장음표시 사용
21쪽
eam superficiem super data recta linea, idem pi anil tanget etiaomnem inflexam linea quae in conica superficie dc scribit secas dictam recta linea, 5c erit comunis sectio duaru linearu rectae ec inflexae signu contactus.
Ad inflexam linea datae eonicae cuiusuis sectionis in dato pumcto tangente rectam linea agere. Sit igit in dato cono a b c d. cuius hasis circulus a c d . conica quaeda sectio qualis in f gh. at super inflexa eiusdem sectionis lunea fg h. datii punctum ii.per que oportet agere recta linea quae tansgat eandem inflexam linea fg h. inli signo. Igit avertice b.coni a b c d per idem punctum ii producatur recta linea blid. secas coni basim in eius circumferentia super d. signo ec per h h d.conicae superficiei coni a b c d. pl anu, b d e. applicet, tangens eande conica superficiem super b h d.recta linea, per xiiii. eslementii conicii Atq; plani in quoessistit sectio fg h, at piam h d e. comunis sectio sit li P. Et quia recta It h. sectio comunis eorundem planoηr solis h. punctum comune habet cu inflexa lis ne a fg h. Igitur per dissinitione oc per corol ariu praecedetis eles menti conici h k.recta laget inflexam linea fg h. super h.signo. Igitur ad inflexam linea conicae sectionis fg h.per signum h.datum,tangens recta linea acta est quod oportuit efficere.
Si in dato signo,quae in rectum rectangulumi cadit conu paras holen recta linea tangat eadems tangens & paroboles axis in easdem producant partes quousin cocurrant,erit producti axis Pars exterior,quae paraboles vertici dicti*concursus signo adiacet aequalis et axis portioni, quae eidem paraboles vertici ec
22쪽
a eontactu structim actae interponitur. Sit igitur data paraboIeah e. qualis proponit cuius axis a d. Et ipsam parabolen a b c. tangat recta linea e c. super c. signo,Et c Qtingens aris Q ad. φιducti in partes a. coincidant super e. signo at yex colactucisua paraboles axe a d. structim acta sit c cidico*ad. sit qualis ipsi a e. Et quia ex hypo theli parabole data a b e.cas dit in conii rectu rectangustum, Igit& ide conus datur
vertex h. axis d h.basis sc g. Et ab axe coni triangulus litfg h. secas planu acd. super Paraboles axe ad. ad rectos angulos .Erit itaq; fcg.circus ferentia semicirculi. nexa dentin ch.crit super inflexa superficie conifcg la. Sit autem primu c g. periseria dimidiu se micirculis c g. seu quadrans totius circumferentiae circuli,uta subiecta habet figuratio igitur a signo c.ordinatim deducta casdit in recentru circuli sc g. Erit ital planu trianguli c d h. eresctum ad duo plana trianguli videlicet fg h. ab axe coni & cir culi s c g. per propositione Hiicli. Lele.Eu.oc per c h. rectam Iineam planu agat e e h.tangens f c g h. conu super e h. recta, per ele. conicv xiiii.denio plani circuli sc g. atin conum s c g h. tangentis plani cel .c6 munis sectio sit c i. quae etia erigitur ad Diana trianstuli c d h.Nam c i. per constructione tangit circuluplanu triangulis c g.in c. signo & c d.deducta est a centro d.ad c. contactum paraboles per propositsone XViii. traii.ele.Eu. Ex hypothesi desnim rectus in angulus c d g. paralleli igitur sunt c i. dg. Igitur sicut d g. erigit ad plana trianguli c d h, sic c i, Ergo per prcinoositione xviii.lcxi.ele. Eu. Conu f eg h.tangens planu erigit ad
23쪽
velut patuit et II erigitur ad trianguli e d h.plana. Igitur eiusde. trianguli fg h.ab axe eoni atm plani c e h. comunis sectio e h.
ad planu eiusde trianguli c d h. erigit per xta. propositione eisusdem li. xi.ele.Eu.paralleli ergo sunt ci. e h.per propositione vi. eiusde li.xi.ele. Eu.Atqui c i. parallelus quom existit ipsi dg uti patuit ergo et e h.parallelus est eidem dg. Et quonia c e. per constructione tangit parabolen ab c. in c. signo.&e. signucos mune est plano e c h. ct plano fg h.trianguli ab axe coni. Uice. signu necessiario constituitur in comuni sectione e h. ipsorii plano v fg h. ct c h e.Atqui velut patuit e h. parallelus est, ipsi rig.igitur per P positione XxiX. li. i.ele.Eu.angulus a li e. aequast lis est ag d. angulo, igit etiam aequalis angulo a li d. anguli des nil ad a. recti sunt, at v duobus triangulis a e h. a d h. c5mune latus a h. Igitur duo triangula a d h. a e h. sunt aequilatera, perrpositione xxvi. lib.i. cle.Eu. Et quia latera sunt aequalia, quae aequalibus si tendunξ angulis,ergo ad. squalis est ipsi ae. Igitsi in dato signo qus in rectu rectanguluΦ cadit conu parabolenec reliqua ut supra ql oportuit demostrare. Sinaute c g. ess
g h. comunis sectio est Ii I.recta. igitur e. simu necessario consstituit sup h i.recta linea. niungat deinde c d.structim acta, A ex hypothesi alch a constructione ad rectos est angulos ipsi fag.dimetienti. Et si ab axe coni triangulu f h g.subiectu fuerit in eode plano circuli fe g. erit h. punctus super circuserentia sc gδptcrea V angulus f h g.rectus est, ct fg. subtensa, dimetiens h
cumferetia quadrante misnor extiterit. Igitur planutangens conu scg h. superh cirecta linea coincidet cudimetiente fd g. in partes g producto. incidat itam super i. signo. Conexaqi h ineccst ario meabit per e. si gnu. Nam dicti plani quod tangit conu super l, c. recta atqi plani ab axe trianguli
24쪽
circuIi sc g. Connectat deniq; dg. Et quia e i. tangit circulum c g. super c. oc ex c. ad fg i. per centru circuli actam ad rectos angulos cd. agit. Ergo per superius ostensa clementa conica duo anguli d h g. Sc g h i. sunt squales,Et quia per constructiosnem anguli ad a. sunt recti.& duobus triangulis a I, d. a h e. lastus comune a h. Igitur duo trianguli a d h. a h e. sunt aequiaguli& aequilateri per ρpositione xxvi.lib.i. ele. Eu. Ergo ad squas is est ipsi a e. Si igitur in dato puncto θc reliqua ut supra. At si e g. circumferentia,circuli quadrantem exuperet, erg c i. secabst dimetiente fg. in partes f. productum. Rursus ita mperspicuu fit l, i.d a. rectas lineas in partes a h. productas coimcidere inuice ad eundem e. punctum, nisi quispia velit asserere' eadem recta, eandem recta linea induob' secet signis quod absurdisiimuest, et a perito geos
metra maxime alienum. Nasi sic duae irectae Iineae superofici cocIuderet' quod neutiqua ne ri potest repugnas
te comuni geomestrarum sententia. Suscipiat ita circuli se g. centrum & sit P. Coniungantur* h k.Et quia per constructione triangulu fg h. i scele est ergo anguli ad h. recti sunt. Et quia h kk g. ex censtro sunt circuli f c g. ipsae igitur sunt aequales. Igitur in triangulo h k g. uteri duorum anguloru qui sunt ad basim g h. recti dimidius est. Et per h. signum ipsi fg. parallelus h l. agatur. Et quia g f i.& h l. paralleli sunt ergo per propositione xxix. lishri primi elemetorum angulus eii l. aequalis est f i h. angulo.
Praeterea per elemen. coni. xii.tres rectae lineae i h. h f.d h. sunt continue proportionales.Connectat deinde d h.ergo uti k. ad
L. b. sic k h. ad d k.Et quia duobus triangulis h i k.d k h.comus
25쪽
nis est angulus d kh.rectus,'circum eunde anguIum, velut ostensum est proportionalia latera. Igitur per propositione vi. h. vi. elemen. Eu. duo trianguli hi h. k d h. aequianguli sunt ecanguli aequales quibus eiusde rationis latera subtendunt.ergo angulus d h aequalis est l, i riangulo sed eidem h i h. angulo iam ostensus fuit aequalis e h l. angulus. igitur angulus d h k.
aequalis est ipsi e h l. angulo. Sunt autem l h g. ec g h k. anguli
aequales. Vtero enim aequalis est, velut patuit oc per spositiosnem xxiX. li i. elemen. Eu. angulo g h k. Igitur ex comuni senstentia. Si aequalibus addant aequalia S c.Compositi ex aequalisbus duo anguli e Ii g.g h d. sunt aequales. In duobus aute triangulis a e h.a h.d. anguli qui ad a.recti sunt, re comune lat' a h.
Igit per propositione. XXVi.li.i. elemc.Eu. duo triangula a h e. . et a li d. sunt aequiangula θc aequi latera. necnon a d. a e. latera quae aequalibus subtendunt angulis aequalia.Ex hypothesi austem e c. recta linea tangit parabolen a b c. super c. ligno. Si igitin dato signo quae in rectum rectangulumi conum cadit paras holen recta linea tangat eademq; tangcns et paraboles axis in easdem producant partes quousq; inuicem cocurranterit prosducti axis pars exterior quae paraboles vertici dicto concurssui adiacet, aequalis et axis portioni quae eide vertici aim a pas 'raboles contactu structim actae interponit quod hucusq; opor tuit demonstras..
Si in dato cono ab axe trianguli latus Unum ustra coni vertice producatur at*a termino eiusdem lateris producti, ad basim ipsius ab axe trianguli recta quaedam linea ducatur secans alterum eiusdem trianguli latus.& in eadem recta linea intra conuex duobus contingentibus signis ad planum ipsius ab axe tris anguli dus excitent perpendiculares conicae occurretes supercficiei erit ratio rectanguli facti sub eade linea recta usi ad prismam perpendiculare acta,et eius portione quae eidem perpens diculari, atin ab axe trianguli alteri lateri adiacet ad quadratu eiusdem p pendicularis, sicut ratio rectanguli compraehesi sub
eadem recta linea ducta vis ad secunda perpendiculare dc e
26쪽
particula quae ad eandem stelladam perpendicularem dc latus ipsi' ab axe trianguli terminat. ad quadratu eiusde secsidae p pedicularis. Sit itaqs conus ab cuius basis h c. circulus Zc ab axe coni triagulus abc. eiusq; latus a K in partem a. Verticis, quantumlibet producatur UR ad d. signum, a quo recta linea agatur d e. usq; ad basim abaxe coni triaguli be. secas a c. latus eiusdem trianguli super L at in e f. linea recta duo utcunque Puncti summant. g h. a quibus ad planum trianguli ab c. duae excitent perpendiculares g i.
h h. conicae occurrentes supers
rectanguli sub d g f. coprshesi
ad quadratum perpendicularis g i.est sicut ratio rectanguli sub d h. li f. contenti ad quadratu perpendicularis h E. protrahant ergo,p g h. signa ipsi b e c. duae paralleli l g m.n ho. apud a b c. latera trianguli a b c.terminat , Intelligant deinde duo plana super i g m. n h o. secantes conu a b c. atq; parallela ipsi h c.
basi. Igitur per postulatum quartum comunes sectiones eorusdem planorum ali conics superficiei erunt circuli l i m.n k o. quorum dimetientes I m. n o. erit itaq; rectangulum sub l ng m. compraehensum aequale quadrato ipsius g i. perpendicusiaris. Atin rectangulum sub n h. h o. eompraehensum aequale quadrato perpedicularis h h. per corolariu propositionis Vticlibri Vc elemen.Eu.Duo enim anguli sub I i m.n k o.recti sunt Per propositione xxxcli.iii. eorundem ele.Et quonia per Pros
27쪽
adinvicem ratIonem habent ex lateribus compositam, igitur ratio areolae contenis sub d g. g f. ad areolam comprςhensam sub l g. g m. componitur ex duabus rationibus quam una est ipsus d g. ad g l. altera ipsius fg. ad g m. Similiter ratio rectans guli sub d h. h f. facti ad rectangulum sub n h o. copraehensum coponitur ex ratione ipsius d h. ad ii n. 5c ratione ipsius f h. adho. At eadem est ratio ipsius d g. ad gl. quae ipsius d h.ad hir. Sic quom eade est ratio ipsius fg,ad g m.quar ipsius f h.ad h o. Igit ratio rectauguli sub d g fcontenti ad rectangulis sub l g m. comphensum seu ad quadratu perpedicularis g i. est sicut ratio rectanguli sub d h. h f. facti ad rectangulii sub n h. h. o. contens
tum seu ad quadratu perpendicularis h h. Ex comuni sententia Rationes eaedem sunt quae cisdem componuntur rationibus. Igitur. Si in dato cono ab axe trianguli latus unum ultra conivertice producat, Zc reliqua Vt supra ql oportuit demostrare.
Hinc etiam fit perspicuum quod ii k. maior est quam g i. Nam n h. maior est quam g l.& h o. maior quam g m. Igitur quod fit sub n h. h o. rectangulis mat' est facto sub l g. g m. rectangulo. Quadratus autem ipsius h h. aequalis est, velut patuit ei quod fit sub n h o.& quadratus ipsius g i. aequalis ei quod fit sub l g.
gm.rectangulo. Igitur quadratus ipsius h h. maior est quadrasto ipsius g i. liquet itam corolartu, Videlicci h h. esse maiorem ipsa g i. Ex comuni sententia. latera sunt maiora quorum quaa
Rectangulo aliquo atque quadrato lineacp recta datis, dabitur Iadratus ad quem quadratus eiusdem rectae erit sub rationeati rectanguli ad quadratum datum. Datum igitur rectangu/lum sit a. datus quadratus b. ct c.recta linea data. deinde perpositionem ultimam tib .ii. elemcntoru Eu. dabitur d. recta lisnea potens aream a. rectanguli. Et per propositione xii. li. vi. elemen. Eu.fiat ratio ipsius c. datae rectae lincar ad rectam lineae. velut est ratio rectae lineae d. ad latus quadrati b. Et quoniam
ex hypothesi quadrat' ipsius d.rectet aequalis est rectangulo a.
28쪽
Et per propsoluone xxii. li. VI. eos rundem elemen. Si quattuor rectae lineae proportionales fuerint, re ab eis rectilinea similia similiter des scripta .pportionabilia erunt. Igitur quadrat' ipsius d. seu aequalis area ipsi' videlicet qdranguli a. ad quas
aratum b. rationem habet qua quasdratus ipsius c. ad e. quadratum. Igitur dato rectangulo a. atw qdrato b. datus est quadratus ipsius e. ad quequadratus ipsius c. eu sicut rectans gulum a. ad h. quadratu quod oporatuit efficere.
Si duo data rectangula inequalium longitudinu quadratis suarum latis tudinum iungant,fuerint* hcc duo aggregata inuice aequalia crit quasdratus aggregati maioris logis tudinis minor quadrato aggresgati breuioris Iogitudinis. Sintigit data duo rectangula a b c. cuius ah. longitudo prolixior et d f. cuius longitudo d e. bres uior. atque rectangulo a b c. in directum additus sit quadratus h e h.ipsi' latitudinis h c. Simis liter rectangulo d e f. in directu iunctus sit quadratus e fg. at
aggregatu a c h. aequale excites
rit a fg. aggregato. dico Q e f. latitudo rectaguli d e f. maior sit e. latitudine rectanguli a b c. Si enim e flatitudo rectanguli
de f. latus existens quadrati e fg. aequalis extiterit ipsi latitudis.
29쪽
ni h e. rectanguli a b e. lateri videlieet h e h. quadrati. igite g. latus quadrati e f g. erit aequale ipsi b h. lateri quadrati e b h. et
tota d e g. recta minor erit quam ipsa a b h.ex comunm sentetia. Si aequalia inaequalibus addantur oc cetera. Igitur aggregata ex d e f. rectangulo θί quadrato fe g. minus erit aggregato ex a b e. rectangulo ec quadrato c b h. per Ppositione. i. ii. Vi.ele. Eu.quod contrarium est hypothesi.Nam a c h.d fg. aggregata adinvicem subiiciuntur aequaelia. Eodem rursus argumentatios nis genere probabimus e f. latitudine seu latus quadrati s e g. non esse minus latitudine b c. seu laterequadrati c b h. igit quadratus se g.respectu logitudinis d e. breuioris . erit maior quas .drato c b h. in comparatione ad prolixiorem a b. longitudinem Si igitur quo data rectangula inaequaliu latitudinum et reliqua ut supra quod oportebat demonstrare.
Duas producere lineas alteram rectam, alteram inflexam quae hyperbole coni sectio est, quae quanto amplius producutur eo magis vicissim ap propinquat nunqua coincidentes etiam si in infinitum producant. Sit itam conus a b c. habes basim b c d.: circulum ait a coni axe triangulum sit a b c. i' a b. latus pros ducatur in partem a. Vso in e. quoad id libet. et a puncto e.intra; triangulum a b c.recta agatur linea e f. secans a c. latus.superg.
hasim autem b c. in L signo. atm plano ab axe trianguli a b c. ad rectos excitetur angulos g h. recta line a Bc super eg h. planum eat secans triangulii quide a b c. super e sconicam vero superficiem sua gi d.linea. Erit ita g h.recta linea contingens g i d. sectionem planum igit e g h. ad rectos secat angulos a b c.trias guli ab axe planum. Intelligatur deinde planum e g h. ex pars te g h. in infinitum produci, similiter conum ex parte b c d. has sis. Et quia idem planum e g h. per coni verticem no vadit ergo recta linea conectens g i. seu quaecum alia sectionis gi d. signa intra conum cadit per secundum possulatu ergo linea g i d. ino. flexa est. super qua h. sumpto puncto ab eo ad planu trianguli a b c.perpendicularis agatur k l. quae necessario cadit in e f. cosmunem sectione trianguli a b Rec plani e g h. praeterea linea
30쪽
recta e g. super m. diuidue secetur.at quae fuerit ratio reoctanguli sub e t g.
contenti ad quadrastum ipsius i k.ppendicularis, eade etiaPer ele. co. viii. fiat ratio quadrati ipsi'
quadratum.Connesciat denicvm h. rescta linea. dico quod recta linea m h.
protrahatur in infis ἰmtum nunt coincis dent, ec quanto amoplius producant,eo magis inuicem proo . Pinquat. Concurrat aute coincidantve si
id fuerit possibile suPer i. puncto a quoad e g f. perpondicularis agatur i n.quae neces tario cadit in eg f. coem sectione e g h. plani maguli ab e. 8c ad planu eius. de triaguli ppendicularis seu erecta qm e g h. planu sup planotriaguli a b c. erigit erit ergo ratio rectanguli sub e n.n R. consteti ad quadr m ipsius in . sicut qdrati g m. ad qdratu ipsi' g h. Quare etia sicli ratio qdrati m n. ad quadratu ipsius in.Et quoniam pςr propositione iX.li. v.eleme. Eu. Quae magnitudines ad eandem, eandem habet rationem aequales adinvicem sunt, ergo xςamgulum sub e n.n g.contentum crit aequale quadras