장음표시 사용
31쪽
to ipsursm n. Vtrussi enim ad quadratu i n.eandem habet rati nem qua quadratus ipsius g m. habet ad g h.quadratum,quod impolsibile est per propositionem vi. libri i elementoN Eucli. quonia e g. bifariam diuidit in m.eim in rectu adiicitur g n. igic per eandem propositione Vi.li. ii. elemen.Eu. quadratu ipsius m n.superat id quod fit sub e n. n g. rectangulu quadrato ipsi' g m. patet itaq; pars prima propositi elementi conici. Scriptae nanq; sunt, velut ostensum est, rectam h. & inflexa g i d.nunt coincidentes quantucunq; producant. Deinde dico v quato plus m h. ct g i d. linea producantur, tanto magis sibi inuicem appropinquant. Protrahatur ergo linea k l. incidens ipsi m h. super o. puncto ait in g i d. hyperbole seu conica sectione post h. assumatur p. signum. a quo luper e g f. perpendicularis agastur p q. quae in partes p. acta occurrat ipsi m h. productae superr.Et quia quadratus o h. atm duplum eius quod fit sub o h. h l. aequalia sunt quadrato p r.et duplo eius quod fit sub p r. p q.Et
quia m l. ad l o.est ut m q.ad q r. est aute m q. maior quam m l. igitur q r. maior est. luam l o.Et quia per xvii. elementu conicup q. maior est quam h l. igitur per xix.elementu conicum k o. maior est qua p r.ergo signu p. propius est rectae lineae m h. aps ductae qua signum O. horum aute virum signorum o r.existit in
hyperpolica sectione g i d. Et quonia idem de omni alio punscto quod in eade oblici linea hyperbolicae sectionis g i d. extis
terit eodem modo demonstrari poterit usq; in infinitu igit quasto amplius rccta linea m h.6c inflexa linea hyperbolics sectiornis g i d. producantur eo amplius appropinquant,quod secumdo demonstrare oportuit. Lemma seu assumptum.
Quod antem stantibus prsmissis hypothesibus 5c constructiosne.quadratu ipsius h o. 8c duplum eius quod fit sub o h.k l. sint aequalia quadrato ipsi p r. re duplo eius quod fit sub r p. p q. quotienscum hyperbole ad non coincidente describitur, siclisquebit.Nam ratio rectanauli sub e l. l g. ad quadratu ipsius h l. est sicut ratio quadrati ipsius g m. ad quadratu ipsius g h. atoidcirco sicut ratio quadrati ipsins l m.ad ipsius I o. quadratum
32쪽
per propositione iiii. li. V elemen. E Erit igit per .ppositionexi x. li. quinti ele. Eu. ratio quadrati ipsius g m. quod est differe tia qua i m. quadratus excedit rectangulum sub e l.l g. ad ipsi' o k. quadratum, duplum eius quod fit sub Eo.k l. licui ratio quadrati ipsius g m. ad ipsius g h. quadratu,igitur per secunda partem propositionis nonae li.v. ele. Eu. quadratus ipsius g h. aequalis est quadrato ipsius ko.ec duplo eius quod fit sub o P. k l. nam ad virul eorum quadratus ipsius g m. refertur sub easdem proportione. Similiter quom demostrabitur Φ quadratus ipsius g h. aequalis est quadrato ipsius pridi duplo eius quod fit sub r p. p q. at ex comum sententia, Quae uni sunt aequalia adinvicem sunt aequalia. Igitur quadratu ipsius k o.et duplum eius quod fit sub o k l. sunt aequalia quadrato ipsius r P. et da plo eius quod fit sub r p. p q. patet igit lemma seu assiumptum.
Ad datas res cletas lineas non hcoincidentes, qad rectu se constingunt anguoium per datum
signum hypers holen describere. Sint igitur datae duae redis lineae a b. bristinuicem constingetes in puo isto b.rectum*comprςhendat angulum a b c. et datum signud. Intentio* sit per signum d.ipsis a lab et rectis datisin lineis hyperbolen dea scribere non coincidente Igitur a b c. rectus angulus diuidue
33쪽
secetur per propositionE ix. U.eleme.Eu.producta recta lineah e. Et a. signo d.ipsi h e.ad rectos angulos agatur d e. incidens in ipsam h e. super e. signo. Eade dentin perpendicularis d e. in utrasin partes producta secet ipsam quidem a b. in a. et ipsam h e.super c. puncto.Et ex h e.auferatur b Lquae per propositiosnem ultima libri ii.elemen. Euclidis possit areolam parallelos grammi seu rectanguli cuius longitudo aequalis extiterit ipsis o e.e c. pariter iunctis in directum, ec latitudo ipsi d c. aequalis. Et per L. signu producatur f g. parallelus ipsi ce. oc secans he. Iineam sua g.Et quonia per construetione angulus h e cirectus cst..f g. parallela ipsi cde.igitur per propositione XXix. li. i. clemen. Eu . angulus b f g. rectus est.Ex hypothesi aute angustus f hg.dimidius resti existit,igitur per propositionem XXXic eiusdem libri primi elemen. angulus h g f. recti dimidius est. Et quia duo qui ad basim b g. sunt annuli trianguli b f g. sunt aequales igitur per .ppositione vi. eiusdem primi libri elemen. f g. aequalis est ipsi h f. cuius quadrat' aequalis est a costructiosnem parallelogrammo habenti longitudine quidem aequalem ipsis e e. e d. pariter additis in reis tam latitudine vero aequalem ipsic d. Igitur quadratus ipsius f g. aequalis est parallelogramsmo rectangulo habenti longitudine quidem aequalem ipsis c e. e d. in rectum pariter additis latitudine aute aequalem ipsi c d. Ita quod quadratus ipsius f g. aequalis est quadrato ipsius cd. et duplo eius quod fit sub c d. d e. Producta deinde b e. in parte h. v sin ad h. signum sitor b h. aequalis ipsi h f. Ipsa denim e f. in aliquot vicum scindat sectiones atq; per sectionu signa ipsi a c.
paralleli peragantur secantes a b.b c.datas lineas quanto autearetiores ipsius e f. sectiones capiuntur tanto exactius scribes . eur per d. signum hyperbole non coincidens a b .h c. reetis.
Earundem quoq; sectionum prima sit e i. oc per i. ipsi cde. pasrallelus sit actus i k s.secans b c. in l. puncto. atq; ex ipsa i l. des matur i h. potens parallelogrammii rectangulu sub h i. i f. constentum. Et quia per propositione vi. ii ii. et cme.Eu. f h. bifaria secatur in b. atq; ipsi s h. in rectum additur f i.ergo quadratus
ipsius b i.aequalis est ei quod fit sub h i. i Let quadrato ipsi'b L
34쪽
Et quia i h l. aequalis est ipsi b M. Igitur quadratus ipsius I Laequalis est parallelogrammo sub h i. t econtento 5c quadrato. ipsius b f. At ex hypothesi quod sit sub h i. i Laequale est.quasdrato ipsius i k. Igitur ex comuni sententia si aequalibus ausorantur aequalia quae reliquuntur aequalia sunt. quadratus ipsi' k l. atin quod bis fit.sub i E. k l. sunt aequales quadrato ipsi' b L seu ipsius f g. Pari modo demonstrabimus quadratum ipsius d e. esse aequalem parallelogrammo quod fit sub h e.e frectam gulo.Nam be. aequalis est ipsi e c.per propositioneri. li.i.ele. Eu. quonia in triagulo b c e.rectagulo anguli qui ad basim b ci sunt aequales. Eorum enim Vtercp recti dimidius existit.Et quia per vi. .PPO.li.ii. eleme. eorunde quadrat' d e. aequalis est ei qd fit. sub h e. e Latin quadrato ipsius b f. Et per iiii. propositione eiusdem secundi libri quadratus ipsius c e. est aequalis duobus quadratis ipsarum e d.d e. atq; dupIo eius quod sit sub c d. d e. Igitur quadratus ipsius b fati rectangulum sub h e. e scotens tum aequales sunt duobus quadratis ipsarum c d. de. atm diis plo eius quod fit sub c iud e. rectangulo.sed per constructione quadratum ipsius b L aut ipsius aequalis lineae s g. aequale est quadrato ipsius c di atq; duplo eius quod fit sub cd. de. Igitur ex comuni sententia si aequalibus & rectangulu quod fit subhe.e Laequale est quadrato ipsius d e. Si demuin reliquis parallelis a puncta diuisionii ipsius e f. ductis similia signa, quaa Ita sunt d h. pari costructione constituant,ea. rectis conectanc tineis inflexa quaedam creabitur linea hyperboles haud absis lis cuius fastigiu f. axis vero e L per couersione lemmatis. elementi conici xx. Nam hyperbole per d s. signa descripta re non cosncidens ipsi b c. meabit per puncta in parallelis ipsis d e. t h. et reliquis dicto modo signata per idem lemma elemeticonici xx.Et velut ipsius hyperboles d k f. dimidiu constitutuest in partem c. ita quom reliquii dimidiu constituet in parte a. Et inflexa linea f h d. atm rectabc. in partes cci Ipductae.nu coincident per ea quς circa elementu conicv xx. fuerui ostensa, atq; per eius corolaria. datis igitur duabus rectis lineis a b. h e. quae se inuice cotingunt in puncto di rectum cotinentes angus
35쪽
lum per datum inter easdem lineas d. innum hyperbole d k c
descripta est,non coincidens ipsis a b.b c.rectis. Etiam si eadehyperbole atq; eaedem rectae lineae a b.be.in partes adcin infinitum producantur quod oportuit demonstrare. e Lemma seu assumptum. Vt autem rectilineae ipsa sub he. e f. & subh Licet similiter coteta rectangula potetes breuiterae ferme eodeminueniatur demturo momento. n tali utendnm est compendio. Sus matur ital m n.
recta aequalis ipsis h e.e Lin directum inpositis.Sitin O.aequas iis ipsi e f. Ipsam m o. aequalis sit ipsi h e.Deinde ex o. signo ipsim n. ad rectos excitetur angulos o p. Et m n. diuidue secetur in η.et centro q.interuallo aute m q. scribatur semicirculus m p msecans perpendiculare op .in p. signo. Et quia per propositiosnem XXXi.li.iii. elemen. Eu.angulus m p n.rectus est atm ab eo ad m n. perpendicularis agitur o p. ergo o p. ppendicularis mesdia proportionalis est inter m o. o n. Est aute in n.ex hypothesi aequalis ipsi h e. ec n o. aequalis ipsi e f. Et velut ostreum in d e. media proportionalis est inter l, e. e f. per .ppositione vi. li. V elemen. Eu.emo o p.aequalis est ipsi d e. Rursus n o.in totidem . et aequales partes secetur ipsius e f. sectionibus, quarum n r. sitorquatis ipsi e i.Et centro item'.& spacio q r. scrisatur semiciracul' r s t. secas o p.ppediculare sup s. 5 m q.sup tidico ita qlo s. sit aeqlis ipsi i k.Na n o. ae lis est ipsi e L& n r.eqlis ipsi e i. Atqui ex comuni sententia.si aequalib' auferant aequalia,quae relinquuntur erunt aequalia.ergo o r.est aequalis ipsi fi.pari ars Rumentatione constabit s t.eme aequalem ipsi h i. it tota r o si
36쪽
aequalis est ipsis h i f. in rectam pariter eompositis. imur o m. aequalis est ipsi i E. potenti rectangulum sub h i.i f. contentum. pari den4 oc aliae potentes similia rectangula dabunt. Perspiscuum ergo est propositum lemma seu assumptum. .
non coincidenatib' actae rectae linesaectangustas areolas cosphendent aequales. Sintigit res
non coincidenstes ipsi limbos le d e Latm ex e b d F ei punctis ipsi'
hyperboles de L non coincidentibus ab.b e. parallelae agante g.eh.s l. f h.dico Q duo rectangula ag eh. al f h. sint aequas Ita.Ex e g. igitur ipsi e g. aequalis dematur g m.Connexa m e. 8c in partem e. producta secet a b. sup n. Et iterum I e. sit aequas lis ipsi s l. protracta e Lin partem f. secet rectam quidem a super b. hyperbolen autem d e f. super d.Et quonia uter*duos rum angulorum ad m n. signa per constructione recti dimidio aequalis est. igitur ut m e. ad e g. sic e n. ad e h. Vtrobim enim ratio est diametri ad costam quadrati. Eandem quom rationem rari modo probabimus esse inter e L f l .Et quonia duo triagus a b frie h n. aequiangula sunt.ergo per propositione iiii.li. VLelemen.Eu. vi b Lad e n. sic f h. ad e h. Et quia per corolarium vigesimi elementi conici rectangulum sub b f e.contentum aequale est compraehenso sub m e. e n.rectangulo igitur per sescundam partem propositionis vi.li.vi.elemen.eorundebs ad e n.est sicut e m.ad c f. seu sicut e g. ad f l. At iam ostesum fuit f h. eme ad eli. vthcaden. ergo vis h. ade h. sic e g. ads l. per ProPositionem xi. Ii. v. elemetorum Eu. Quae uni eaedem sunt
37쪽
reciproci sunt latera igitur per prositionem iiii. Ii. vi. elemen. eorundem duo parallelogramma age h.a I f h. sunt aequalia. Ab hyperbolae igitur non coincidentibus actae rectae lineae resctangulas areolas compraehendunt aequales quod oportuit de
mon strasse. Explicit libellus de Vigintiduobus
38쪽
' sis Commentarius seu Paraphrastica enarratio in v decim modos conficiendi eius problematis
Radituro mihi commentariolum aut si mauis paraphrasim in modos duplicandi cubum,qui Georgio Valla Vicetino interprete ad latinos
huius aetatis geometras ex Graecia migrarunt, non abre visum est inprimis praemittere Erasitosthenis qua scripsit super hac re Ptolomaeo
regi epillo iam . quonia in ipsa explicatur qua ratione hoc pro hiema, quod duplicatio cubi dicitur, originem habuerit quiue graecON geometram primi fuerint idem explicantes absoluestes. Problema,quant huius problematis scientia mortalium generi ciuiliter ac comuniter viventi in pacebelloq; ad constra Mandam hominu amicitia atq; vicariam beneuolentia 5c iustisciam quae cuim reddit quod sutim est, non tantum utilis verum etiam necessaria ostenditur. deinde in cadem epistol a notatur difficultas quorunda modoru ac idcirco author comendat suuduplicandi cubi modum a promptitudine& facilitate. quem postremo duplici conficit ratione primu quidem Geometrica demonstratione.Deinde instrumentali constructione qua inter datas duas rectas lineas non tantu binas medias proportionas Ies, sed quotlibet inuenire docet. Eratosthenis autem epistola,
comentatione paraphrastica his a me verbis enarratur.
Ptolemeo regi Eratosthenes salute plurima dicit.Priscum quedam tragicu acccpimus introducere Minoa Glauco sepulchruexcitare volentem, interrogatu qua nam id formula aedificari mallet,respondisse cubica cuius capacitas seu area dupla esset eius cubi, itii quam versus atq; in omni latere centenos obtin rct pedes. Architectus igitur arbitratus vialiquod* membrum seu latus duplu esse facienda hallucinari iureoptimo visus cst.
Q uippe lateribus duplicatis quodlibet planu sic fabricati solis di quadruplum efficitur,ipsum aut solidum.oetuplum. A geos
39쪽
metris Igitur quaesita est quo nam modo datum solidum in ea, similim figura permanens duplicari possi vocatum huiusmos
di problema cubi duplicatio.Proposito nanoe cubo qus ebant quomodo ipsum possent duplicem efficere.Omnibus aute alis quadiu ambigentibus primus Hypocrates chius percalluit Si constaret ea scietia qua duabus rectis lineis quarum maior misnoris esset dupla duae mediae sub cotinua caperent proportios ne futurum esse, ut cubus duplicetur.proinde duplicandi cubidifficultas N addubitatio, iplos mathematicos in aliam no misnorem adduxit deuoluitq; dubitatione. Aliquato autem post aiunt Delios cum ab oraculo iuberetur aram quanda duplicas re in eandem deuenisse dubitatione. Obiurgante increpantes in academia Platone geometras, quod ceseret esse inuenienduuuod quaesitum foret uic se studiosius labori accinxerunt insueneruntin duabus datis duas medias esse capiendas, chitas quidem Taretinus fertur per hemicylindros propositum hoc inuenissexudoxus autem P inflexas lineas .Euenit autem ut hi omnes ipsam scientia de inuentedis inter datas duas lineas resctas duabus sub continua yportione demonstrata quide ratiosne descripserint,at ut id sub manum duceret in usum in caderet neutiqua assequi potuerunt.Praeter breue quodda Meneclimi. iddi subobscum. Excogitatum igitur fuit a nobis instrumentii quoddam quo facilis est acceptio duaru mediaru sub continua proportione inter datas duas rectas lineas qua etiam id demos strauimus ut duabus datis no binas modo medias quisqi inuoniet, sed quotlibet instituerit. Hoc itam inuento poterimus omequod datu est solida parallelogramis contentu in cubii perdus cere. Atta ex altero in alterum trafformare, similem perficere, ec id quoad libeat augere eandem semper similitudinem obseruantes. Proinde etiam templa oc aras necnon humidorii mens suras G aridorum sub mensuram poterimus redigere. Vtputa metretae oc modii sub cubica perduci poterint formulam.quos
rum lateribus humidorum aridorumo capacia vasa mensurastur ut eorum commentiae innotescant. Huius denim probles
cognitio utilis sane δέ comoda est.eis qui velint catapuis
40쪽
tica lapidesin librantia contorquentiassi augere instrumenta. Oportet nant omnia per proportione augeri tam magnitudi nes oc perforatio es,quam mensiones iniectosi neruos . si mo do curae sit, & si voluerit ea quis adhibita augere proportione, guae neutiqua fieri possunt mediorum non comperta ratione 3emonstratione igitur ec constructione iam dicti instrumenti tibi hic descripsi. Sint igit datae binae inaequales rectae lineae, a b.c d.quarum oporteat duas medias proportionaIes sub constinua proportione inuenire. Ipsae igitur a b. cd. rectae lineae. nquada recta linea b d. ad rectos constituatur angulos. Stim a b. maior quam c d. oc conexa a Qin partem producta coincidat ipsi h clad easdem partes protractae super risigno atwab a. ad h d recta ducat linea a in ab L ipsi a b. parallelus agatur f g. secans.ipsam a c.ing.rursus P g.ipsi asparallelus acta sit gh. secans bd.m h.acipiterum per h.ipsi a b. acta parallelus hi.s
cet a c. in Latm p i. dus Rd.paralleli primς,θc a fg h. d i. siecundae dicantur parat Ieli. Et quia in triangulo a b c. partiles trianguli ad primarias paralloios per propositionem xxis.lhi. elementorit Euclcaequianguli sunt vin per iiii. propositione Ii.VLeorunde eleme. Proportios natium lateri impari ratione particulares ad secundas parallestos trianguli proportionaliu sunt laterum. igitur in primis pasrallelis via C. adeg.sic.b ades. Vtariade g.insincudis pasrallelis sic f e. ad e h. atq; in primis rursum parallelis ut i Gad e h. sic g e. ad e i. at in secundis parallelis ut g e. ad c i. sic