Isaaci Monachi Scholia In Evclidis Elementorvm Geometriae, sex priores libros

21쪽

ulἴquo habeat duos angulos rectos. propterea sic in omni trigono, tres angulistitit aequalis. duobus reuctis. Eodem modo non pote: dari trigonum in quo

sint liguli obtusii, quia duo anguli obtώliaeuodius rectis uni maioras.

COMMVNES SENTENTIAE,

quae etiam axiomata a quibusdam appellantur. QVae eidem uni aequalia o Postulatis cir dxlam tibia comuhe hoc est:quod nulla indigeantdemobiatione, aut1cὸ metrica probatione sed simplis

citersumunturpro ueris, certis, C manifestu deniaque principiorum loco ponuntur. Diferunt enum interbe, ratione qua ibeoremata problematibM: sicutιetum in theorematu uoltimus isscire e cognost re, quod rem consequitur ubie Etam: cir in problemate efficere ali iud,quod ad Disciendam sopo titur. Ita etiam in axiomutibi ea sumuntur quae perbefacile tutelligi possunt atq; uanatura nota manifesta unt: aisfacilem lubendi ubprebensionem. si postulatitarerotissmodi quaesita umlituri quae sacιle habet effictrone, ita ut menstro ira, nostraea; cogitationern 3 virdin laborentis tulist quellionem sumptione ies magna est delineationu uoletus aut

pcultas. ita recognitio pendior in emoβω-

22쪽

hila re lumptio propositi abss demonstratione:

distingunti postulata atq; axiomuta .scuti cogniti per demon frutionemfacta: quaestionissuraptio per desineationem fudita disiemunt 'eoremata a problematibus. Quapropter necesse est ut utrumsborum Axioma inquam er postulatim abeunt simplicem, ericilem atque comprehenβbilem: immediatam naturum. Ita tamen ut postulatim tanquam factu facile fumatur, C suppeditet nobis uim efficiendier inueniendi quandam materium se cilam adficiendam demonstrationem axioma dentaque ut cognitufacile, e concessum uis ustirmatu sumitur neque de materia ut in postulatu sed de accio dente propolytiones hae theorematicaesunt.

PROPOSITIONES LIBRI

primi Elementorum Euclidis.

PROPOsITIO PRIMA, Problema. SUPER data linea recta scire conuenit Geom tris theoremata et problemata insex diuidipar tes. eoτασιν, ἐκἔεσιν ιοῖισι toriquem Crra eo διορισμιον appellant: κατασπευω,ἀποδε ιν, α συιαπερασι ζο .hoc est. Propositionem, Expliacationem dati, Explicationem quaesiti, Detineatiorinem, Demonstrationem: conclusionem.

Difer autemproblema theoremat quod proa

23쪽

Is AAc MONACHI Hem iubet, erfacit etiam id quod iubetur ei rei iamfactae demonstrationem in medium adsisuta

theorenui, monstrat accidentia et adfectiones rei subiectae. Vndeetiam in conclamnibus problanais tum subiungitur:οπερ ει ὰπtιασοή quo ucseendam erat atqu4beorematis conclusionibus addi/euποπιοεδ δἐUM. quod ad contemplandum e monstrandi erat propolit . Praeterea C hocsciendum siquοια omnipro- MematC. etiam haec inuestiganda D. crobseruanida omni diligentia. λαμμα πτῶσις, πKισμα, ἔντασις,κλαπαγωγα id est assumpti proptio, casias, corollariis, Iustantia, eroeductio.

Assumptiua quidem propositio est,quando quaersemus d auquid sit quod eonfirmareproblema positi: istud inquam quod ad delineation a praeceptoressumptum. casus estnibit aliud quam delineationis quaedam occasio. interdum uero it, ut problemata ab scasu sint, qu απτωτα dicuntur.quae nulla opus habent

uarietate deIineation .

corollariam est, quando quaerimus it m Uijst quae inproblemate demonstrata utit, erram manμsse putent aliquid aliadsit, quod appareat. I stantia est, quando quaerimus,ut id quod propostiam est inse babeat, aut reciperepolitisis testion aliquam necessariam. Reduo

24쪽

Relum denis est, quando quaerimma feripvit utpropositum problema reducipossim des,

neutionem alteris problemaist.

Propositiois. Aper una eademso Etsi priora problemata er theorematulas irmativas habuerint propositiones: tamen praesens boc theorema propora sitione utitur negante. Vnde etiam sequitur reductiod myostibile modus inquam illebilogisticus Doscet enim Aristoteles quod uniuersale affirmativum, maxime'eniij conueniat,iasis 'proprio , Nas negativa fuerit aliquapropositio necesse est ut si demolistrationem admittere uelixa atione opM habeat. Siquidem lineas mationcines flamon. yratio neq osiogimus euris ob causam scientiaαν- demousirationes:maxima ex parte conclusiones faciunt Iimantes. L Q dautem clides propontific. veru tia eadem )dfecit,uesuper alia uis Mid rem,si duabinaequalis Pst demonstret. atq; stafallacia bacuiιud titueret quam ij qui una eademque utuntur

recta.

Addit etiam altera usterae)ει hoc rectes posior uim fieri ut quis dues duabus rectu aequalessio mul conItituat ad aliud ais aliud punctum super

una eadems recta linea non tumen alteram alter .

25쪽

tit ulter uertex exba alter ex alia esset parte. . . Eusdem habentes extremitutcs, cuam rectu ab

initio propositis o quia uiri possunt duo punctarutina eadem sitnea recta a qui bividuae τι tae costituiserentur aeqviulcsulter alterae,ud aliudpuuctu in ernon ad id punctum, ad quod reliquae constituta sent. Itu tamen ut non ex ijsdem extremitatibules.sent cum prioribM. His itii omnibu circi scriptionibws usus est Euclides: Crfrinam reddidit propo itionis ueritu , tem: aer demonstratι ipsa absq; dubitationeperstacta est. Neorcina etiam hoc ab Euclide demonstraturperreductιoncm ad imposibile er id quod pugnans est: contra communem pugnuisentenetum, quaestoel bet Totum malit eis,fua parte. deinde unum emisdem non pol est esse navim,er aequale. Videtur uerossio thcorema esse lemma propostionis octauae,quia titile est ad aciendum eius demon trutionem, neque sinpliciter elemeritaris propositio est: nes eciem elementuri propostlionis habet propterea quod bulus Theorematis utιlitas 5 longe latesse diffundat. Propositio S. Sifuerint duo rigonio scopus bm ius ectuva propositionis est ut propositis duobus trigonis, bubentibus latera lateribus aequalia enim terseupplicatis angulos inquam habeant aequales,

26쪽

scHOLIA.eos qui adverticem uni cuius quidem aequalitata causa esse uideturis laterium angulos ad uerticem conitinentim equesitas: O basim aequalitu. I enim hastis essent inaequales ieret ut una in exscure minore,ellam angulu3 minor fieret: c altera basi exiis flente maiore ungulinquos maior fieret Nesia teribus in aequalibus existentibiu, e basibus ijsdem manentibus anguli iliales uenientur aut denis lateribus aequalibus mutientibus e basibus existenistibus inaequalibus Securius ergo erat dιcere bustae

quali existente usi:π lateribus aequalibus siqui e

rvin anguloriam aduerticem positorum aequalitate Hoc etiam theorema conuertitur cam quarto theoremue,quamust baecucrba in umbobtusin hapothesis: duo latera inquam duobus lateribus esse aequalivi

sed basim es aequalem bust in propo tione qaurta

est quaesitiam: m hac uero duit , Chungulum anginio esse aequalem datum fιι it in quarta bi ucro quaerasit n. lasso datorum C qt aestiori permuta tio fucit butio conuersionem Indiget haec propostolio adfaciendum demonstrationem propo tioneβαptima quia ex illa er haec per reductionem ad imo pini bile demonDatur m propositostptima indi get quinta, unde etiave merito antepositae utit octuisuae propositioni. neque statim haec octava Iubsequuta

est quarix etiamst cim ipsa conuertaturin iam dia I s.

27쪽

verticem existentes Derint aequales:latera etiamtoseontinentia aequalia ni etiam reliqui anguli restis quis aequales erunt idcos etiam adridιt ut inquarinta etiam reliquos angulos aequales esse.

PROPOSITIO NONA.

I , Mum anguli jectiline J Haec propostiis

estproblema miscet enim Euclides theoremata problematibus,m problemata theorematibus atq; se totam bis propositionibus perficit elementarem doctrinam Interd- ressubiectus inueniendo erio sequendo interdium etiam accidentia rerum contem/plando cum itaq; demon trasset perpraecedentidiri trigonis,lateru aequalitatem subsequi angulorum M ualitatem ereconuersio aequalitatem angulor , sequititerim aequalitatem transit ad problemata: erproponit os iubet in hoc problemate: datu ungulum rectilineum in duas aequalespartessiecure. Quia uero angulo uariis modis dari potest.utpote datur positionciquando dicimus ud datam rectameter ad datum med punctu angulis constituere Duatur deinde specie uisi datur unguis rectra,a, ac tus, aut obtusivi. Vel denis uniuersaliter angulus aut rectilinem, aulcircumferentialps, aut mixtin. Datur etiam xtionci quando dicinini duplini huivit ud triplam, aut mamrra maiorem vel minorem. Pos

tremo

28쪽

itia recit pars aut dinadradetur. Angul M in hoc problemate, ουθccis turicis dicit alii rutuni reetuιncumscccrei sis. Utituro tem in hoc probἰ die, de desintutioncmfaciendans

postulat, o, o probstinate primo uis tertio, ad demon Irationem per iciendumsolapropositio ooctava quia er ea demonstratur per reluctionem ad absurdum ut C haec

PROPOSITIO DECIMA

tameit problema. proponens lineum rectumsinitam: quae in dus partes aequales sitsecanda es eqnm inmir terminari potest recta, ex utras parte infinita: nes ea quae ex altera parte tant Init est nam quacunq; ex partesumereturpunctum alio quod: inmin partes inaequales feret sicctio proptera rea quod una e sparsi infinitum esset Otracta. reliquum rus est, ut ex trusparte refla finitas viati siqua in duda est secunda partes aequalis. Vtιtur Euclides ad delineationem huius prosinis nut propositione prima, riona ad demonstruthionem sola quarta num per angulos aequalis,

29쪽

PROPOSITIO UNDECIMA.

DAM Deae remGEt baec propositio problemati- c. st. Nam in bacfacit angulos contiguos rectos constituendo rectam uper recta Sive ergo ex inrasparte finit faciamuε rectum: monDitum fue una ex parte finitum: procedet huiusproblema rudelineatio quod si vim in extremita ibra data si,neae rectae recta erigatur protracta linea recta,uis Dularefacta: eadem efficiemM. Manifestum uero est quod punct- in bocproblematepositionesti dat inempe in ipsa linea recta. Recta autem linea unico modo datus Jecie cum nulla exprimatur postlι nec magnitudo, nec ratio, utitur in delineatione propositionibus primerteritu: er uno postulato. De nitratio constra ex propositione: octaua ervina definitione.

decima. AD rectam lineam datum n nit4m Etiam in bos problemate Euclides constituit recti lineisuperfecta ad angulos rectos erigere: sed antiqua appella tione nominat cathetis perpendicularem Fecu gnomonem uno etiain gnomon ad augulos reo

30쪽

dicularis: ciam tamen ratione ubiem, non disterunt. Est autem perpendicularis duplex una quιdem plana,altera uero solida quarum plana ducitur adremm solida autem ducitur ad planum. Unde neccisse eit: ut baec non ad unam tantisndineum rectam a

gulosfaciat rectos sed ad omnes quotquot in plano subiecto destribuntur,em ducunturiatis occantis

puncto, in quod perpendiculam cadit. Attamen Euclides in hoc problex te tanti perspendicularemplanam, ducere uult atqui in undecis

propositione postquam in ipsa recta sumptui uit punctι quo recta fuit erigenda ad angulos re- Elas: nullo modo infinit requirebat. In hac vero propositione,quia punctum extra lineam rectam da/tainsumitur proponit eum infinitum Namst esset. sinita,forsitan contingeret perpendicularem aput1cto dato ductam)extra datam lineum rectam cadere. ita ut problema hoc bi non constaret. Sciendum autem, quod in ensilibus rebus, nulla fit magnitudo infinita: quae 'quantacunq; etiam esse init distantia, lautquodcunque Antervastinn. Sicuti Aristoteles,C qui e seritibunt doctrinam domonstrant neq; enim coelinquod moueturi nitum esse dicenivi nec etiam alia Implicia corpora. --qliodq; enim com lacuna μι Mittin has

kt Rcliqua ergo est ut justitit statuatur mi