장음표시 사용
41쪽
h e. ad e d. Continue Igitur proportionales sunt b e. e s. h e. e d. Sub eadem etiam ratione continue proportionales probantura b. fg.h i. cd.Nam Vib e.ad e f. sic a b. ad fg.& ut λ. ad e h.sies g. adh i. ec ut he. ade d. sichi. adcd.Datis igitur rediis lineis duabus a b.cd.duae mediae continue proportionales fg.hi. cos pertae sunt. quod oportuit efficere. Sciendum denim est quod iuxta Eratosthenis sententia ab. cd. rectae lineae ipsi b d. ad resctos constituunt angulos. Verum eidem ab. c d. rins lineae,ad qualescuin angulos ipsi b d constituant, dumodo ipsae sunt pasralleli simili contextu propositu semper ciliciemus. Notans dum insuper quod si velimus plures medias rportionales qua duas inuenire sub continua proportione. Igitur ipsis a b. c d. oportebit plures parallelos interponere. ut si .ppositum sit tres
medias cotinue proportionales ipsis a b. cd.inuenire,igitur nescesse erit ipsis a b. cd. tres primarias parallelos,& quattuor seacundarias parallelos interponere, ita ut ultima secundaria pasrallelus eat per d. signu.Et sic deinceps augendo parallelos ius
cia numeru mediarum continue proportionalium.
ALIT E R datis duabus rectis lineis binas aut plures sub cootinua a portione dare. Sint igitur ut prius datae duae rectae lis nas medias continue proportionales reperire. Et sint ipsae a b. cd.parallelae. MQ connectatur bd. quae in tres aequas secet parstes h e.e f. d. 6c ex e f. signis duae perpediculares excitens e g. f h. ec compleant bina parallelogramma a b e g.g e f h. re per c. ipsi be d. parallelus agatur e L secans f h. super i. signo re exd Lauseratur recta quaedam ad libitum quae sit d k. α per k.pat
42쪽
rallelus ipsi cd.sit El.secans e sua l. 5 ag h.in parte Magatur usq; ad m. sit* am. aequalis ipsi e l. ec conexa l m. secet e g.in n. re t h. supero. ecconiungantur f n sc o. Si stat s n. k in rectae paralleli sunt ipsi e m.ipuus d k.logitudo iuste sumpta fuit. sin
autem f n. ko. non fuerint paralleli ipsi e m. Igitur d h. accipiat aliqn minor aliqn maior qua pri' extiterat donec f n. k o.rectae lineae paralleli lint ipsi e m. non autem d k.sumatur maior quast d f. Sint ergo f n. k o, paralleli ipsi e m. atq; ipsi a di per m.
parallelus agatur m P.secans b d,in dipartem,sductam sua p. Et ut prius ostendemus quod inter m p. oc t h. seu inter aequasles a b.cd. sint mediae proportionales e n. f in sub cotinua prosportione productis em l m.k p. in partes h l. donec cocurrant super q. signo liquebit propolitum. Inter datas igitur rectas lisneas a b e d.duae mediae e n fo.sub continua proportione comopertae sunt. quod oportuit effecisse, Notandum insuper est. quod d h. a m. rectae ideo praecipiunt aequales fieri quoniam a m. insensibiliter maior est quam d h. INSTR UMENTVM fabricare cui ministerio datis duas bus rectis lineis duae pluresue mediae sub cotinua proportios ne poterint inueniri. Quae igitur in planis sunficiebus Geoς metrica quadam inuestigatione pauloante perspecta fuerat redemonstrata.haud parum iuuabunt nos ad construendumstris mentum quoddam quo possimus instrumentales binas capere medias.latere igit idest tabul a quanda rectangula cui' logitu do multo maior sit latitudine qua quida tabula πλει θου graecire latini latere dicutcblici 'lignea eburneamve aut aerca cuσiusmodi in suptori descriptioe est ab d r.rectangula figura quς habeat alisit tabellas aeqlis spissitudinis 5c qua levigatissimas
at plenues quam media velut in cade superiori descriptionee g h. firmetur habens duo regulamenta velut e m. f n. insisgnis e f. affixa paruis axibus ita ut ipsa sua e f. versari possint. Sit merea alia subtilis tabella velut E dr.quae volui queat hinc
inde ita ut eius latera sint sem per parallela ipsi s h. lateri paιrallelogrami e f g h. habeatq; similiter versatile regulamentak o. super α signo affixum. Tria ita regulamenta versatilia
43쪽
ems n.k o. eo modo corinnent vicissimcp aptent ut sint adin Micem parallela,& comunes eorum sectiones cum a g. f h.& l. innu sint in eade recta linea velut m n o l.necno a m. subiiciat aequalis ipsi d h. ipsa enim a m. insensibiliter stipat d h. his ita constructis inter duas rectas lineas a b. cd. ipsius instrumenti duae mediae sub cotinua proportione dantur veluti sunt e n f o. Veruntamen si dats duae lineae rectae velut s t.quibus oporteat duas medias sub continua proportione inuenire non fuerint aequales ipsis a dic d. quas instrumentum habet, ergo fiat Vt s. ad i.sic a b.ad c d.Et quia ipsis a b.c d. instrumetalibus rectis insuentae sunt duae mediae sub cotinua proportione, igitur et ip siss t. datis duae mediae sub cotinua proportione erunt datae. haec quisep in Geometria vel mediocriter eruditus multo facilius instelliget qua praesentis descriptione demonstrationis doceri pos . terit,quo deniq; qui scist cotinuationi aptationiue ipsarum regustarum tabulamin artificiosius insistet, eo examinatius coperiet capieti medias ipsas sub cdtinua proportione. Ipsa etia tabelsia l k d r.cohereat cuidam colunae areae in qua volui hinc inde
possit sine trepidatione at* firmari quando libeat. Sit aute easdem columna aerea loco h d. atin ipsi tabuls e f h g. pl umbo asi fixa 5c obfirmata cohereat, Ecsi plures quis constitvcrit duas
bus medias proportionales inuenire cum annexis versatilibus regulamentis, plures etiam oportebit ipsi columnae aereae mos.
hiles tabellas qualis in k d r, admouere.Et tandem inter datas rectas duas lineas, totide comperit medias Τportionales quot in instrumento fuerant dicto modo compertor, liquet igitur insstrumeti fabrica,qua hactenus ostendisse oportuit. Praeterea sciendum est, Q decet regulam eta f n k o.in partes si o. eo Vsipere producta ut tota a,ducta singulatim sint aequalia dimetieti ipsius e fh g.parallelogrami aut paulo longiora,ita ut semper ipsam a g h.latus tabellae a b d. attingere possint.Est praeterea
sciendum Q regulamenta f n. ko. facili ratione ipsi e m. parals tela constituent. productae cin f n. EO. secent a g h f n. quide in X. k O. autem sup v. 8c fiat m X. aequalis ipsi e .f. 8c m v. aequalis
ipsi e f h.igitur per xxxiii. propositione Ii.i. ele. Eu. ipsae f n πk o v. paralleli sunt ipsi e m. Et ita demu paraphrasis complex
44쪽
in modos quos Eratosthenes tradidit de inuentedis mediis constinue proportionalibus inter datas duas rectas lineas.
EX ERATOSTHENIS senteuadatis duab'rectis linesis binas aut sillibet me h n edias proporationales iues nire cu facis It descriptios ne parallelo
go datae duae Preciae lines ah. c d. inter I s intelio hit inuenire Primum dusas medias proportionales, attinterm Las ah. ed. iungat recta linea b c. sic ut a b. c d. sint paralleli. Compleaturq; parallelos grammii a b c e. atin ipsius h c.tertium unum sit b L alip ex b c. auferatur h g. paulo maior aut minor quam h f. prout res ipsa admonebit,ipsilb g.ex a e.aequalis auferatur a h. Connexis a
g. g h. a d. Et g h. secet a d. iii l. 5 ex a b. dematur b h. aequalis ipsi g i. ct regula apposita ipsis i d secet a g. in l. Et quia per xxxiii.propositionem libri primi elementosv a b.g i h. sunt pasralleli,5 ex hypothesi g Ll, k.aequales ergo b g.i l. sunt paralσIeli. Praeterea ex ipsis g c. h e.ipsi i l. aequales auferant gm.h n. iunctis* i m.m n.erunt per eandem propositione xxxiii.lishri l.ele.g l .m cparalleli. Simili ratione g h.m n.paralleli.Et mri. secet a d.in o. Et ex b h. ipsi m o. aequalis auferat b p. Reguσla deniq; applicata op.signis secet i m. i q. Si ital m c.aequalis extiterit ipsi O q. bene aetiim est, Sin aut m cminor extiterit, σgo b g. iusto maior accepta fuerat ergo h g. paulo minor accis pienda est. atq; eadem descriptio resumenda. suae eousAE CXerceda est donec Oq. aequalis fiat ipsi m c. Esto igitur m c.
45쪽
positionem libri primi elementoN. Ipsae deniq; a b.g i.m o.d e. primariae dicuntur paralleli,sed a g.m i. c o.secundaris. Aio qlipsis a b.c d. mediae proportionales sunt g i.in o. Producant ergo a d.b c.coincidentes in r. Et quia propter similitudine tris anguloru est ut a r. adr i. apud primarias parallelos sic br.adrg. praeterea ad secundas parallelos Vtar.adr i.sic gr. ad r m. ec apud primas parallelos ut g r. ad r m. sic t r.ad r o.& ad secudas parallelos Vt i r. ad r o. sic m r. adr c. tinue igitur Sporationales sunt br.r g. m r.rc. At sub proportione eadem quoin est per iiii. propo. li. Vi.ele. Vt a b. ad g i. sic g i. adm o. 5 m o.ade d.Datis ergo duabus rectis lineis a b.c d. binae inueti sunt g Lm O.cotinue proportionales quod oportuit efficere.Pari modo plures et quotlibet mediae proportionales inuenientur.
ILemma. Pro duabus mediis yportionalibus b ferit pars tertia ipsi'bc. qmb g. paulo maior tertio ipsiush c. 6c nunc ij minor aut oeulis
ipsi h f. Rursus p trib' mediis *portionalibus inter a b. 8c c d. inueniessis b ferit quartu ipsi' b c. di b g. paulo maior qua b Loc y quattuormediis Pportionalib' b L erit quintu ipsi' b e. och g. eritpaulo maior qua b fidest quintu ipsi' b c.Et ita deiceps
h c. sema diuiditur in partes una plures quam sunt mediae prosportionales inueniendae. Earundent denim partium bl semo erit una. Et h g. paulo maior sum eda erit quam b f. Et ideo b L particula aliquotta ipsius b c. assumitur ut vera ipsi' bn ni Mgnitudo possit eo citius coniecturari.
A LIT E R ut phyloponus 8c Phylon bisantius.
Inter datas duas rectas lineas duae mediae sub cotinua proporatione inuestigantur.Phyloponus ital geometres. primu refert historiam ex qua problema hoc habuerat originem, ac deinde ipsum problema cum sua demonstratione prosequitur. Et prismum quide , quo pacto ait duos cubos unis possis cubu facere illo potissimu tempore fuerat inuentum, quado Deliis Motasia quidem est historia pestilcnci luelaborantibus,Apollo consubtus respdderit,ea luem sedari posse si aram duplicassent, hi au
46쪽
terum alteri aequalem cubum sibi capiendo Imposuerimi, sed adhuc crudescente grassantem pesti lentia ae spodit Apollo eos quod imperatum fuerat non soecisse. Quonia mandasset area
duplicandam eos autem cubum cubo superimposuisse. Plato. nem adierunt consulendo,quo nam pacto cubus foret duplicaι'dus qui respodit videri sibi,numen eos incessere quod geomestriam ignorarent.Cubi vero duplicationem tum demum posse inueniri,cum duabus rectis lineis binae mediae cotinue proporationales fuissent inuentae.Et continuo suis hanc questione prosposuit indagandam discipulis ex quibus fuerunt qui hanc scriherent inuentionem. Deinde Philoponus per numeros exoptariter ostendit. Q datis tribus rectis lineis c5tinue proportios natibus atre a prima oc secunda,iacta fuerint quadrata, erit eos rum ratio,sicut primae rectae lineae ad tertiam. Id theorema E clides uniuersaliter demonstrauit propositione Xxii. li. vi.ele. Rursus si fuerint quattuor lineae proportionales sub contis nua proportione erit ratio cubi a prima ad cubu a secuta quata tuor proportionalia linearum rectarum, sicut ratio primae ad quarta. Id ipse Euclides generaliter ostedit .ppositione xxxiii. li.xi. elemento . At super his theorematibus Philopontis nue audiatur obiter obiurgans Euclidem V duabus rectis lineis dastis unam tantu mediam et non etiam duas medias sub cotinua
proportione docuit inuenire. Elementariu igitur ait, geomestren verissime demonstras. tribus rectis lineis cocinue .pporationalibus datis,ut prima se habet ad tertiam ita ciuod a prima descriptum est quadratu, ad id quod a secunda. Nec tame eam tradidit doctrinam,qua binarum rectarum lineam bins mediae continue proportionales inueniant. In planis itaq; generaliter demonstrauit. quod datis tribus lineis continue proportionalis hus ut se habet prima ad tertiam, ita quod a primae est quadrastum. ad id quod est a secunda veluti sint tres rectae lineae contis nue proportionales una viii. altera quattuor tertia ii. pedum, ut enim se habent viii. ad iiii. horum siquidem ratio dupla est.
ita quot se habent iiii. ad ii. nam 5c horum ratio dupla est. Et
idcirco ut se habet prima linea, ad tertiam idest viii. adii. hora
47쪽
nempe quadrupla est ratio. Ita etia se habet quod a prima quasdratum quod est lxiiii. ad id quod a secuda fit quadratu quod est xvi. Quadratus igitur qui est lxiiii. ad xvi.quadratum ratione habet quadruplam. Id ita in planis exemplari hac ostensione liquet, At in solidis perspicuum est,' quattuor datis rectis lisneis sub eadem ratione proportionalibus ut est prima ad quartam rectam lineam,ita se habet solidum quod a prima est, ad id Quod a secunda sit simile similiter positum solidum. igitur duabus rectis lineis propositum sit binas me
dias inuenire continue prosportionales. Sint igit resuqης ratione datς atq; inter ipsas reperies de sui duae cotinuς propor tionales . Urssaea b. brectu iungantur angustum ab Cospleaturin pasrallelogramurectanguliIma b c d. ducas c. mper quo scribatur circulus ab c e d. Et quia anguli ad b d. per constructione recti sunt. igitur per couersios. nem P positionis xxxi.lcithele. Eu. Circulus ab c ed .transibit per b d. signa at* ab.b cirectae lineae in partes a c. ad infinitum Producant. ponaturq; regula mota ad punctum d.secas a b.b c.
Productas in partes ata ipsam quidem a b. m Latipsam h c. suago ip
48쪽
perg.moueati Q ipsa regula circa d.quoad ex d.in s.fiat aequalis et,quae est ex e. in g.rectae lineae. Ipsa videlicet circularentia ab c ed. secta a regulam sup d. signo motam, ita ut d Lsit aequa Iis ipsi e g. Aio igitur Q duae rectae lineae c g. a f. sint ipsaru a b. b c.mediae proportionales.Nam d L aequalis est per c5structio nem i psi e g. at 3 utrim ipsaru d Le g. comuni addita d e. igit e f.
aequalis erit ipsi d E. Ergo quod fit sub d g.g e.rectangulu aequale est ei ql sub e L f d. fit rectangulo, Sed p rpositione xxxvi. libri.iii. elemetoiv Eu.ei quod fit sub d g. g e.rectangulo.arquale est id quod fit sub b nc g.rectangulu.Nam Vimq; est aequale
quadrato rectae contingentis a g. puncto ad circulum a b c e d,
actae. Parim ratioe quo fit sub e L fd.equale est ei ql fit sub b L f a. rectangulum. Igitur quod fit sub b Lf a.aequale est ei quod fit sub bg.g c.rectagulo. Atqui per propositione xiiii. libri vi.
elementως eorunde Eu. Aequianguloru & aequaliu parallelo.
grammoru mutua sunt later quae circa aequales sunt angulos.
oc f a. ad ad. duabus ergo rectis lineis datis ab. b c.imitiae sunthinae mediae proportionales c g.f a .quod oportebat essicere. ALITER ut Apollonius Pergeus 5c Heron in mechanicis institutionib'. Inter datas duas rectas lineas, medias duas costinue yportionales inuenire, Sint datae dus rectae lines a b. h e. ponaturin ad b. recta copraehedere angulum copleaturm bd. parallelogrammum coniungantur* a c.b d. diagonii qui se ade. simu bifariam secabunt. Et producatur a b.b c.in f g. 5c per d. punctum accomodet appliceturin recta linea f g. ita ut e Laequalis sit ipsi e g. Id aute facile construetur adminiculo regiis Iamenti habentis in medio callum quendam acuminatum.quo merso intra d. puctum.atin circini pede uno ad e. signa defixo, altero vero ad fg.signa circulato pso etiam regulamento suo sum deorsumn moto facile explorati poterit si e f. e g. rectae
lineae aequales fuerint. Sint igitur aequales. m aio iptam a b. h cirectarum lineam binas medias esse proportionales c g. a Leucatur ital ab e.in b caectam lineam perpendicularis e li Et
49쪽
h e e. 8c h e.ipsi e c. ae ilis. igith h.ae lis erit ipsi h c. Et persinde quonia b c. bifaria secta est in h. atq; aequalibus rectis lineis h h. h c. adhaeret c g. Igitur per Vi. propositione libri secundi elementoru Euclidis quod fit sub h g. g c. cum eo xiod sub h c.aequale est et,qae ub h g.Commune deniq: po' natur quod ab h e. quod ergo sub h g.g c. cu eis quae ab li c. h e.aequale est eis quae ab lig. h e.Eis autem quae ab e h. h g.
squale est quod ab e g. Quod igit sub b g. g e. cum eis quae ab li cst e. aequale est ei quod ab e g. Eis autem quae sunt ab li c. h e. aequale est quod a c e. igitur quod sub b g. g c. fit cu eo quod ex c e. aequale in ei ql ab e g. Similiter quoq; ostendemus ut quod sub ipsis fit h f. f a. cu eo quod ab a e. aequale sit ei quod ab e f. Atqui per constructione e Laequalis est ipsi e g. Quod igit sub b g. g c. cum eo quod ab e c. aequale est ei quod sub ipsis b L f a. aloe ei quod ab a e. Et
quia a e. aequalis est ipsie c. eis igitur quq ab a e. e c. fiunt demsptis qdratis erit ex comuni sententia. Si ab aequalib' 8c cetera. reliquiam quod sub b g. g c. aequale ei quod sub b L f a.Et quos niam per propositione xiiii. libri vi. clementoN Eucli. Aequas lium N aequianguloru parallelogrammoru mutua sunt latera quae circa aequales angulos. Est igitur vi b L ad b g. ita c g. ada f. Atqui ut i, Lad bg.,itas a. ad a d.& c d. ad c g. per propomtionem iiii. li. vi. elemcn.Eu.Trian Aptriagula b fg. a d s.cdg. aequiangula sunt. Viler constrinctione atap eX.XXiX. Propo. li.1. elemen. Eu. liquet. Et ut igitur d c. ad c g. ita e g. ad a f& a Ladad. Est* ipsi quidem c d. aequalis a b.ipsi aute ad. aequalis hc.
50쪽
tis rectIs lineis ab. b e. Inuentae sunt duae mediae proportionM
ALITER ut Diocles in pyriis. Ad inueniendum duabus
datis rectis lineis binas medias c5tinue proportionales. Diocles i libro xi de piriis inscribit tIr. rimo tradit quendam modii describendi quais
Q continue sportionas Ies, Deinde ex eade des scriptione datis duabus rectis lineis binas medias Uenat .pportionales, Propositu igit sit quatι tuor rectas lineas Vtcu continue Sportionas Ies inuenire describere . In alisi ita circulo ae e B d. cui' l. centrum ad rectos angulos duae agant diametri a b.c d. ct in utram parte ipsius b. duae aequales assumantur circuserentiae e b. b L.
ec per g. ipsi a b. parallelus agatur f g. secans cd.dimetientem in g.atin d e. coiungat dispescens ipsam s g. super h. signo. Aio quod c g. g dg. gh. sint cotinue Dportionales. ducae itas ae. ipsi a b. parallelus e h. secanςc d. in k.Erit ergo e k. ipsi fg. aequalis ecch. ipsi d g. Quod ita fiet perspicuu. Nam ex l. censtro in e f. coniunctis rectis lineis. ipsae sint aequales per diffinistionem circuli. per constructione autem anguli ad g l h. signa recti sunt. Et duo anguli b I e. h l L aequales ex centro i etenim super aequales circuierentias he. h f. deducunt per XXVii. pro. iciti.ele.Et ergo ex comuni scientia si aequalib' aequalia deduocantur. duo anguli f l g. e i Esunt aequales. ergo per Dpositiosnem xxvi.libri primi clemen.Eu. duo triangulae I fg l. sunt
aequilatera oc f g. ipsi e h. aequalis & g l. ipsi h l, Et ex comuni deinde sententia si aequalib' aeqnalia demant oc cetera. c ridia