans proxima qusin duo puncta ab inflexa paraboles particula, quae eisdem finit punιctis paru admodu ac penitus insensibiliter differt. Praeterea nostandu est Q paraboles portio quae fastigio proxima existit moι dico ae pene insensibili distat interuallo a circumfercntia eius circuli,qui scribit super centro puncto existente mediae diuisionis lateris recti at* spacio medietatis eiusde recti lateris,uelut id manifeste liquet ex subiecta descriptione.
tum circulu suscepto duae resctae agatur lineae altera quide ad centru altera Vero tangens eundem circulu, atm ab ipso contactu supra deductam ad centru perpendicularis agat erunt deducta ad ccntru et sesmidiameter circuli atq; ad centrum deductae particula, quae centro ec perpendiculari adiacet continue proportionalis. Esto itaq; datus circulus a b. cuius centru c. atq; extra circulii a b. sussceptus vicum N punctus d. a quo ad c. centris quidem conectat recta linea c d. lecans circulu a b. st per a tanges aute a b. circus
tum super h.signo sit acta b d. Rursus a d. cotactu super c d. perpendicularis sith e. Dico Q c d. deducta ad centru c. ec semidia meter a c. circuliab. ato ce. sint continue proportionales.Coniungant itam b c. Et quonia per propositione X Uii.li. iii.ele. ansgulus c b d. rectus est,atq; anguli ad e. signis recti per distinitio. nem perpendicularis .Erit igitur Vt c d. ad b c. sic b c. ad c e. Ipsa
autem a c. aequalis est ipsi bc. utraq; enim centro circuli a b. Tres igit rectae lineae c d.deducta ad c. centrum circuli a b. at eiusdem circuli diameter a c. 8c e c. sunt continue proportionas
Ies. Si igitur ab aliquo puncto extra datu circulu oc reliqua ut supra quod oportuit demonstrare. Corolarium
19쪽
Hine etiam patet quod tres rectae lineae e d. a e.e. e. sint. contis nue proportioales iuxta ratione ipsius a d. ad a e.Nam per prospositione xix. li. U. ele. Eu. Sicut tota e d. ad a c.tota sic ex e d. ablata a c. ad c e. sublata eX a c. Igitur reliqua a d. ad a e. reliquaestiicut tota c d. ad a c. totam. Tres igitur rectae lineae c d. a c. c e. continue sunt proportionales secundu rationem ipsius a d, ada e, at* ita corolarium existit manifestum.
Si ab aliquo puncto extra datum circulu suscepto ad eundem circulu duae deducantur rectae lineae altera ad centrualtera circulu tanges, a costactu supra ad centrum dedu dctam perpedicularis agaturaim a puncto in circumferentia eiusdem circuli vicum assumpto duae rectae conium gantur lineae, altera quidem addictum punctum extra circuIu altera vero ad terminu dictae perpendicularis erit earundem a circumferentia dati circuli desductaru ratio,Vt rectae lineae qus in deducta ad centru circuli asssumpto extra puncto Bc circulo adiacet ad eam rectam quae eosdem circulo atin praedicta perpendiculari comprehenditur. Manentibus itaq; eisdem subiectionibus 8c figuratione praeces dentis elementi in circumferentia circuli a h. suscipiatur ut of signum a quo conectant d fe cdico ratio ipsi' d L ad fe. sit
sicut a d. ad a e.Connectatur ergo e f& quia in duobus triangulis e d se e f. t atera circum comunem angulu e c f. sunt proporationalia,Nam p praecedens et ementu ut d c. ad c f. sic e f. ad c e. Igitur duo triangula cd se e L simi aequiangula per positionem vi. li. Vi. ele.Eu. 5 anguli aequales quibus .pportionalia subtenduntur latera. Igitur ut e f. ad e e. sic d fad e f. sed ut c f. ad e e. sic a d. ad a e. per Corolarium praecedentis elementi conici,
20쪽
allo praeter L puncto connexae ad de.duae rectς lineae rationem habeant quae ad. ad a e.Si igitur ab aliquo puncto mira datum circulu suscepto oc reliqua quod oportuit demonstrasse. Corolarium. Hinc etiam perspiculi fit Q coniuncta a f. bifaria secat anguluc fd. ita ut angulus a f. . sit aequalis angulo a s e. Nam ut osteris sum fuit ut d Lad e f. sic a d. ad a e. Igitur per secunda parte teratiae propositionis li.vi.el Lu. recta a fdiuidue secat e s d. angusium. Idem costabit de omni angulo facto,si ab aliquo signo in
circumferentia ab. sumpto adde. signa duae rectae lineae cono nectant.Ergo Corolarium manifestum est.
In dato cono per linea rectam a conivertice actam ad basim planu agere tangens eundem conis. Sit ergo cosnus ab c d cuius basis circulus a e d.
Sitin coni a b c d. vertex b. a quo ad hasim ac d . ad eius circumfercntiam ac d.in signo d.Connexa sit b d. linea quae per prima postul atu recta est existens in conica superficie coni a b c d propositui sit per rectam linea b d. Planu agere tangens conica super fiscie coni a b c d. super recta linea h d. Igitur per d.signu recta linea agatur d e. tangens circuserentia a c cisuper d.Perspicuu itam est Planu in quo duae rectς lines h d. d e. deducunt,tanget conica luperficie coni a b c d. super recta linea b d. Ipsae namcp b d.d e. rectae lines in eodem consistut Plano per propositione li.xi.el. Eu. Igit in dato cono pre linea rectam ad circumferentia basis a coni vertice actam h d. dedascitur planu b d c.tangens inflexa superficiem coni a b c d. super bd.recta linea quod oportuit efficere. Corolarium